數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)第四章 圖形的認(rèn)識 第2講 三角形 第2課時 等腰三角形與直角三角形

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1、第2課時等腰三角形與直角三角形1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個底角相等的三角形是等腰三角形.2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60；探索等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是 60的等腰三角形)是等邊三角形.3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離

2、相等；反之，到線段兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.6.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際問題.知識點(diǎn)內(nèi)容等腰三角形判定(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，即“等邊對等角”；(等腰三角形的定義)(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對等邊”性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角”；(2)三線合一：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合；(3)對稱性：等腰三角形是

3、軸對稱圖形，它的對稱軸是底邊上的高(底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線知識點(diǎn)內(nèi)容等邊三角形判定(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角是 60的等腰三角形是等邊三角形性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊相等；(2)等邊三角形的三個角都是 60；(3)對稱性：等邊三角形是軸對稱圖形，有 3 條對稱軸角平分線性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上(續(xù)表)知識點(diǎn)內(nèi)容線段的垂直平分線性質(zhì)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等逆定理到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上直角三角形

4、判定(1)有一個角是直角的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形(續(xù)表)(續(xù)表)知識點(diǎn)內(nèi)容直角三角形性質(zhì)(1)直角三角形的兩個銳角互余；(2)在直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半；(3)在直角三角形中，斜邊上的中線長等于斜邊長的一半勾股定理及其逆定理勾股定理在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理的逆定理若一個三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2016 年山東濱州)如圖 4-2-22，在ABC 中，D 為AB 上一點(diǎn)，E 為

5、BC 上一點(diǎn)，且 ACCDBDBE，A50，則CDE 的度數(shù)為()圖 4-2-22A.50B.51C.51.5D.52.5 思路分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出 A CDA 50，BDCB，BDEBED，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出B25，由三角形的內(nèi)角和定理求出BDE，根據(jù)平角的定義即可求出選項(xiàng).解：ACCDBDBE，A50，ACDA50，BDCB，BDEBED.BDCBCDA50，B25.BEDBDEB180，CDE180CDAEDB1805077.552.5.故選 D.名師點(diǎn)評本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義等，熟練地運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計算是解此題

6、的關(guān)鍵.【試題精選】1.如圖 4-2-23，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，BDAC，ABC72，則ABD()圖 4-2-23A.36B.54C.18D.64答案：B2.(2016 年湖北武漢)在平面直角坐標(biāo)系中，已知 A(2,2)，B(4,0).若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn) C，使ABC 為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn) C 的個數(shù)是()A.5B.6C.7D.8答案：A3.如圖 4-2-24，在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 邊上的中線，BEAC 于點(diǎn) E.求證：CBEBAD.圖 4-2-24證明：ABAC，AD 是 BC 邊上的中線，BEAC，CBECCADC90，CADBAD.CBEBAD.名

7、師點(diǎn)評解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時，一定要分清頂角和底角、底邊和腰，適當(dāng)情況下應(yīng)該分類討論，找出正確答案.證明兩條線段、兩個角相等的常用方法：若它們在同一個三角形中，可利用角證邊或用邊證角；若它們在不同的三角形中，則通過證兩個三角形全等來實(shí)現(xiàn).角平分線與垂直平分線例2：(2015 年湖北荊州)如圖 4-2-25，ABC 中，ABAC，AB 的垂直平分線交邊 AB 于點(diǎn) D，交邊 AC 于點(diǎn) E.若ABC 與EBC 的周長分別是 40 cm,24 cm，則 AB_cm.圖 4-2-25解析：DE 是 AB 的垂直平分線，AEBE.ABC 的周長ABACBC，EBC 的周長BEECBCAEEC

8、BCACBC，ABC 的周長EBC 的周長AB.AB402416(cm).答案：16思想方法運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解決本題的關(guān)鍵，即利用垂直平分線的性質(zhì)將EBC 的周長轉(zhuǎn)化為ACBC.例 3：如圖 4-2-26，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于點(diǎn) D，DEAC 于點(diǎn) E，DFBC 于點(diǎn) F，且 BC4，DE2，則BCD 的面積是_.圖 4-2-26解析：CD 是ACB 的平分線，DEAC，DFBC， DEDF2.答案：4易錯陷阱角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，注意必須是垂直距離，否則不成立.【試題精選】4.(2016 年湖北黃石)如圖 4-2-27，線段 AC 的垂直平分線交)線段 A

9、B 于點(diǎn) D，A50，則BDC(圖 4-2-27A.50B.100C.120D.130答案：B5.(2016 年浙江湖州)如圖4-2-28，ABCD，BP 和 CP 分別平分ABC 和DCB，AD 過點(diǎn) P，且與 AB 垂直.若 AD8，則點(diǎn) P 到 BC 的距離是()圖 4-2-28A.8B.6C.4D.2答案：C勾股定理及其應(yīng)用例 4：如圖 4-2-29，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道.為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點(diǎn) C 在 AB 的延長線上，設(shè)想過點(diǎn) C 作直線 AB的垂線 l，過點(diǎn) B 作一直線(在山的旁邊經(jīng)過)，與 l 相交于點(diǎn) D，經(jīng)測量A

10、BD135，BD800 米，求在直線 l 上距離點(diǎn) D多圖 4-2-29思路分析首先證明BCD 是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2BC2BD2 ，然后再代入BD800 米進(jìn)行計算即可.解：CDAC，ACD90.ABD135，DBC45.D45.CBCD.在RtDCB中，CD2BC2BD2， 答：在直線l 上距離點(diǎn)D566 米的C 處開挖.思想方法在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題的常用方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.【試題精選】6.小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖 4-2-30

11、，以往從黃石 A 坐客車到武昌客運(yùn)站 B，現(xiàn)在可以在 A 坐城際列車到武漢青山站 C，再從青山站 C 坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站 B.設(shè) AB80 km，BC20 km，ABC120.請你幫助小明解決以下問題：(2)若客車的平均速度是 60 km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為 40 km/h，城際列車的平均速度為 180 km/h，為了最短時間到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案？請說明理由.(不計候車時間)圖 4-2-30解：(1)過點(diǎn)C作AB 的垂線，交AB 的延長線于點(diǎn) E(如圖 D22).圖 D22選擇先乘坐城際列車，再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方案.名師點(diǎn)評解決直角三角形問題的關(guān)鍵：

12、一是能熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理分析與解決實(shí)際問題；二是解題時能靈活運(yùn)用直角三角形的一些性質(zhì)，如兩銳角之間的關(guān)系、斜邊與斜邊上中線的關(guān)系；三是當(dāng)幾何問題中給出了線段長度時，往往要構(gòu)造直角三角形.(如勾股數(shù)或添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形)圖 4-2-31圖 D232.(2012 年廣東)如圖4-2-32，在ABC 中，ABAC，ABC 72.(1)用直尺和圓規(guī)作ABC 的平分線 BD 交 AC 于點(diǎn) D；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)在(1)中作出ABC 的平分線 BD 后，求BDC 的度數(shù).圖 4-2-32解：(1)如圖 D24，以點(diǎn) B 為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交

13、AB，BC 于點(diǎn) E，F(xiàn)；圖 D24(2)在ABC 中，ABAC，ABC72，A1802ABC18014436.BD 是ABC 的平分線，BDC 是ABD 的外角，BDCAABD363672.3.(2015 年廣東)如圖 4-2-33，在邊長為 6 的正方形 ABCD中，E 是邊 CD 的中點(diǎn)，將ADE 沿 AE 對折至AFE，延長EF 交邊 BC 于點(diǎn) G，連接 AG.求 BG 的長.圖 4-2-33解：在正方形 ABCD 中，ADABBCCD，DBC90.將ADE 沿 AE 對折至AFE，ADAF，DEEF，DAFE90.ABAF，BAFG90.在 RtABG 和 RtAFG 中，ABG AFG(HL).BGFG.設(shè) BGFGx，則 GC6x.E 為 CD 的中點(diǎn)，CEEFDE3.EG3x.在RtCEG中，32(6x)2(3x)2.解得x2. BG2.