2022年《空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系》教案教師版 2

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1、空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系引例 : 簡(jiǎn)述下列問(wèn)題的結(jié)論，并畫(huà)圖說(shuō)明：（1）直線(xiàn)a平面，直線(xiàn)baA，則b和的位置關(guān)系如何？（2）直線(xiàn)a平面，直線(xiàn)/ba，則b和的位置關(guān)系如何？解： （1）,bbA平面或； （ 2）,/bb平面或. 說(shuō)明 （1）引導(dǎo)學(xué)生掌握空間直線(xiàn)與平面的各種位置關(guān)系，學(xué)會(huì)各種位置關(guān)系的畫(huà)法與表示方法 . 注意立體幾何中，文字、符號(hào)語(yǔ)言與圖形直觀(guān)的互相轉(zhuǎn)化. （2）小結(jié) 空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系直線(xiàn)在平面上- 有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)平行 - 沒(méi)有公共點(diǎn)直線(xiàn)和平面直線(xiàn)不在平面上-相交 - 有且只有一個(gè)公共點(diǎn)( 直線(xiàn)在平面外) 說(shuō)明 同時(shí)用圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、幾何語(yǔ)言表述這些位置關(guān)系.今天我們來(lái)

2、探索空間直線(xiàn)和平面相交中的一種特殊位置關(guān)系直線(xiàn)和平面垂直二、學(xué)習(xí)新課問(wèn)題 1：在日常生活中你見(jiàn)到最多的直線(xiàn)與平面垂直的情形是什么？請(qǐng)舉例說(shuō)明. 說(shuō)明 引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見(jiàn)的直線(xiàn)與平面垂直的例子，如旗桿與地面的位置關(guān)系，大橋的橋柱與水面的位置關(guān)系，教室內(nèi)直立的墻角線(xiàn)和地面的位置關(guān)系等 . 問(wèn)題2： 結(jié)合對(duì)下列問(wèn)題的思考，討論能否用一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - 圖 1 A B

3、C BC圖 2 A B 平面內(nèi)的直線(xiàn)，來(lái)定義這條直線(xiàn)和這個(gè)平面垂直呢？（1）如圖 1，陽(yáng)光下直立于地面的旗桿AB與它在地面上的影子BC的位置關(guān)系是什么？隨著太陽(yáng)的移動(dòng)，旗桿AB與影子BC所成的角度會(huì)發(fā)生改變嗎 ? （2）旗桿AB與地面上任意一條不過(guò)旗桿底部B的直線(xiàn)BC的位置關(guān)系又是什么？依據(jù)是什么？由此得到什么結(jié)論？（3）如圖 2，當(dāng)旗桿AB傾斜時(shí)， 還能保證AB與地面上的任一直線(xiàn)都垂直嗎？定義：一般地，如果一條直線(xiàn)l與平面 上的任何直線(xiàn)都垂直，那么我們就說(shuō)直線(xiàn) l與平面 垂直（line l perpendicular to plane ） ， 記作： l.直線(xiàn)l叫做平面 的垂線(xiàn)（perpen

4、dicular line） ，平面 叫做直線(xiàn)l的垂面l與面 的交點(diǎn)叫做垂足. 畫(huà)法： 畫(huà)直線(xiàn)與平面垂直時(shí)，通常把直線(xiàn)畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖3. 辨析 1：下列命題是否正確？為什么？（ 1）如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)與這個(gè)平面垂直. （ 2）如果一條直線(xiàn)垂直一個(gè)平面，那么這條直線(xiàn)就垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任一直線(xiàn). 說(shuō)明 通過(guò)問(wèn)題辨析，加深概念的理解. 由（ 1）使學(xué)生明確定義中的“任意一條直線(xiàn)”是“所有直線(xiàn)”的意思. 而（ 2）給出了直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直的一種判定方法. 引導(dǎo)學(xué)生給出命題（2）的符號(hào)表示：aabbl P 圖 3 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 -

5、 - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - D C B A 圖 4 問(wèn)題 3：通常定義可以作為判定的依據(jù)，那么用上述定義判定直線(xiàn)與平面垂直是否方便？為什么？如何改進(jìn)？ 說(shuō)明 感受用定義作判斷不方便，引發(fā)學(xué)生探索判定定理的需要，體會(huì)有限與無(wú)限的辨證關(guān)系 . 引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線(xiàn)減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對(duì)兩條相交情形，可引導(dǎo)學(xué)生觀(guān)察直立地面的棋桿與其在地面的影子，還可進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn).

6、 實(shí)驗(yàn)： 如圖 4，請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的一塊（任意）三角形的紙片，我們一起來(lái)做一個(gè)試驗(yàn)：過(guò)ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上，（BD、DC與桌面接觸） . 問(wèn)題 4： 如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？由此你能得到什么結(jié)論？ 說(shuō)明 通過(guò)折紙讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)折痕娥AD是BC邊上的高，即ADBC時(shí)翻折后的折痕AD與桌面垂直 . 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)折痕AD與桌面垂直的本質(zhì)特征： AD是BC邊上的高時(shí)，無(wú)論怎樣翻折，翻折之后垂直關(guān)系不變，即ADCD，ADBD，同時(shí)CD、BD是兩相交直線(xiàn)不變，這就是說(shuō)，當(dāng)AD垂直于桌面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)CD、BD時(shí)，它就垂直于桌面所

7、在的平面. 定理 2：如果直線(xiàn)l與平面上的兩條相交直線(xiàn)a、b都垂直，那么直線(xiàn)l與平面垂直 . 用符號(hào)語(yǔ)言表示為：,ababOlla lb辨析 2： （1）下列命題是否正確？為什么？如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平行四邊形的兩條邊垂直，那么這條直線(xiàn)垂直于平行四邊形所在的平面 . （2）如圖 5, 若 內(nèi)兩條相交直線(xiàn)m、n與l無(wú)公共點(diǎn)且lm、ln，直線(xiàn)l還垂直平面 嗎？ 說(shuō)明 通過(guò)辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線(xiàn)與一個(gè)平面是否垂mln圖 5 o 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - -

8、 - 第 3 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - a b圖 6 直, 取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線(xiàn)和已知直線(xiàn)垂直，至于這兩條相交直線(xiàn)是否和已知直線(xiàn)有公共點(diǎn)是無(wú)關(guān)緊要的. 所謂：“線(xiàn)不在多，相交則靈”. 三、鞏固練習(xí)例 1：如圖 , 觀(guān)察跨欄、跳高架，你認(rèn)為跨欄的支架、跳高架的立竿能豎直立于地面的原因是什么 ? 說(shuō) 明 用學(xué)習(xí)到的知識(shí)解釋實(shí)際生活中的問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，深化對(duì)直線(xiàn)與平面垂直定理的理解. 例 2：如圖 6，已知ab，a，求證：b. 說(shuō)明 初步感受如何運(yùn)用直線(xiàn)與平面垂直的定理與定義解決問(wèn)題，明確運(yùn)用線(xiàn)面垂直定理時(shí)的具體步驟，防止缺少條件，特別是“相

9、交”的條件. 讓學(xué)生用文字語(yǔ)言敘述：如果兩條平行直線(xiàn)中的一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線(xiàn)也垂直于這個(gè)平面. 命題體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系的聯(lián)系，其結(jié)果給出了直線(xiàn)和平面垂直的又一個(gè)判定方法. 例 3： （1）如圖 7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，判斷下列結(jié)論是否正確：AC面CDD1C1A A 1面A1B1C1D1AC面BDD1B1 EF面BDD1B1ACBD1（2） 將（ 1）中正方體改成長(zhǎng)方體呢，以上結(jié)論是否正確？ 說(shuō)明 利用所學(xué)知識(shí)解決直線(xiàn)與平面垂直的有關(guān)問(wèn)題，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想在解決問(wèn)題中的作用.其中是定義的應(yīng)用，是定理的應(yīng)用，是思考題2 結(jié)論的

10、應(yīng)用，是定理與定義的綜合應(yīng)用 . 四、應(yīng)用應(yīng)用之一 是利用直線(xiàn)與平面垂直的定義、定理進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)幾何推理證明的思圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - 考方法，基本規(guī)則和嚴(yán)謹(jǐn)性. 我們繼續(xù)研究圖7 例 4: 如圖 7, 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、CC1的中點(diǎn)，ACBDO，連接11,A D AB DF BF，求證 :

11、1BDAF 說(shuō)明 要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，可找線(xiàn)面垂直，反之亦然. 即：這是立體幾何證明垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法. 除此之外，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系通過(guò)計(jì)算找線(xiàn)線(xiàn)垂直，如勾股定理等，有時(shí)會(huì)利用平面幾何的性質(zhì)，如等腰三角形底邊上的三線(xiàn)合一等等.應(yīng)用之二 是利用直線(xiàn)與平面垂直的定義、定理解決一些度量問(wèn)題，如角、距離等，我們現(xiàn)在來(lái)探究距離的度量問(wèn)題. 問(wèn)題 5：你能舉例說(shuō)明距離在日常生活中的重要性嗎？ 說(shuō)明 引導(dǎo)學(xué)生舉出生活中常見(jiàn)的需要測(cè)量距離的例子，如為了有合適的照明，需要確定吊燈與桌面的距離；為了保證安全，高壓線(xiàn)離地面需要相當(dāng)?shù)木嚯x；為了購(gòu)買(mǎi)家具，需要知道天花板與地面的距離等等，體驗(yàn)探究距離的必要性，距離定

12、義：（1）點(diǎn)M和平面的距離：過(guò)點(diǎn)M作平面的垂線(xiàn)，垂足為N，我們把點(diǎn)M到垂足N之間的距離叫做點(diǎn)M和平面的距離 . （2）直線(xiàn)l和平面的距離：設(shè)直線(xiàn)l平行于平面在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn)M，我們把點(diǎn)M到平面的距離叫做直線(xiàn)l和平面的距離 . （3）設(shè)平面平行平面，在平面上任取一點(diǎn)M，我們把點(diǎn)M到平面的距離叫做平面和平面的距離 . （4）異面直線(xiàn)a和b的距離： 設(shè)直線(xiàn)a和b是異面直線(xiàn)， 當(dāng)點(diǎn)M、N分別在a和b上，且直線(xiàn)MN既垂直于直線(xiàn)a，又垂直于直線(xiàn)b時(shí)，我們把直線(xiàn)MN叫做異面直線(xiàn)a和b公垂線(xiàn)，垂足M、N之間的距離叫做異面直線(xiàn)a和b的距離 . 說(shuō)明 立體幾何中，求距離的關(guān)鍵是化歸，即空間距離向平面距離的化歸，

13、體現(xiàn)了“降維”的思想 . 我們繼續(xù)研究圖7 直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直直線(xiàn)與平面垂直名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - 例 5：如圖 7, 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，1,AA AB和AD的長(zhǎng)分別為3,4cmcm和5cm. （1）求點(diǎn)A和點(diǎn)1C的距離；（2）求點(diǎn)A到棱11BC的距離；（3）求棱AB和平面1111DABC的距離；（4）求異面直線(xiàn)AD和11AB的距離 . 說(shuō)明 求距離的基本步驟是作、證、算

14、，此外還要特別注意融合在運(yùn)算中的推理過(guò)程，推理是運(yùn)算的基礎(chǔ)，運(yùn)算只是推理過(guò)程的延續(xù). 因此求距離的關(guān)鍵是直線(xiàn)與平面位置關(guān)系的論證. 四、課堂小結(jié)（1）通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些判斷直線(xiàn)與平面垂直的方法？（2）上述判斷直線(xiàn)與平面垂直的方法體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？（3）你會(huì)利用直線(xiàn)與平面垂直的定義和定理找到點(diǎn)、線(xiàn)、面的距離并計(jì)算嗎？五、作業(yè)布置1、點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，O是對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)，且PA=PC，PB=PD. 求證：PO平面ABCD. 2 、探究題：如圖，直四棱柱ABCD-ABCD（側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱(chēng)為直棱柱）中，底面四邊形滿(mǎn)足什么條件時(shí)， ACBD？3、課本

15、P14 練習(xí)4AB是 O的直徑， C為圓上一點(diǎn)， AB2，AC1， P為 O所在平面外一點(diǎn)，且PA O， PB 與平面所成角為45 （ 1）證明： BC 平面 PAC ；（ 2）求點(diǎn) A到平面 PBC的距離 說(shuō)明 通過(guò)訓(xùn)練，鞏固本課所學(xué)知識(shí)，檢測(cè)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力. 其中第 1 題主要運(yùn)用直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，第2、是活用直線(xiàn)與平面垂直的定義與判定定理. 第 3、4題是利用直線(xiàn)與平面垂直的定義與判定定理找到點(diǎn)、線(xiàn)、面的距離并計(jì)算. 六、教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明題 3 A D C B ABCD圖 7C D A B1B D1A1C1E F 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - -

16、 - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - 空間直線(xiàn)與平面垂直是直線(xiàn)和平面相交中的一種特殊情況，它是空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直位置關(guān)系的拓展，又是平面與平面垂直的基礎(chǔ)，是空間中垂直位置關(guān)系間轉(zhuǎn)化的重心，同時(shí)它又是點(diǎn)、直線(xiàn)、平面和平面之間的距離以及直線(xiàn)和平面所成的角等內(nèi)容的基礎(chǔ)，因而它是空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面間位置關(guān)系中的核心概念之一. 在探索空間直線(xiàn)與平面垂直的定義及判定定理時(shí)，注意從具體實(shí)例出發(fā)，通過(guò)觀(guān)察、思考與討論，讓學(xué)生感悟“一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直”

17、是這條直線(xiàn)與平面垂直的本質(zhì)內(nèi)涵. 引導(dǎo)學(xué)生思考用定義作判斷不方便的原因，再討論平面內(nèi)的直線(xiàn)減少到多少條才合適，先排除一條和兩條平行的情形，對(duì)兩條相交情形，通過(guò)折紙活動(dòng)進(jìn)行討論，再通過(guò)辨析，讓學(xué)生明白要判斷一條直線(xiàn)與一個(gè)平面是否垂直, 取決于在這個(gè)平面內(nèi)能否找到兩條相交直線(xiàn)和已知直線(xiàn)垂直，至于這兩條相交直線(xiàn)是否和已知直線(xiàn)有公共點(diǎn)是無(wú)關(guān)緊要的. 所謂：“線(xiàn)不在多，相交則靈”. 在這個(gè)過(guò)程中，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索、歸納、總結(jié)出相關(guān)概念，充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，在應(yīng)用定義和定理證明空間直線(xiàn)與平面垂直的過(guò)程中，注意引導(dǎo)學(xué)生把在直線(xiàn)和平面關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)和直線(xiàn)的關(guān)系，滲透轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 這種

18、轉(zhuǎn)化思想同樣要滲透在求直線(xiàn)和平面、平面和平面之間的距離中，它們都可轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)和平面的距離. 空間直線(xiàn)與平面垂直的問(wèn)題是立體幾何中一個(gè)基本的問(wèn)題，在后面的多面體學(xué)習(xí)中會(huì)繼續(xù)涉及，因此，教學(xué)中要注意把握好“度”. 所選例題和習(xí)題都不宜太難. 同時(shí)，應(yīng)注重思維過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性，無(wú)論是判斷、證明，都要緊扣定義和定理. 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - - 名師歸納總結(jié) 精品學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理歸納 精選學(xué)習(xí)資料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 8 頁(yè) - - - - - - - - -