數(shù)學第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第25練 空間中的平行與垂直 文

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1、第二篇熟練規(guī)范中檔大題保高分第25練空間中的平行與垂直明考情高考中對直線和平面的平行、垂直關系交匯綜合命題，多以棱柱、棱錐、棱臺或簡單組合體為載體進行考查，難度中檔偏下.知考向1.空間中的平行關系.2.空間中的垂直關系.3.平行和垂直的綜合應用.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一空間中的平行關系方法技巧方法技巧(1)平行關系的基礎是線線平行，比較常見的是利用三角形中位線構造平行關系，利用平行四邊形構造平行關系.(2)證明過程中要嚴格遵循定理中的條件，注意推證的嚴謹性.1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點N在BD上，點M在B1C上，且CM

2、DN，求證：MN平面AA1B1B.證明1234證明證明如圖所示， 作MEBC交BB1于點E， 作NFAD交AB于點F， 連接EF，則EF平面AA1B1B.MEBC，NFAD，在正方體ABCDA1B1C1D1中，CMDN，B1MNB.又BCAD，MENF.12341234又MEBCADNF，四邊形MEFN為平行四邊形，MNEF.又EF平面AA1B1B，MN 平面AA1B1B，MN平面AA1B1B.2.(2017全國)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)證明：平面PAB平面PAD；1234證明證明證明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD.由于ABCD，故ABPD

3、，從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)若PAPDABDC，APD90，且四棱錐PABCD的體積為 ，求該四棱錐的側面積.1234解答解解如圖，在平面PAD內作PEAD，垂足為E.由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，ABAD，所以PE平面ABCD.可得四棱錐PABCD的側面積為12343.(2017龍巖市新羅區(qū)校級模擬)如圖，O是圓錐底面圓的圓心，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，C為底面圓周上一點.(1)若弧BC的中點為D，求證：AC平面POD；1234證明證明證明方法一方法一設BCODE，D是弧BC的中點，E是BC的中點.又O是AB的中點，ACOE.又

4、AC 平面POD，OE平面POD，AC平面POD.方法二方法二AB是底面圓的直徑，ACBC.弧BC的中點為D，ODBC.又AC，OD共面，ACOD.又AC 平面POD，OD平面POD，AC平面POD.12341234(2)如果PAB的面積是9，求此圓錐的表面積.解答解解設圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，圓錐的軸截面PAB為等腰直角三角形，4.如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，ABCD，且AB2CD，在棱AB上是否存在一點F，使平面C1CF平面ADD1A1？若存在，求點F的位置；若不存在？請說明理由.1234解答解解存在這樣的點F，使平面C1CF平面ADD

5、1A1，此時點F為AB的中點，證明如下：ABCD，AB2CD，AF綊CD，四邊形AFCD是平行四邊形，ADCF.又AD平面ADD1A1，CF 平面ADD1A1，CF平面ADD1A1.又CC1DD1，CC1 平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，CC1平面ADD1A1.又CC1，CF平面C1CF，CC1CFC，平面C1CF平面ADD1A1.1234考點二空間中的垂直關系方法技巧方法技巧判定直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直定義.(2)利用線面垂直的判定定理，一條直線與平面內兩條相交直線都垂直，則這條直線與平面垂直.(3)利用線面垂直的性質，兩平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于

6、這個平面.(4)利用面面垂直的性質定理，兩平面垂直，在一個平面內垂直于交線的直線必垂直于另一個平面.5.如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點.求證：(1)AF平面BCE；5678證明證明證明如圖，取CE的中點G，連接FG，BG.5678AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，AFBG.AF 平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)平面BCE平面CDE.證明證明ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，故AF平面CDE.BGAF

7、，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.5678證明6.(2017全國)如圖，在四面體ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)證明：ACBD；5678證明證明如圖，取AC的中點O，連接DO，BO.因為ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.又DOOBO，所以AC平面DOB，故ACBD.證明5678解答(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AEEC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比.解解連接EO.由(1)及題設知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO

8、2AB2BD2，故DOB90.即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為11.56787.(2017南京一模)如圖，在六面體ABCDE中，平面DBC平面ABC，AE平面ABC.(1)求證：AE平面DBC；證明證明過點D作DOBC，O為垂足.平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABCBC，DO平面DBC，DO平面ABC.又AE平面ABC，則AEDO.又AE 平面DBC， DO平面DBC， 故AE平面DBC.5678證明(2)若ABBC，BDCD，求證：ADDC.證明證明由(1)知，DO平面ABC，AB平面ABC，DOAB.又ABBC， 且DOBCO， DO， BC平面DBC，AB平面DBC.D

9、C平面DBC，ABDC.又BDCD，ABDBB，AB，DB平面ABD，則DC平面ABD.又AD平面ABD，故可得ADDC.5678證明8.已知四棱錐SABCD的底面ABCD為正方形， 頂點S在底面ABCD上的射影為其中心O， 高為 ， 設E， F分別為AB， SC的中點， 且SE2， M為CD邊上的點.(1)求證：EF平面SAD；證明證明取SB的中點P，連接PF，PE.F為SC的中點，PFBC，又底面ABCD為正方形，BCAD，即PFAD，又PESA，平面PFE平面SAD.EF平面PFE，EF平面SAD.5678證明解答5678(2)試確定點M的位置，使得平面EFM底面ABCD.解解連接AC，

10、AC的中點即為點O，連接SO，由題意知SO平面ABCD，取OC的中點H，連接FH，則FHSO，F(xiàn)H平面ABCD，平面EFH平面ABCD，連接EH并延長，則EH與DC的交點即為M點.OE1，AB2，AE1，5678考點三平行和垂直的綜合應用方法技巧方法技巧空間平行、垂直關系證明的主要思想是轉化，即通過判定、性質定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關系相互轉化.91011129.如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點.求證：(1)直線EF平面PCD；證明證明在PAD中，E，F(xiàn)分別為AP，AD的中點，EFPD.又EF 平面PCD，PD

11、平面PCD，直線EF平面PCD.證明(2)平面BEF平面PAD.證明證明如圖，連接BD.ABAD，BAD60，ADB為正三角形.F是AD的中點，BFAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BF平面ABCD，BF平面PAD.又BF平面BEF，平面BEF平面PAD.9101112證明10.(2017山東)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD.(1)證明：A1O平面B1CD1；證明證明取B1D1的中點O1， 連接CO1， A1O1，由于ABCDA1B1C1D1

12、是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1，A1O 平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.9101112證明(2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD1.證明證明因為ACBD， E， M分別為AD和OD的中點，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD.因為B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1.又A1E，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平面A1EM.又B1D1平面B1CD1，所以平面A1EM平面B1CD1.9101112證明910111211.(2017漢

13、中二模)如圖，在棱長均為4的三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點.(1)求證：A1D1平面AB1D；證明證明證明連接DD1，在三棱柱ABCA1B1C1中，D，D1分別是BC和B1C1的中點，B1D1BD，且B1D1BD，四邊形B1BDD1為平行四邊形，BB1DD1，且BB1DD1.又AA1BB1，AA1BB1，AA1DD1，AA1DD1，四邊形AA1D1D為平行四邊形，A1D1AD.又A1D1 平面AB1D，AD平面AB1D，A1D1平面AB1D.9101112(2)若平面ABC平面BCC1B1，B1BC60，求三棱錐B1ABC的體積.解解在ABC中， 邊長均為4，

14、則ABAC， D為BC的中點，ADBC.平面ABC平面B1C1CB， 交線為BC， AD平面ABC，AD平面B1C1CB，即AD是三棱錐AB1BC的高.在B1BC中，B1BBC4，B1BC60，9101112解答12.如圖，在四棱錐SABCD中，平面SAD平面ABCD.四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點，Q為SB的中點.(1)求證：CD平面SAD；9101112證明證明證明四邊形ABCD為正方形，CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面SAD.(2)求證：PQ平面SCD；證明證明取SC的中點R，連接QR，DR.在SBC中，Q為SB的中點

15、，R為SC的中點，QRPD且QRPD，則四邊形PDRQ為平行四邊形，PQDR.又PQ 平面SCD，DR平面SCD，PQ平面SCD.9101112證明(3)若SASD，M為BC的中點，在棱SC上是否存在點N，使得平面DMN平面ABCD？并證明你的結論.9101112解答解解存在點N為SC的中點，使得平面DMN平面ABCD.連接PC，DM交于點O，連接PM，SP，NM，ND，NO，PDCM，且PDCM，四邊形PMCD為平行四邊形，POCO.又N為SC的中點，NOSP.易知SPAD.平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，SP平面ABCD，NO平面ABCD.又NO平面DMN，

16、平面DMN平面ABCD.9101112規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)如圖， 四棱錐PABCD的底面為正方形，側面PAD底面ABCD，PAAD，點E，F(xiàn)，H分別為AB，PC，BC的中點.(1)求證：EF平面PAD；(2)求證：平面PAH平面DEF.模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標準評分標準證明證明(1)取PD的中點M，連接FM，AM.在PCD中，F(xiàn)，M分別為PC，PD的中點，AEFM且AEFM，則四邊形AEFM為平行四邊形，AMEF.4分又EF 平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD.6分(2)側面PAD底面ABCD，PAAD，側面PAD底面ABCDAD，PA底面AB

17、CD.DE底面ABCD，DEPA.E，H分別為正方形ABCD邊AB，BC的中點，RtABHRtDAE，則BAHADE，BAHAED90，則DEAH.8分PA平面PAH，AH平面PAH，PAAHA，DE平面PAH.10分DE平面DEF，平面PAH平面DEF.12分構建答題模板構建答題模板第一步找線線找線線：通過三角形或四邊形的中位線，平行四邊形、等腰三角形的中線或線面、面面關系的性質尋找線線平行或線線垂直.第二步找線面找線面：通過線線垂直或平行，利用判定定理，找線面垂直或平行；也可由面面關系的性質找線面垂直或平行.第三步找面面找面面：通過面面關系的判定定理，尋找面面垂直或平行.第四步寫步驟寫步驟

18、：嚴格按照定理中的條件規(guī)范書寫解題步驟.1.如圖，在空間四面體ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點.(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；規(guī)范演練證明證明在空間四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點，EF綊GH，四邊形EFGH是平行四邊形.12345證明(2)求證：BC平面EFGH.證明證明E，H分別是AB，AC的中點，EHBC.EH平面EFGH，BC 平面EFGH，BC平面EFGH.12345證明2.(2017北京)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證

19、：PABD；證明證明因為PAAB，PABC，所以PA平面ABC.又因為BD平面ABC，所以PABD.12345證明(2)求證：平面BDE平面PAC；證明證明因為ABBC，D是AC的中點，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.12345證明(3)當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積.解解因為PA平面BDE， 平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因為D為AC的中點，12345解答由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，12345解答3.(2017北京海淀區(qū)模擬)如圖， 四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側棱PA底面ABCD， 且

20、PA2， E是側棱PA上的動點.(1)求四棱錐PABCD的體積；解解PA底面ABCD，PA為此四棱錐底面上的高.12345(2)如果E是PA的中點，求證：PC平面BDE；證明證明連接AC交BD于點O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，AOOC.又AEEP，OEPC.又PC 平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.證明(3)是否不論點E在側棱PA的任何位置，都有BDCE？證明你的結論.解解不論點E在側棱PA的任何位置，都有BDCE.證明：四邊形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC.CE平面PAC，BDCE.12345解答4.如

21、圖， 已知正方形ABCD的邊長為2， AC與BD交于點O， 將正方形ABCD沿對角線BD折起， 得到三棱錐ABCD.(1)求證：平面AOC平面BCD；12345證明證明證明四邊形ABCD是正方形，BDAO，BDCO.折起后仍有BDAO，BDCO，AOCOO，BD平面AOC.BD平面BCD，平面AOC平面BCD.12345解答解解由(1)知BD平面AOC，又AOC是鈍角，AOC120.在AOC中，由余弦定理，得AC2OA2OC22OAOCcosAOC123455.(2016四川)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCD AD.(1)在平面PAD內找一點M，使得直

22、線CM平面PAB，并說明理由；12345解答解解取棱AD的中點M(M平面PAD)，點M即為所求的一個點，理由如下：因為ADBC，BC AD，所以BCAM，且BCAM.所以四邊形AMCB是平行四邊形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM 平面PAB，所以CM平面PAB.(說明：取棱PD的中點N，則所找的點可以是直線MN上任意一點)1234512345證明(2)求證：平面PAB平面PBD.證明證明由已知，PAAB，PACD.所以PA平面ABCD.所以PABD.所以BCMD，且BCMD.所以四邊形BCDM是平行四邊形，又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.12345