《運籌學》考試題及其答案.doc

2012-2013學年第1學期運籌學考試題答案要求:第一題必做（50分），二三四題任選兩題（每題各25分）。一、 考慮下面線性規(guī)劃問題（1） 用圖解法求解該問題；（2） 寫出該問題的標準形式；（3） 求出該問題的松弛變量和剩余變量的值；（4） 用單純形法求解?！窘獯稹?1)圖中陰影部分為此線性規(guī)劃問題的可行域,目標函數(shù),即是斜率為的一族平行直線,由線性規(guī)劃的性質(zhì)知,其最值在可行域的頂點取得,將直線沿其法線方向逐漸向上平移,直至A點,A點的坐標為(),所以此線性規(guī)劃問題有唯一解。(2)給等式（2）左端添加剩余變量，給等式（3）左端添加松弛變量，則得到該問題的標準型為： （3）在上面標準型中令，得到剩余變量=0，松弛變量=0。（4）先在上面標準型中約束條件(1)、（2）中分別加入人工變量,，得到如下數(shù)學模型，由此列出單純形表逐步迭代，用大M法求解計算結(jié)果如下表所示。CjxjXBCB4100MMbqiM【3】1001031M43100163/2012010033rj7 M44M1M0009M411/3001/3013M0【5/3】104/3126/5005/3011/3026/5rj(-z)0(5M+1)/3M0(7M+4)/304-2M4101/503/51/53/51/31013/504/53/56/5000【1】11100rj(-z)001/50M+8/5M-1/518/541001/52/503/510103/51/506/500011110rj(-z)0001/5M+7/5M18/5表中所有檢驗數(shù)rj0,根據(jù)最優(yōu)解定理，問題存在唯一的最優(yōu)解，目標函數(shù)的最優(yōu)值。二、 試用表上作業(yè)法求解下列運輸問題的最優(yōu)解。產(chǎn)地 銷地B1B2B3B4產(chǎn)量A148846A295634A33114212銷量6277【解答】：顯然該問題是一個供需平衡問題，利用伏格法求出初始方案，如下表所示。B1B2B3B4產(chǎn)量A1648846A29256234A30311745212銷量6277用位勢法求出各非基變量（即空格）的檢驗數(shù)，如下表所示。B1B2B3B4A164(3)8(3)8(1)4=0A2(5)925(1)623=0A303(7)117452=1=4=5=53因為所有非基變量的檢驗數(shù)均為非負的，故表中的解為最優(yōu)解。按照此種方案調(diào)運，最小費用為：64+25+23+03+74+52= 78三、 用標號算法求解下圖中從V1到各點的最短路【解答】：此為最短路問題，權數(shù)為正，用Dijksta算法的計算步驟如下： 初始值 T( ) 01P( )+wij0+20+80+0+0+0+0+0+0+0+T( ) 282P( )+wij2+62+2+12+2+2+2+2+2+T( ) 833P( )+wij3+53+3+3+3+3+13+3+T( ) 844P( )+wij4+4+4+64+4+74+4+T( ) 810115P( )+wij8+78+8+8+8+8+T( ) 1510116P( )+wij10+10+410+10+10+T( ) 1514117P( )+wij11+11+11+11+9T( ) 1514208P( )+wij14+14+114+T( ) 1515119P( )+wij15+4T( ) 19由上表的迭代過程可得：， ， ， ，d(,)=2,最短路：（,）； d(,)=3,最短路：（,）；d(,)=4,最短路：（,）；d(,)=10,最短路：（,）； d(,)=8,最短路：（,）或（,）或（,）； d(,)=11,最短路：（,）；d(,)=14最短路：（,）；d(,)=15,最短路：（,）或（,）或（,）；d(,)=15,最短路：（,）； d(,)=19,最短路：（,）；四、 某公司面對四種自然狀態(tài)的三種備選行動方案收益表如下，假定狀態(tài)概率未知，試分別用悲觀準則、等可能性準則、后悔值準則和樂觀系數(shù)準則（=0.6）進行決策。狀態(tài)收益 值方案1234A115806A241483A3141012【解答】：（1）應用悲觀準則：S2為最佳方案。(2)應用等可能性準則：, , , ，S2為最佳方案。（3）應用后悔值準則：先求出后悔值矩陣 S2為最佳方案。 (4)應用樂觀系數(shù)準則（=0.6）：先計算各個方案的折中益損值：， S2為最佳方案 已知下表為求解某目標函數(shù)為極大化線性規(guī)劃問題的最終單純形表，表中為松弛變量，問題的約束為 _ 形式（共8分） 5/201/211/25/211/201/61/300 (1)寫出原線性規(guī)劃問題；（4分）(2)寫出原問題的對偶問題；（3分）(3)直接由上表寫出對偶問題的最優(yōu)解。（1分）四、用單純形法解下列線性規(guī)劃問題（16分） s. t. 3 x1 + x2 + x3 60 x 1- x 2 +2 x 3 10 x 1+ x 2- x 3 20 x 1, x 2 , x 3 0 五、求解下面運輸問題。 （18分） 某公司從三個產(chǎn)地A1、A2、A3 將物品運往四個銷地B1、B2、B3、B4，各產(chǎn)地的產(chǎn)量、各銷地的銷量和各產(chǎn)地運往各銷地每件物品的運費如表所示：問：應如何調(diào)運，可使得總運輸費最小? 銷 地 產(chǎn) 地 產(chǎn) 量1089523674768252550銷 量15203035100六、靈敏度分析（共8分）線性規(guī)劃max z = 10 x1 + 6x2 + 4x3 s.t. x1 + x2 + x3 100 10 x1 +4 x2 + 5 x3 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 300 x1 , x2 , x3 0的最優(yōu)單純形表如下：6x2200/305/615/3 1/6010 x1100/311/60-2/31/600 x6100040-201sj08/30-10/3 2/30(1)C1在何范圍內(nèi)變化，最優(yōu)計劃不變？(4分)(2)b1在什么范圍內(nèi)變化，最優(yōu)基不變？(4分)七、試建立一個動態(tài)規(guī)劃模型。（共8分）某工廠購進100臺機器，準備生產(chǎn) p1 , p2 兩種產(chǎn)品。若生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 ，每臺機器每年可收入45萬元，損壞率為65%；若生產(chǎn)產(chǎn)品 p2 ，每臺機器 每年可收入35萬元，損壞率為35%；估計三年后將有新 的機器出現(xiàn)，舊的機器將全部淘汰。試問每年應如何安排生產(chǎn)，使在三年內(nèi)收入最多？八、求解對策問題。（共10分）某種子商店希望訂購一批種子。據(jù)已往經(jīng)驗，種子的銷售量可能為500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤種子的訂購價為6元，銷售價為9元，剩余種子的處理價為每公斤3元。要求：（1）建立損益矩陣；（3分）（2）用悲觀法決定該商店應訂購的種子數(shù)。（2分）（3）建立后悔矩陣，并用后悔值法決定商店應訂購的種子數(shù)。（5分）九、求下列網(wǎng)絡計劃圖的各時間參數(shù)并找出關鍵問題和關鍵路徑。（8分）6812345756379342783 工序代號 工序 時間最早開工時間最早完工時間最晚開工時間最晚完工時間機動時間1-281-371-462-432-553-423-634-534-674-745-796-78十、用標號法求V1 到 V6 的最短路。（6分）3V4V5V3V1V2V6465664384運籌學樣卷（一）答案一、 判斷題。共計10分，每小題1分10XXXX二、建線性規(guī)劃模型。共計8分（酌情扣分）解：用分別表示大豆、玉米、麥子的種植公頃數(shù)；分別表示奶牛和雞的飼養(yǎng)數(shù)；分別表示秋冬季和春夏季的勞動力（人日）數(shù)，則有三、對偶問題。共計8分解：（）原線性規(guī)劃問題：；4分（）原問題的對偶規(guī)劃問題為：； 3分（）對偶規(guī)劃問題的最優(yōu)解為：T 。1分四、單純形表求解線性規(guī)劃。共計16分解：引入松弛變量x4、 x5、 x6，標準化得， s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0 x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，03分 建初始單純形表，進行迭代運算： 9分CBXbb2-11000 x1x2x3x4x5x60 x460311100200 x5101-1201010*0 x62011-100120s102*-110000 x43004-51-307.52x1101-12010-0 x61002-30-115*s22001*-30-200 x4100011-1-22x115100.500.50.5-1x2501-1.50-0.50.5s32500-1.50-1.5-0.5由最優(yōu)單純形表可知，原線性規(guī)劃的最優(yōu)解為： ( 15 , 5 , 0 )T 2分最優(yōu)值為： z*=25。2分 五、求解運輸問題。共計18分解：（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情給分）設xij為由Ai運往Bj的運量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）,列表如下： 銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量1231520302555252550銷 量15203035100 3分所以，基本的初始可行解為：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ； X31 =15； x33 =30； x34=5 其余的xij=0。 3分（2）求最優(yōu)調(diào)運方案：1會求檢驗數(shù)，檢驗解的最優(yōu)性：s11=2；s12=2；s13=3；s21=1；s23=5；s32= - 13分2會求調(diào)整量進行調(diào)整：=5 2分 銷 地產(chǎn) 地產(chǎn) 量12315155302510252550銷 量152030351003分3再次檢驗 2分 4能夠?qū)懗稣_結(jié)論解為：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30其余的xij=0。 1分 最少運費為： 535 1分。六、靈敏度分析。共計8分（1）（4分）（2）（4分）七、建動態(tài)規(guī)劃模型。共計8分解：(1)設階段變量k表示年度，因此，階段總數(shù)n=3。(2)狀態(tài)變量sk表示第k年度初擁有的完好機床臺數(shù)， 同時也是第 k1 年度末時的完好機床數(shù)量。(3)決策變量uk，表示第k年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1 的機器臺數(shù)。于是sk uk便為該年度中分配于生產(chǎn)產(chǎn)品 p1的機器臺數(shù)（4） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為（5）允許決策集合,在第 k 段為（6）目標函數(shù)。設gk(sk,uk)為第k年度的產(chǎn)量，則 gk(sk,uk) = 45uk + 35(skuk) , 因此，目標函數(shù)為（7）條件最優(yōu)目標函數(shù)遞推方程。令fk(sk)表示由第k年的狀態(tài)sk出發(fā)，采取最優(yōu)分配方案到第3年度結(jié)束這段時間的產(chǎn)品產(chǎn)量，根據(jù)最優(yōu)化原理有以下遞推關系：（8）.邊界條件為八、解決對策問題。共10分（1）益損矩陣如下表所示：3分 銷 售訂 購S1500S21000S31500S42000A1 500A2 1000A3 1500A4 20001500015003000150030001500015003000450030001500300045006000（2）悲觀法：A1 ，訂購500公斤。2分（3）后悔矩陣如下表所示：3分 S1S2S3S4最大后悔值A101500300045004500A215000150030003000A330001500015003000A445003000150004500 按后悔值法商店應取決策為A2或A3 ，即訂購1000公斤或1500公斤。2分68123457563793427830871114182626141811980九、求網(wǎng)絡計劃圖的各時間參數(shù)。（8分）工序代號 工序 時間最早開工時間最早完工時間最晚開工時間最晚完工時間機動時間1-28080801-37072921-460651162-4381181102-5581391413-427991123-63710151884-531114111404-671118111804-7411152226115-791423172636-78182618260關鍵問題是：；2；6；6關鍵線路是：12467評分標準：能正確給各頂點標號并填表.4分正確寫出關鍵問題. 2分正確畫出關鍵線路. 分十、用標號法求v1 到 v6 的最短路。（6分）4V4V5V3V1V2V6628737152(0,0)(4,v1)(6,v2)（8,v1）(9,v3)(10,v2) (10,v4)(11,v2)(13,v3)(12,v5)(14,v4) 最短路為：v1,v2,v3,v4,v5,v6長度為：12正確標號：4分；正確寫出結(jié)論：2分13