數(shù)學第七章 不等式 第三節(jié) 二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題 文

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1、第三節(jié)二元一次不等式(組)及簡單的線性規(guī)劃問題總綱目錄教材研讀1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域考點突破2.線性規(guī)劃的有關概念考點二目標函數(shù)的最值與范圍問題考點二目標函數(shù)的最值與范圍問題考點一二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域考點三線性規(guī)劃的實際應用考點三線性規(guī)劃的實際應用1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域二元一次不等式表示的平面區(qū)域一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標系中表示直線Ax+By+C=0某一側所有點組成的平面區(qū)域.我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線.當我們在坐標系中畫不等式Ax+By+C0所表示的平面區(qū)域時,此區(qū)域應包括邊界直線,則把邊界直線畫成實線.對于直線A

2、x+By+C=0同一側的所有點,把其坐標(x,y)代入Ax+By+C,所得教材研讀教材研讀到實數(shù)的符號都相同,所以只需在此直線的某一側取一個特殊點(x0,y0),由Ax0+By0+C的正負即可判斷Ax+By+C0(或0,對于A,當x=-3,y=4時,-9+8+50,故滿足題意.同理,B、C、D均不滿足題意,故選A.A2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若點P(x,y)在線段AB上,則2x-y的最大值為()A.-1B.3C.7D.8C答案答案C點P(x,y)在線段AB上且A(2,5),B(4,1),如圖:設z=2x-y,則y=2x-z,當直線y=2x-z經過點B(4,1

3、)時,z取得最大值,最大值為24-1=7.3.(2017北京東城二模)在平面直角坐標系中,不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為()A.1B.2C.4D.80,2,xxyxyA答案A作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分.由得A(1,1).故所求面積S=21=1.故選A.,2yxxy124.(2016北京海淀一模)若x,y滿足則z=x+y的最大值為( )A.B.3C.D.420,40,0,xyxyy125272C答案答案C畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.將目標函數(shù)z=x+y變形為y=-x+z.先畫出l0:y=-x.將l0向上平移至經過點A時z有最大值,聯(lián)立得A(1,3).故zmax=1+3=

4、.12121220,40,xyxy12725.(2016北京海淀期末)若點(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(-,0)B.(-1,+)C.(0,+)D.(-,-1)0,20,10 xyxyaxy B答案答案B畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.因為點(2,-3)不在不等式組表示的平面區(qū)域內,則點(2,-3)在直線ax-y-1=0的下方,故-3-1.0,20,10 xyxyaxy 典例典例1(1)(2017北京西城二模)在平面直角坐標系中,不等式組表示的平面區(qū)域的面積是()A.B.C.2D.2(2)(2016北京朝陽二模)已知關于x,y的不等式組所表示的平面區(qū)

5、域D為三角形,則實數(shù)k的取值范圍是.30,320,0 xyxyy32330,2,2xyxxyxyk考點一二元一次不等式考點一二元一次不等式(組組)表示的平面區(qū)域表示的平面區(qū)域考點突破考點突破答案答案(1)B(2)(-,-20,1)解析解析(1)作出可行域,如圖所示.易知B(-2,0),由得故A(1,).SAOB=2=.30,320 xyxy1,3,xy31233故選B.(2)不等式組所表示的平面區(qū)域為圖中AOB及其內部.2x-y=k可化為y=2x-k.當k=0時,區(qū)域D為三角形,符合題意.0,2xyxxy當k0時,將y=2x向下平移,直到經過點B(1,1)時,區(qū)域D由三角形縮為一個點B,將B(

6、1,1)代入y=2x-k得k=1.若要滿足題意,則0k1.當k或時,邊界應畫為虛線,特殊點常取原點.1-1(2016北京順義一模)在平面直角坐標系中,若不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域面積為3,則a的值為()A.-5B.-2C.2D.510,10,10 xyxaxy D答案答案D不等式組(a為常數(shù))表示的區(qū)域如圖所示.由題意知陰影部分的面積等于3,AC=6.點C的坐標為(1,6).代入ax-y+1=0得a-6+1=0,解得a=5.故選D.10,10,10 xyxaxy 1-2(2018北京西城高三期末)已知點M(x,y)的坐標滿足條件設O為原點,則|OM|的最小值是.10,10,10.xxyxy

7、 答案答案22解析解析作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖,由題意知,原點到直線x+y-1=0的距離就是|OM|的最小值,由點到直線的距離公式,得|OM|min=.122222典例典例2(1)(2016北京西城二模)設x,y滿足約束條件則z=x+3y的最大值是()A.B.C.-D.1(2)(2015北京豐臺一模)若變量x,y滿足約束條件則z=x+2y的最大值是.2 ,1,10,yxxyy 43731320,20,40,xxyxy考點二目標函數(shù)的最值與范圍問題考點二目標函數(shù)的最值與范圍問題命題角度一轉化為截距命題角度一轉化為截距答案答案(1)B(2)6解析解析(1)不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰

8、影部分所示.畫出l0:x+3y=0.將l0向上平移至經過點A時z最大.由解得A.zmax=+3=.(2)在平面直角坐標系內畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域(圖略),易知當z=x+2y經過平面區(qū)域內的點(2,2)時,z取得最大值,即zmax=2+22=6.1,2 ,xyyx1,32,3xy1 2,3 3132373典例典例3(2017北京海淀一模)若x,y滿足則的最大值是.240,20,1,xyxyxyx命題角度二轉化為斜率命題角度二轉化為斜率答案答案3232解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.表示可行域內的點(x,y)與點(0,0)的連線的斜率,易得直線AO斜率最大,由解得A.=.yx1,

9、240,xxy31,2maxyx32典例典例4(2017北京西城一模)實數(shù)x,y滿足則x2+y2的最大值是,最小值是.1,2,220,xyxy命題角度三轉化為距離命題角度三轉化為距離答案答案5;45解析解析作出可行域,如圖中陰影部分所示.x2+y2的幾何意義是可行域內的點(x,y)到原點距離的平方.連接OC.易得線段CO最長,C(1,2),CO=,(x2+y2)max=5.過點O作直線2x+y-2=0的垂線,垂足為D,易得線段OD最短,由SOAB=12=ODOD=.(x2+y2)min=.5121252 5522 5545典例典例5(2016北京西城期末)設x,y滿足約束條件若z=x+3y的最

10、大值與最小值的差為7,則實數(shù)m=()A.B.-C.D.-1,3,yxxyym32321414命題角度四含參問題命題角度四含參問題答案答案CC解析解析由約束條件作出可行域如圖中陰影部分所示,聯(lián)立解得A(1,2),聯(lián)立解得B(m-1,m),化z=x+3y,得y=-+.由圖可知,當直線y=-+過點A時,z有最大值,為7,當直線y=-+過點B時,z有最小值,為4m-1,由題意得7-(4m-1)=7,解得m=.1,3,yxxyym1,3,yxxy,1,ymyx3x3z3x3z3x3z14故選C. 1.線性規(guī)劃問題的解題步驟(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中過原點的那一條

11、直線;(2)平移將直線平行移動,以確定最優(yōu)解的對應點的位置;(3)求值解方程組求出對應點坐標(即最優(yōu)解),代入目標函數(shù),即可求出最值.方法技巧方法技巧2.常見代數(shù)式的幾何意義(1)表示點(x,y)與原點(0,0)的距離;(2)表示點(x,y)與點(a,b)之間的距離;(3)表示點(x,y)與原點(0,0)連線的斜率;(4)表示點(x,y)與點(a,b)連線的斜率.22xy22()()xaybyxybxa2-1(2015北京西城二模)已知x,y滿足若z=x+my的最大值為,則實數(shù)m=.,2 ,1,yxyxxy53答案答案22解析解析在平面直角坐標系內畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知該區(qū)域是以點(

12、0,0),為頂點的三角形區(qū)域(包含邊界),顯然m0,1,當-1,即0m1,不符合題意;當-1-1時,目標函數(shù)z=x+my在點處取得最大值,則有=+m,解得m=2,符合題意;當-1,即-1m0,不符合題意;當0-1,即m-1時,目標函數(shù)z=x+my在點(0,0)處取得最大值,且zmax=0,不符合題意.綜上所述,實數(shù)m的值為2.1 1,2 21 2,3 31m1 1,2 2531212731m1 2,3 35313231m1 1,2 2531212731m典例典例6(2016北京西城一模)在某校冬季長跑活動中,學校要給獲得一、二等獎的學生購買獎品,要求花費總額不得超過200元.已知一等獎和二等獎

13、獎品的單價分別為20元、10元,一等獎人數(shù)與二等獎人數(shù)的比值不得高于,且獲得一等獎的人數(shù)不能少于2人,那么下列說法中錯誤的是()A.最多可以購買4份一等獎獎品B.最多可以購買16份二等獎獎品C.購買獎品至少要花費100元D.共有20種不同的購買獎品方案13考點三線性規(guī)劃的實際應用考點三線性規(guī)劃的實際應用D答案答案D解析設一等獎人數(shù)為x,二等獎人數(shù)為y,由題意有即如圖,陰影部分中的整數(shù)點即為可行解.2010200,x1,y32,N,N,xyxxy220,x1,y32,N,N,xyxxy易得A(4,12),B(2,6),C(2,16),由平面區(qū)域知2x4,6y16.故最多可以購買4份一等獎獎品,最

14、多可以購買16份二等獎獎品.設目標函數(shù)為z=20 x+10y,經過點B(2,6)時z有最小值,zmin=202+610=100,故購買獎品至少花費100元.綜上A,B,C正確.而該平面區(qū)域內有整數(shù)點18個:(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(2,10),(2,11),(2,12),(2,13),(2,14),(2,15),(2,16),(3,9),(3,10),(3,11),(3,12),(3,13),(3,14),(4,12),故共有18種不同的購買獎品方案.D錯誤.方法技巧方法技巧解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟(1)分析題意,設出未知量;(2)列出線性約束條件和目標函數(shù);(3)

15、作出可行域并利用數(shù)形結合求解;(4)作答.3-1(2015北京西城一模)某賽事組委會要為獲獎者訂購某工藝品作為獎品,其中一等獎獎品3件,二等獎獎品6件,制作一等獎和二等獎獎品所用原料完全相同,但工藝不同,故價格有所差異,現(xiàn)有甲、乙兩個工廠可以制作獎品(一等獎、二等獎獎品均符合要求),甲廠收費便宜,但原料有限,最多只能制作4件獎品,乙廠原料充足,但收費較貴,甲、乙兩廠的具體收費情況如下表:獎品工廠收費(元/件)一等獎二等獎甲500400乙800600則組委會定購該工藝品的費用總和最低為元.4900解析解析設向甲廠訂購一等獎獎品x件,二等獎獎品y件,其中x,yN,則向乙廠訂購一等獎獎品(3-x)件,二等獎獎品(6-y)件,則x,y滿足設費用總和為z元,則z=500 x+400y+800(3-x)+600(6-y),即z=-300 x-200y+6000,作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示.由圖可知直線z=-300 x-200y+6000過點A時,z取最小值.由得即A(3,1),4,30,60,N,xyxyx y3,4xxy3,1,xy答案答案4900所以zmin=-3003-2001+6000=4900,所以組委會訂購該工藝品的費用總和最低為4900元.