2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座 第五講 一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解

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1、2019-2020年九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座第五講一元二次方程的整數(shù)整數(shù)解在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，在各類數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，一元二次方程的整數(shù)解問題一直是個(gè)熱點(diǎn)，它將古老的整數(shù)理論與傳統(tǒng)的一元二次方程知識(shí)相結(jié)合，涉及面廣，解法靈活，綜合性強(qiáng)，備受關(guān)注，解含參數(shù)的一元二次方程的整數(shù)解問題的基本策略有：從求根入手，求出根的有理表達(dá)式，利用整除求解；從判別式手，運(yùn)用判別式求出參數(shù)或解的取值范圍，或引入?yún)?shù)(設(shè)=)，通過窮舉，逼近求解；從韋達(dá)定理入手，從根與系數(shù)的關(guān)系式中消去參數(shù)，得到關(guān)于兩根的不定方程，借助因數(shù)分解、因式分解求解；從變更主元入人，當(dāng)方程中參數(shù)次數(shù)較低時(shí)，可考慮以參數(shù)為主元求解注：一元二次方程的整數(shù)根

2、問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達(dá)定理等與方程相關(guān)的知識(shí)，又與整除、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等整數(shù)知識(shí)密切相關(guān)【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程(6-k)(9-k)x2-(117-15k)x+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)是的值有個(gè).思路點(diǎn)撥用因式分解法可得到根的簡(jiǎn)單表達(dá)式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準(zhǔn)確注：系數(shù)含參數(shù)的方程問題，在沒有指明是二次方程時(shí)，要注意有可能是一次方程，根據(jù)問題的題設(shè)條件，看是否要分類討論【例2】已知、為質(zhì)數(shù)且是方程的根，那么的值是()ABCD思路點(diǎn)撥由韋達(dá)定理、的關(guān)系式，結(jié)合整數(shù)性質(zhì)求出、的值【例3】試確定

3、一切有理數(shù)，使得關(guān)于的方程有根且只有整數(shù)根思路點(diǎn)撥由于方程的類型未確定，所以應(yīng)分類討論當(dāng)時(shí)，由根與系數(shù)關(guān)系得到關(guān)于r的兩個(gè)等式，消去r利用因式(數(shù))分解先求出方程兩整數(shù)根.【例4】當(dāng)為整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程是否有有理根?如果有，求出的值；如果沒有，請(qǐng)說明理由思路點(diǎn)撥整系數(shù)方程有有理根的條件是為完全平方數(shù)設(shè)二(2m+1)2-4(2m-1)=4m2-4m+5=(2m-1)2+4=n2(為整數(shù))解不定方程，討論的存在性注：一元二次方程(aMO)而言，方程的根為整數(shù)必為有理數(shù)，而二為完全平方數(shù)是方程的根為有理數(shù)的充要條件【例5】若關(guān)于的方程至少有一個(gè)整數(shù)根，求非負(fù)整數(shù)的值思路點(diǎn)撥因根的表示式復(fù)雜，從韋達(dá)定

4、理得出的的兩個(gè)關(guān)系式中消去也較困難，又因的次數(shù)低于的次數(shù)，故可將原方程變形為關(guān)于的一次方程學(xué)歷訓(xùn)練1已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有2. 已知方程有兩個(gè)質(zhì)數(shù)解，則m=.3. 給出四個(gè)命題：整系數(shù)方程(aMO)中，若為一個(gè)完全平方數(shù)，則方程必有有理根；整系數(shù)方程(aMO)中，若方程有有理數(shù)根，則為完全平方數(shù)；無理數(shù)系數(shù)方程(aMO)的根只能是無理數(shù)；若、均為奇數(shù)，則方程沒有有理數(shù)根，其中真命題.4. 已知關(guān)于的一元二次方程(為整數(shù))的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、則=.5.設(shè)rn為整數(shù)，且4m40，方程x2-2(2m-3)x+4m2-14m+8=0有兩個(gè)整數(shù)根，求m的值及方程的根6.已知方程ax

5、2-(3a28a)x+2a213a+15=0(aMO)至少有一個(gè)整數(shù)根，求的值.7求使關(guān)于的方程的根都是整數(shù)的值8. 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，關(guān)于的方程2x28nx+10xn2+35n76=0的兩根均為質(zhì)數(shù)，試解此方程9. 設(shè)關(guān)于的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4的兩根都是整數(shù)，試求滿足條件的所有實(shí)數(shù)的值10. 試求所有這樣的正整數(shù)，使得方程至少有一個(gè)整數(shù)解.11已知為質(zhì)數(shù)，使二次方程的兩根都是整數(shù)，求出的所有可能值12已知方程及分別各有兩個(gè)整數(shù)根、及、，且O，O(1) 求證：O,O，O,O；(2) 求證：；(3) 求、所有可能的值13如果直角三角形的兩條直角邊都是整數(shù)，

6、且是方程的根（為整數(shù)），這樣的直角三角形是否存在?若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由參考答案一元二次方程的整數(shù)解【例題求解】例15當(dāng)A6時(shí)，得工=2；當(dāng)怡=9時(shí)，得=3,當(dāng)AH6且H9時(shí)，解得4=吉，乜=占，當(dāng)6T=士1,3,9時(shí).xi是整數(shù)，這時(shí)人=7,5,3,15,3；當(dāng)9一怡=1,土2,士3,士6時(shí)，為是整數(shù)，這時(shí)A=10,8,11,7,12,15,3.綜上所述=3,6,7,9,15時(shí)原方程的解為整數(shù).例2選Ba+6=13,則a,6為2,ll,c=a6=22.例3(1)當(dāng)r=O時(shí)，得x=y不是整數(shù)；(2)當(dāng)A工0時(shí)，設(shè)方程的兩根為Tt,(X1),則X1+X2=

7、X2=于是，21工2(心+!)=2(二9)+匚嚴(yán)=3,有(2q1)(2乜-1=7：Xi,x2為整數(shù)，且X!X2,解得:或一彳，則r=_+或”=1.故所求一切有理數(shù)r為一寺或1.例4若=n2(.n為整數(shù)，則(2加一1)2+4=n2(n+2wl)(n2加+1=4Vn+(2m1)與n(2ml)奇偶性相同，故只可能有P+(2w,“或(“+1)-解得2m-l=0In(2m1)=2In(2ni1)=2此與m為整數(shù)矛盾，故不可能為完全平方數(shù)，方程不可能有有理根.例50=鳥篇1=(：；箒羅1，解得；一26且工工一1山=一2,0,1,2,3,4,5,6分別代入，得a=1,13,(a的分?jǐn)?shù)值已舍去【學(xué)力訓(xùn)練】1.

8、5當(dāng)a=l時(shí),x=l,當(dāng)aHl時(shí),Ti=1,x2=12.39943.4.15.A=4(2m+1)為完全平方數(shù)，又m為4m2,故W4,且為整數(shù)，于是5p=(n+l)(n1).則“+1、”一1中至少有一個(gè)是5的倍數(shù)，即”=5點(diǎn)1(點(diǎn)為整數(shù)).*.5p+l=25護(hù)1M+l=駅5丘土2).由P為質(zhì)數(shù)，5怡士21知A=l,p=3或7,當(dāng)0=3時(shí)，原方程變?yōu)椴乓?工一7=0,得工】=一1,比=7；當(dāng)p=7時(shí)，原方程變?yōu)閤2-14x+13=0,得工i=l,總=13.所以,/=3或7.12. 0,由XT20知t20,Xi+2=h=.還與已知Xi20,/20矛盾，故0,業(yè)V0,同理jc10*衛(wèi)gV?0.(2)

9、c(6l)=Xix2+工+忌+1=(工1+1)(工2+1)0,故cb1，對(duì)于方程x2十工+5=0進(jìn)行同樣討論，得bc1,綜上有6-lWcWb+l.(3) 當(dāng)c=b+l時(shí)x2=-x1-x2+l.從而(+1)(+1)=2=(-l)X(-2)=1X2.(工1+1=1匕1+1=2故,c或由此算出&=5=6符合題意*IJ-2+12Ix2+11 當(dāng)c=b9有小勸=(工1+比，從而(4+l)(x2+1)=1,因此，4=孔=2+故b=w=4、符合題意. 當(dāng)c=bT時(shí)，&=c+l,對(duì)方程ri+cx+b=0作類似討論有方=6丄=5,綜上所述得三組值.(趴C=(6,5),(5,6),(4,4).13. 鞏2=片化廠皿+1，當(dāng)勿=1時(shí)，丄=2或0,這樣的直角三角形不存在，假設(shè)還存在不為0或1的整數(shù)加,使得方程有整數(shù)抿，則m2zw+1=A2(A為整數(shù))*即m2mk11,必有m(m1)=(1)(+1),而m(ml)是兩個(gè)連續(xù)的不為0的整數(shù)的乘積，但是U-1)和d+l)、l和(k2l)都不是連續(xù)整數(shù)，故mO且時(shí)，旳2砒+1不是某整數(shù)的平方.綜上所述，滿足條件的直角三角形不存在.