《運(yùn)籌學(xué)》考試題及其答案.doc

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1、2012-2013學(xué)年第1學(xué)期運(yùn)籌學(xué)考試題答案要求:第一題必做（50分），二三四題任選兩題（每題各25分）。一、 考慮下面線性規(guī)劃問題（1） 用圖解法求解該問題；（2） 寫出該問題的標(biāo)準(zhǔn)形式；（3） 求出該問題的松弛變量和剩余變量的值；（4） 用單純形法求解?！窘獯稹?1)圖中陰影部分為此線性規(guī)劃問題的可行域,目標(biāo)函數(shù),即是斜率為的一族平行直線,由線性規(guī)劃的性質(zhì)知,其最值在可行域的頂點(diǎn)取得,將直線沿其法線方向逐漸向上平移,直至A點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(),所以此線性規(guī)劃問題有唯一解。(2)給等式（2）左端添加剩余變量，給等式（3）左端添加松弛變量，則得到該問題的標(biāo)準(zhǔn)型為： （3）在上面標(biāo)準(zhǔn)型中令，得

2、到剩余變量=0，松弛變量=0。（4）先在上面標(biāo)準(zhǔn)型中約束條件(1)、（2）中分別加入人工變量,，得到如下數(shù)學(xué)模型，由此列出單純形表逐步迭代，用大M法求解計(jì)算結(jié)果如下表所示。CjxjXBCB4100MMbqiM【3】1001031M43100163/2012010033rj7 M44M1M0009M411/3001/3013M0【5/3】104/3126/5005/3011/3026/5rj(-z)0(5M+1)/3M0(7M+4)/304-2M4101/503/51/53/51/31013/504/53/56/5000【1】11100rj(-z)001/50M+8/5M-1/518/54100

3、1/52/503/510103/51/506/500011110rj(-z)0001/5M+7/5M18/5表中所有檢驗(yàn)數(shù)rj0,根據(jù)最優(yōu)解定理，問題存在唯一的最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值。二、 試用表上作業(yè)法求解下列運(yùn)輸問題的最優(yōu)解。產(chǎn)地 銷地B1B2B3B4產(chǎn)量A148846A295634A33114212銷量6277【解答】：顯然該問題是一個(gè)供需平衡問題，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。B1B2B3B4產(chǎn)量A1648846A29256234A30311745212銷量6277用位勢(shì)法求出各非基變量（即空格）的檢驗(yàn)數(shù)，如下表所示。B1B2B3B4A164(3)8(3)8(1)4=0A2(5

4、)925(1)623=0A303(7)117452=1=4=5=53因?yàn)樗蟹腔兞康臋z驗(yàn)數(shù)均為非負(fù)的，故表中的解為最優(yōu)解。按照此種方案調(diào)運(yùn)，最小費(fèi)用為：64+25+23+03+74+52= 78三、 用標(biāo)號(hào)算法求解下圖中從V1到各點(diǎn)的最短路【解答】：此為最短路問題，權(quán)數(shù)為正，用Dijksta算法的計(jì)算步驟如下： 初始值 T( ) 01P( )+wij0+20+80+0+0+0+0+0+0+0+T( ) 282P( )+wij2+62+2+12+2+2+2+2+2+T( ) 833P( )+wij3+53+3+3+3+3+13+3+T( ) 844P( )+wij4+4+4+64+4+74+4

5、+T( ) 810115P( )+wij8+78+8+8+8+8+T( ) 1510116P( )+wij10+10+410+10+10+T( ) 1514117P( )+wij11+11+11+11+9T( ) 1514208P( )+wij14+14+114+T( ) 1515119P( )+wij15+4T( ) 19由上表的迭代過程可得：， ， ， ，d(,)=2,最短路：（,）； d(,)=3,最短路：（,）；d(,)=4,最短路：（,）；d(,)=10,最短路：（,）； d(,)=8,最短路：（,）或（,）或（,）； d(,)=11,最短路：（,）；d(,)=14最短路：（,）；d

6、(,)=15,最短路：（,）或（,）或（,）；d(,)=15,最短路：（,）； d(,)=19,最短路：（,）；四、 某公司面對(duì)四種自然狀態(tài)的三種備選行動(dòng)方案收益表如下，假定狀態(tài)概率未知，試分別用悲觀準(zhǔn)則、等可能性準(zhǔn)則、后悔值準(zhǔn)則和樂觀系數(shù)準(zhǔn)則（=0.6）進(jìn)行決策。狀態(tài)收益 值方案1234A115806A241483A3141012【解答】：（1）應(yīng)用悲觀準(zhǔn)則：S2為最佳方案。(2)應(yīng)用等可能性準(zhǔn)則：, , , ，S2為最佳方案。（3）應(yīng)用后悔值準(zhǔn)則：先求出后悔值矩陣 S2為最佳方案。 (4)應(yīng)用樂觀系數(shù)準(zhǔn)則（=0.6）：先計(jì)算各個(gè)方案的折中益損值：， S2為最佳方案 已知下表為求解某目標(biāo)函數(shù)

7、為極大化線性規(guī)劃問題的最終單純形表，表中為松弛變量，問題的約束為 _ 形式（共8分） 5/201/211/25/211/201/61/300 (1)寫出原線性規(guī)劃問題；（4分）(2)寫出原問題的對(duì)偶問題；（3分）(3)直接由上表寫出對(duì)偶問題的最優(yōu)解。（1分）四、用單純形法解下列線性規(guī)劃問題（16分） s. t. 3 x1 + x2 + x3 60 x 1- x 2 +2 x 3 10 x 1+ x 2- x 3 20 x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面運(yùn)輸問題。 （18分） 某公司從三個(gè)產(chǎn)地A1、A2、A3 將物品運(yùn)往四個(gè)銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)

8、地運(yùn)往各銷地每件物品的運(yùn)費(fèi)如表所示：問：應(yīng)如何調(diào)運(yùn)，可使得總運(yùn)輸費(fèi)最小? 銷 地 產(chǎn) 地 產(chǎn) 量1089523674768252550銷 量15203035100六、靈敏度分析（共8分）線性規(guī)劃max z = 10 x1 + 6x2 + 4x3 s.t. x1 + x2 + x3 100 10 x1 +4 x2 + 5 x3 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 300 x1 , x2 , x3 0的最優(yōu)單純形表如下：6x2200/305/615/3 1/6010 x1100/311/60-2/31/600 x6100040-201sj08/30-10/3 2/30(1)C1在何范圍內(nèi)變化

9、，最優(yōu)計(jì)劃不變？(4分)(2)b1在什么范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基不變？(4分)七、試建立一個(gè)動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。（共8分）某工廠購進(jìn)100臺(tái)機(jī)器，準(zhǔn)備生產(chǎn) p1 , p2 兩種產(chǎn)品。若生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 ，每臺(tái)機(jī)器每年可收入45萬元，損壞率為65%；若生產(chǎn)產(chǎn)品 p2 ，每臺(tái)機(jī)器 每年可收入35萬元，損壞率為35%；估計(jì)三年后將有新 的機(jī)器出現(xiàn)，舊的機(jī)器將全部淘汰。試問每年應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使在三年內(nèi)收入最多？八、求解對(duì)策問題。（共10分）某種子商店希望訂購一批種子。據(jù)已往經(jīng)驗(yàn)，種子的銷售量可能為500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤種子的訂購價(jià)為6元，銷售價(jià)為9元，剩余種子的處理價(jià)為每公斤3元。要

10、求：（1）建立損益矩陣；（3分）（2）用悲觀法決定該商店應(yīng)訂購的種子數(shù)。（2分）（3）建立后悔矩陣，并用后悔值法決定商店應(yīng)訂購的種子數(shù)。（5分）九、求下列網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的各時(shí)間參數(shù)并找出關(guān)鍵問題和關(guān)鍵路徑。（8分）6812345756379342783 工序代號(hào) 工序 時(shí)間最早開工時(shí)間最早完工時(shí)間最晚開工時(shí)間最晚完工時(shí)間機(jī)動(dòng)時(shí)間1-281-371-462-432-553-423-634-534-674-745-796-78十、用標(biāo)號(hào)法求V1 到 V6 的最短路。（6分）3V4V5V3V1V2V6465664384運(yùn)籌學(xué)樣卷（一）答案一、 判斷題。共計(jì)10分，每小題1分10XXXX二、建線性規(guī)劃模型

11、。共計(jì)8分（酌情扣分）解：用分別表示大豆、玉米、麥子的種植公頃數(shù)；分別表示奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；分別表示秋冬季和春夏季的勞動(dòng)力（人日）數(shù)，則有三、對(duì)偶問題。共計(jì)8分解：（）原線性規(guī)劃問題：；4分（）原問題的對(duì)偶規(guī)劃問題為：； 3分（）對(duì)偶規(guī)劃問題的最優(yōu)解為：T 。1分四、單純形表求解線性規(guī)劃。共計(jì)16分解：引入松弛變量x4、 x5、 x6，標(biāo)準(zhǔn)化得， s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0 x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，03分 建初始單純形表，進(jìn)行迭代運(yùn)算：

12、 9分CBXbb2-11000 x1x2x3x4x5x60 x460311100200 x5101-1201010*0 x62011-100120s102*-110000 x43004-51-307.52x1101-12010-0 x61002-30-115*s22001*-30-200 x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.5s32500-1.50-1.5-0.5由最優(yōu)單純形表可知，原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： ( 15 , 5 , 0 )T 2分最優(yōu)值為： z*=25。2分 五、求解運(yùn)輸問題。共計(jì)18分解：（1）最小元素法：（也可以用其他方

13、法，酌情給分）設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的運(yùn)量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下： 銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量1231520302555252550銷 量15203035100 3分所以，基本的初始可行解為：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ； X31 =15； x33 =30； x34=5 其余的xij=0。 3分（2）求最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案：1會(huì)求檢驗(yàn)數(shù)，檢驗(yàn)解的最優(yōu)性：s11=2；s12=2；s13=3；s21=1；s23=5；s32= - 13分2會(huì)求調(diào)整量進(jìn)行調(diào)整：=5 2分 銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量12315155302510252550銷 量152030351003分3再

14、次檢驗(yàn) 2分 4能夠?qū)懗稣_結(jié)論解為：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30其余的xij=0。 1分 最少運(yùn)費(fèi)為： 535 1分。六、靈敏度分析。共計(jì)8分（1）（4分）（2）（4分）七、建動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。共計(jì)8分解：(1)設(shè)階段變量k表示年度，因此，階段總數(shù)n=3。(2)狀態(tài)變量sk表示第k年度初擁有的完好機(jī)床臺(tái)數(shù)， 同時(shí)也是第 k1 年度末時(shí)的完好機(jī)床數(shù)量。(3)決策變量uk，表示第k年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 的機(jī)器臺(tái)數(shù)。于是sk uk便為該年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1的機(jī)器臺(tái)數(shù)（4） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為（5）允許決策集合,在第 k 段為

15、（6）目標(biāo)函數(shù)。設(shè)gk(sk,uk)為第k年度的產(chǎn)量，則 gk(sk,uk) = 45uk + 35(skuk) , 因此，目標(biāo)函數(shù)為（7）條件最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)遞推方程。令fk(sk)表示由第k年的狀態(tài)sk出發(fā)，采取最優(yōu)分配方案到第3年度結(jié)束這段時(shí)間的產(chǎn)品產(chǎn)量，根據(jù)最優(yōu)化原理有以下遞推關(guān)系：（8）.邊界條件為八、解決對(duì)策問題。共10分（1）益損矩陣如下表所示：3分 銷 售訂 購S1500S21000S31500S42000A1 500A2 1000A3 1500A4 20001500015003000150030001500015003000450030001500300045006000（2）悲

16、觀法：A1 ，訂購500公斤。2分（3）后悔矩陣如下表所示：3分 S1S2S3S4最大后悔值A(chǔ)101500300045004500A215000150030003000A330001500015003000A445003000150004500 按后悔值法商店應(yīng)取決策為A2或A3 ，即訂購1000公斤或1500公斤。2分68123457563793427830871114182626141811980九、求網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃圖的各時(shí)間參數(shù)。（8分）工序代號(hào) 工序 時(shí)間最早開工時(shí)間最早完工時(shí)間最晚開工時(shí)間最晚完工時(shí)間機(jī)動(dòng)時(shí)間1-28080801-37072921-460651162-4381181102-

17、5581391413-427991123-63710151884-531114111404-671118111804-7411152226115-791423172636-78182618260關(guān)鍵問題是：；2；6；6關(guān)鍵線路是：12467評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：能正確給各頂點(diǎn)標(biāo)號(hào)并填表.4分正確寫出關(guān)鍵問題. 2分正確畫出關(guān)鍵線路. 分十、用標(biāo)號(hào)法求v1 到 v6 的最短路。（6分）4V4V5V3V1V2V6628737152(0,0)(4,v1)(6,v2)（8,v1）(9,v3)(10,v2) (10,v4)(11,v2)(13,v3)(12,v5)(14,v4) 最短路為：v1,v2,v3,v4,v5,v6長度為：12正確標(biāo)號(hào)：4分；正確寫出結(jié)論：2分13