高一數(shù)學(xué)必修一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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1、高一數(shù)學(xué)必修1各章學(xué)問(wèn)點(diǎn)總結(jié) 第一章 集合與函數(shù)概念 一、集合有關(guān)概念 1. 集合的含義 2. 集合的中元素的三個(gè)特性： (1) 元素確實(shí)定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的無(wú)序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列舉法與描繪法。 u 留意：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）

2、記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實(shí)數(shù)集R 1） 列舉法：{a,b,c……} 2） 描繪法：將集合中的元素的公共屬性描繪出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 語(yǔ)言描繪法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn圖: 4、集合的分類(lèi)： (1) 有限集 含有有限個(gè)元素的集合 (2) 無(wú)限集 含有無(wú)限個(gè)元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合　　例：{x|x2=－5｝ 二、集合間的根本關(guān)系 1.“包含”關(guān)系—子集 留意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）

3、A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA 2．“相等”關(guān)系：A=B (5≥5，且5≤5，則5=5) 實(shí)例：設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素一樣則兩集合相等” 即：① 任何一個(gè)集合是它本身的子集。AíA ②真子集:假如AíB,且A1 B那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) ③假如 AíB, BíC ,那么 AíC ④ 假如AíB 同時(shí) BíA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ 規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 u 有n個(gè)元素的集合，含有2

4、n個(gè)子集，2n-1個(gè)真子集 三、集合的運(yùn)算 運(yùn)算類(lèi)型 交 集 并 集 補(bǔ) 集 定 義 由全部屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝． 由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB})． 設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中全部不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集（或余集） S A 記作，即 CSA= 韋 恩 圖 示 S A 性 質(zhì) AA=A

5、 AΦ=Φ AB=BA ABA ABB AA=A AΦ=A AB=BA ABＡ ABB (CuA) (CuB) = Cu (AB) (CuA) (CuB) = Cu(AB) A (CuA)=U A (CuA)= Φ． 例題： 1.下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是 （ ） A某班全部高個(gè)子的學(xué)生 B聞名的藝術(shù)家 C一切很大的書(shū) D 倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù) 2.集合{a，b，c }的真子集共有 個(gè) 3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}

6、，則M與N的關(guān)系是 . 4.設(shè)集合A=，B=，若AB，則的取值范圍是 5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種試驗(yàn)，已知物理試驗(yàn)做得正確得有40人，化學(xué)試驗(yàn)做得正確得有31人， 兩種試驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種試驗(yàn)都做對(duì)的有 人。 6. 用描繪法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M= . 7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值 ? 二、函數(shù)的有關(guān)概念 1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B

7、是非空的數(shù)集，假如根據(jù)某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域． 留意： 1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義域。 求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要根據(jù)是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零； (3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必需大于零； (4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必需大于零且不

8、等于1. (5)假如函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合. (6)指數(shù)為零底不行以等于零， (7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證明際問(wèn)題有意義. u 一樣函數(shù)的推斷方法：①表達(dá)式一樣（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；②定義域一樣 (兩點(diǎn)必需同時(shí)具備) (見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2) 2．值域 : 先考慮其定義域 (1)視察法 (2)配方法 (3)代換法 3. 函數(shù)圖象學(xué)問(wèn)歸納 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做

9、函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿意函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過(guò)來(lái)，以滿意y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上 . (2) 畫(huà)法 A、 描點(diǎn)法： B、 圖象變換法 常用變換方法有三種 1) 平移變換 2) 伸縮變換 3) 對(duì)稱(chēng)變換 4．區(qū)間的概念 （1）區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間 （2）無(wú)窮區(qū)間 （3）區(qū)間的數(shù)軸表示． 5．映射 一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，假如按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：AB為從集

10、合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）” 對(duì)于映射f：A→B來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿意： (1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)； (3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。 6.分段函數(shù) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。 (2)各部分的自變量的取值狀況． (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集． 補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù) 假如y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 稱(chēng)為f、g

11、的復(fù)合函數(shù)。 二．函數(shù)的性質(zhì) 1.函數(shù)的單調(diào)性(部分性質(zhì)) （1）增函數(shù) 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，假如對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的隨意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1

12、f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的斷定方法 (A) 定義法： 任取x1，x2∈D，且x1

13、定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性一樣的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集. 8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)） （1）偶函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個(gè)x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)． （2）．奇函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的隨意一個(gè)x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)． （3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 利用定義推斷函數(shù)奇偶性的步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并推斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)； 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； 作出相應(yīng)結(jié)論：若f(－x) = f(x)

14、或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)． 留意：函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，若不對(duì)稱(chēng)則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對(duì)稱(chēng)，(1)再根據(jù)定義斷定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來(lái)斷定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象斷定 . 9、函數(shù)的解析表達(dá)式 （1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng)法則，二是要求出函數(shù)的定義域. （2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：

15、 1) 湊配法 2) 待定系數(shù)法 3) 換元法 4) 消參法 10．函數(shù)最大（?。┲担ǘx見(jiàn)課本p36頁(yè)） 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值 利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲? 利用函數(shù)單調(diào)性的推斷函數(shù)的最大（?。┲担? 假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)； 假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)； 例題： 1.求下列函數(shù)的定義域： ⑴ ⑵ 2.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的

16、定義域?yàn)開(kāi) _ 3.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是 4.函數(shù) ，若，則= 5.求下列函數(shù)的值域： ⑴ ⑵ (3) (4) 6.已知函數(shù)，求函數(shù)，的解析式 7.已知函數(shù)滿意，則= 。 8.設(shè)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí)= 在R上的解析式為 9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)為增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)為減函數(shù)。 ⑴ ⑵ ⑶ 10.推斷函數(shù)的單調(diào)性并證明你的結(jié)論． 11.

17、設(shè)函數(shù)推斷它的奇偶性并且求證：． 第二章 根本初等函數(shù) 一、指數(shù)函數(shù) （一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算 1．根式的概念：一般地，假如，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*． u 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。 當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)， 2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定： ， u 0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義 3．實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) （1）· ； （2） ； （3） ． （二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽． 留意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍

18、，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1． 2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) a>1 0

19、 ； 留意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式． 兩個(gè)重要對(duì)數(shù)： 常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)； 自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)． u 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化 冪值 真數(shù) ＝ N＝ b 底數(shù) 指數(shù) 對(duì)數(shù) （二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 假如，且，，，那么： ·＋； －； ． 留意：換底公式 （，且；，且；）． 利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 （1）；（2）． （二）對(duì)數(shù)函數(shù) 1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)

20、，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+∞）． 留意： 對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似，都是形式定義，留意區(qū)分。如：， 都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù)． 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：，且． 2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)： a>1 0

21、函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特殊地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸； （3）時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無(wú)限地靠近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無(wú)限地靠近軸正半軸． 例題： 1. 已知a>0，a0，函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是　　　　　　 (　 ) 　　　　　　　 2.計(jì)算： ① ;②= ；= ; ③ = 3.函數(shù)y=log(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為 4.若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最

22、小值的3倍，則a= 5.已知，（1）求的定義域（2）求使的的取值范圍 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn) 1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)． 3、函數(shù)零點(diǎn)的求法： （代數(shù)法）求方程的實(shí)數(shù)根； （幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)絡(luò)起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)． 4、二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù)． （1）△＞０，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)． （2）△＝０，方程有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)． （3）△＜０，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)． 5.函數(shù)的模型 搜集數(shù)據(jù) 畫(huà)散點(diǎn)圖 選擇函數(shù)模型 求函數(shù)模型 用函數(shù)模型說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題 符合實(shí)際 不符合實(shí)際 檢驗(yàn)