高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù) 第3節(jié) 指數(shù)函數(shù)基礎(chǔ)知識素材 北師大版必修1（通用）

§3 指數(shù)函數(shù) 1理解指數(shù)函數(shù)的概念2掌握指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)3利用指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)解決簡單問題1指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)yax(a0，a1)叫作指數(shù)函數(shù)，其中_是自變量 指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)解析式的結(jié)構(gòu)特征：底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；指數(shù)：自變量x；系數(shù)：1.指數(shù)函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)的三個特征是判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的三個標(biāo)準(zhǔn)，缺一不可【做一做1】 下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是( )Ay(3)x By3xCy32x Dy2x12指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)結(jié)合函數(shù)y2x和yx的圖像和性質(zhì)，得出指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如下表所示：a10a1圖像性質(zhì)(1)定義域：_(1)定義域：_(2)值域：_(2)值域：_(3)過定點_，即x0時，y1(3)過定點_，即x0時，y1(4)當(dāng)x0時，y1；當(dāng)x0時，0y1(4)當(dāng)x0時，0y1；當(dāng)x0時，y1(5)是R上的_(5)是R上的_【做一做21】 函數(shù)y15x的大致圖像是( )【做一做22】 函數(shù)yx的定義域和值域分別是( )AR，R B(0，)，(0，)C(0，)，R DR，(0，)3指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)反映了實數(shù)與正實數(shù)之間的一種_關(guān)系 指數(shù)冪ax和1的比較： 當(dāng)x0,0a1或x0，a1時，ax1，即指數(shù)x和0比較，底數(shù)a和1比較，當(dāng)不等號的方向相同時，ax大于1，簡稱為“同大”當(dāng)x0，a1或x0,0a1時，0ax1，即指數(shù)x和0比較，底數(shù)a和1比較，當(dāng)不等號的方向相反(異)時，ax小于1，簡稱為“異小”因此簡稱為“同大異小”【做一做3】 比較下列各題中兩個值的大?。?1)1.82.2_1.83；(2)0.70.3_0.70.4；(3)1.90.4_0.92.4. 答案：1x【做一做1】 C32x9x，y32x9x是指數(shù)函數(shù)2(1)R(1)R(2)(0，)(2)(0，)(3)(0,1)(3)(0,1)(5)增函數(shù)(5)減函數(shù)【做一做21】 B【做一做22】 D3一一對應(yīng)【做一做3】 (1)(2)(3)指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)中底數(shù)a對函數(shù)圖像有什么影響？剖析：設(shè)ab1cd0，則yax，ybx，ycx，ydx的圖像如圖所示，從圖中可以看出：在y軸右側(cè)，圖像從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大或者說在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖像，底數(shù)大的在上邊，也可以說底數(shù)越大越靠近y軸題型一 指數(shù)函數(shù)的定義【例1】 指出下列函數(shù)中哪些是指數(shù)函數(shù)y6x；yx4；y4x；y(4)x；y2·8x；yex；y4x2；y(2a1)x.分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷題型二 求函數(shù)的定義域和值域【例2】 求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y； (2)y； (3)y.分析：函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，分式問題要使分母不為0，根式問題要使被開方數(shù)有意義，結(jié)合換元法，聯(lián)想函數(shù)的圖像，根據(jù)單調(diào)性等確定值域反思：求與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域和值域時，要充分考慮指數(shù)函數(shù)本身的要求，并利用好指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對于解析式中某些較復(fù)雜的式子，往往采用換元法求解，這樣可以使問題變得簡潔，避免出錯題型三 比較大小【例3】 比較下列各題中兩個值的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)2.30.28,0.673.1.分析：(1)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大?。?2)利用中間量1比較大小反思：比較指數(shù)式大小的方法：(1)單調(diào)性法：比較同底數(shù)冪的大小，可構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小要注意：明確所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；明確指數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關(guān)系；最后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)來判斷(2)中間量法：比較不同底且不同指數(shù)冪的大小，常借助于中間值1進(jìn)行比較利用口訣“同大異小”，判斷指數(shù)冪和1的大小題型四 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用【例4】 設(shè)a為實數(shù)，f(x)a(xR)(1)證明f(x)在R上為增函數(shù)；(2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù)分析：對于(1)可結(jié)合單調(diào)性的定義及y2x為增函數(shù)加以證明(2)中要使f(x)是奇函數(shù)，則須滿足f(x)f(x)反思：本題主要考查了單調(diào)性和奇偶性的概念及使用方法在本題(2)中，由于f(x)為奇函數(shù)且在x0處有定義，故也可利用f(0)0來確定a的值題型五 與指數(shù)函數(shù)圖像有關(guān)的問題【例5】 (1)將函數(shù)y3x的圖像向左平移一個單位即可得到函數(shù)_的圖像，將y3x的圖像向下平移一個單位即可得到函數(shù)_的圖像；(2)函數(shù)y3x的圖像與y3x的圖像關(guān)于_對稱；(3)函數(shù)y3x的圖像與y3x的圖像關(guān)于_對稱；(4)函數(shù)y3x的圖像與函數(shù)y3x的圖像關(guān)于_對稱反思：1.平移規(guī)律分左、右平移和上、下平移兩種，遵循“左加右減，上加下減”若已知yax的圖像，把yax的圖像向左平移b(b0)個單位，則得到y(tǒng)axb的圖像；把yax的圖像向右平移b(b0)個單位，則得到y(tǒng)axb的圖像；把yax的圖像向上平移b(b0)個單位，則得到y(tǒng)axb的圖像，向下平移b(b0)個單位，則得到y(tǒng)axb的圖像2對稱規(guī)律函數(shù)yax的圖像與yax的圖像關(guān)于y軸對稱；yax的圖像與yax的圖像關(guān)于x軸對稱，函數(shù)yax的圖像與yax的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點對稱題型六 易錯辨析易錯點 利用換元法時，忽略新元的范圍導(dǎo)致出錯【例6】 求函數(shù)yxx1的值域錯解：令tx，則原函數(shù)可化為yt2t12，即當(dāng)t時，ymin，即原函數(shù)的值域是.錯因分析：錯解在令tx后，沒有注意新元t的范圍x0，t0.忽略新元的范圍導(dǎo)致所求范圍擴(kuò)大 答案：【例1】 解：為指數(shù)函數(shù)；不是指數(shù)函數(shù)，自變量不在指數(shù)上；4x的系數(shù)是1；中底數(shù)40，所以不是指數(shù)函數(shù)；8x的系數(shù)是2；中指數(shù)不是自變量x，而是x的函數(shù)x2，故都不是指數(shù)函數(shù)【例2】 解：(1)要使函數(shù)有意義，必須x40，x4，故所求函數(shù)的定義域為xR|x4x4，0，1，故函數(shù)的值域為y|y0且y1(2)定義域為R.2xx2(x1)211，1，故函數(shù)y的值域為y|y(3)要使函數(shù)有意義，必須且只需3x20，即x，函數(shù)的定義域為.設(shè)t，則t0，y5t，y501，故所求函數(shù)的值域為1，)【例3】 解：(1)(單調(diào)性法)由于1.72.5與1.73的底數(shù)是1.7，故構(gòu)造函數(shù)y1.7x，則函數(shù)y1.7x在R上是增函數(shù)又2.53，所以1.72.51.73.(2)(中間量法)由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，知230.282.301,0.673.10.6701，所以2.30.280.673.1.【例4】 解：(1)證明：設(shè)x1，x2R，x1x2，則f(x1)f(x2).由于指數(shù)函數(shù)y2x在R上為增函數(shù)，且x1x2，所以2x12 x2，即2 x12 x20.又由2x0，得2 x110,2 x210.所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)故f(x)在R上為增函數(shù)(2)若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)f(x)，即a.變形得2a2.解得a1.所以當(dāng)a1時，f(x)為奇函數(shù)【例5】 (1)y3x1y3x1(2)y軸(3)x軸(4)原點(1)根據(jù)函數(shù)圖像平移的規(guī)律來解決(2)函數(shù)y3x中用x代x，y不變，即得y3x，關(guān)于y軸對稱；(3)函數(shù)y3x中用y代y，x不變，即得y3x，關(guān)于x軸對稱(4)函數(shù)y3x中用x代x，用y代y，即得y3x，關(guān)于原點對稱【例6】 正解：令tx，則t(0，)，原函數(shù)可化為yt2t12.因為函數(shù)y2在(0，)上是增加的，所以y1，即原函數(shù)的值域是(1，)1 函數(shù)f(x)ax在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是( )A0a1 Ba1 Ca1 DR2 函數(shù)y0.22x的大致圖像是( )3 函數(shù)y的值域是( )A(，0) B(0,1 C1，) D(，14 函數(shù)f(x)a3x1(a0，a1)的圖像恒過定點的坐標(biāo)是_5 比較下列各題中兩個值的大?。?1)0.80.1,0.80.2；(2)1.70.3,0.93.1；(3)a1.3，a2.5(a0，a1)答案：1C2.B3.B4(3,2)當(dāng)x3時，對于a0且a1總有f(3)a012，即過定點(3,2)5分析：(1)由于底數(shù)相同，利用單調(diào)性法比較大??；(2)由于底數(shù)和指數(shù)均不同，用中間量法比較大?。?3)對底數(shù)a按與1的大小關(guān)系分類討論解：(1)由于00.81，所以指數(shù)函數(shù)y0.8x在R上為減函數(shù)所以0.80.10.80.2.(2)1.70.31,0.93.11，所以1.70.30.93.1.(3)當(dāng)a1時，函數(shù)yax在R上是增函數(shù)，此時a1.3a2.5；當(dāng)0a1時，函數(shù)yax在R上是減函數(shù)，此時a1.3a2.5.即當(dāng)a1時，a1.3a2.5；當(dāng)0a1時，a1.3a2.5.