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1、第一篇、復合函數問題一、復合函數定義：設y=f(u)的定義域為A，u=g(x)的值域為B，若A B，則y關于x函數的y=fg(x)叫做函數f與g的復合函數，u叫中間量.二、復合函數定義域問題：（一）例題剖析：(1)、已知的定義域，求的定義域例1. 設函數的定義域為（0，1），則函數的定義域為_。解析：函數的定義域為（0，1）即，所以的作用范圍為（0，1）又f對lnx作用，作用范圍不變，所以解得，故函數的定義域為（1，e）例2. 若函數，則函數的定義域為_。解析：先求f的作用范圍，由，知即f的作用范圍為，又f對f(x)作用所以，即中x應滿足即，解得故函數的定義域為（2）、已知的定義域，求的定義域
2、例3. 已知的定義域為，則函數的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得所以f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以即函數的定義域為例4. 已知，則函數的定義域為_。解析：先求f的作用范圍，由，知解得，f的作用范圍為，又f對x作用，作用范圍不變，所以，即的定義域為（3）、已知的定義域，求的定義域思路：設的定義域為D，即，由此得，的作用范圍為E，又f對作用，作用范圍不變，所以，解得，F為的定義域。例5. 若函數的定義域為，則的定義域為_。解析：的定義域為，即，由此得的作用范圍為 又f對作用，所以，解得即的定義域為三、復合函數單調性問題（1）引理證明已知函數.若在區(qū)間 ）上是減函數，其值域
3、為(c，d)，又函數在區(qū)間(c,d)上是減函數，那么，原復合函數在區(qū)間 ）上是增函數.證明：在區(qū)間）內任取兩個數，使因為在區(qū)間）上是減函數，所以,記, 即因為函數在區(qū)間(c,d)上是減函數，所以,即，故函數在區(qū)間）上是增函數.（2）復合函數單調性的判斷復合函數的單調性是由兩個函數共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結成一個圖表：增 減 增 減 增 減 增 減 減 增 以上規(guī)律還可總結為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”.（3）、復合函數的單調性判斷步驟： 確定函數的定義域； 將復合函數分解成兩個簡單函數：與。 分別確定分解成的兩個函數的單調性； 若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相同（即都是增函數，或都是減函數），則復合后的函數為增函數； 若兩個函數在對應的區(qū)間上的單調性相異（即一個是增函數，而另一個是減函數），則復合后的函數為減函數。（4）例題演練例1、 求函數的單調區(qū)間，并用單調定義給予證明解：定義域 單調減區(qū)間是 設 則 = 又底數 即 在上是減函數同理可證：在上是增函數
高一數學復合函數例題;
