[數(shù)學(xué)]用Matlab學(xué)習(xí)線性代數(shù)_線性方程組與矩陣代數(shù).doc

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1、 用Matlab學(xué)習(xí)線性代數(shù)線性方程組與矩陣代數(shù)實驗?zāi)康模菏煜ぞ€性方程組的解法和矩陣的基本運算及性質(zhì)驗證。Matlab命令：本練習(xí)中用到的Matlab命令有：inv，floor，rand，tic，toc，rref，abs，max，round，sum，eye，triu，ones，zeros。本練習(xí)引入的運算有：+，-，*，。其中+和-表示通常標(biāo)量及矩陣的加法和減法運算；*表示標(biāo)量或矩陣的乘法；對所有元素為實數(shù)的矩陣，運算對應(yīng)于轉(zhuǎn)置運算。若為一個非奇異矩陣(det!=0)且為一個矩陣，則運算等價于。實驗內(nèi)容：1 用Matlab隨機生成的矩陣和。求下列指定的，并確定那些矩陣是相等的。你可以利用Mat

2、lab計算兩個矩陣的差來測試兩個矩陣是否相等。（1）C=A*B,D=B*A,G=(A*B),H=(B*A) C=H;D=G；（2）C=A*B,D=(A*B),G=B*A,H=(B*A) C=H;D=G；（3）C=inv(A*B),D=inv(A)*inv(B),G=inv(B*A),H=inv(B)*inv(A)（4）C=inv(A*B),D=inv(A*B),G=inv(A)*inv(B),H=(inv(A)*inv(B)（3）（4）中無相等的2 令 n=200，并使用命令A(yù)=floor(10*rand(n); b=sum(A)z=ones(n,1); 注釋：（n行一列全為1的矩陣）生成一個

3、矩陣和兩個中的向量，它們的元素均為整數(shù)。（因為矩陣和向量都很大，我們添加分號來控制輸出。（1） 方程組 的真解應(yīng)為。為什么？ 【A中的每一行的元素之和正好等于對應(yīng)b的每一列，故z為其一解，又det不等于0，RA=RAb=n，故z為其解】試說明，可在Matlab中利用”運算或計算，然后用計算來求解。比較這兩種計算方法的速度和精度。我們將使用Matlab命令tic和toc來測量每一個計算過程消耗的時間。只需要用下面的命令：tic,x=Ab；toctic,y=inv(A)*b; toc 哪一種方法更快？ tic,x=Ab；更快！為了比較這兩種方法的精度，可以測量求得的解x和y與真解z接近的程度。利用

4、下面的命令：max(abs(x-z)max(abs(y-z)哪種方法的到的解更精確？ max(abs(x-z)= 4.0168e-013 更精確！ max(abs(y-z) = 6.1107e-013（2） 用n=500和n=1000替換（1）中的。 如（1）結(jié)果一樣！3 令A(yù)=floor(10*rand(6)。根據(jù)構(gòu)造，矩陣A將有整數(shù)元。將矩陣A的第六列更改，使得矩陣A為奇異的。令B=A，A(:,6)=-sum(B(1:5,:)（1） 設(shè)x=ones(6,1),并利用Matlab計算Ax。為什么我們知道A必為奇異的？【因化簡列，列成比例】試說明。通過化為行最簡形來判斷A是奇異的。（2） 令B

5、=x*1:6，乘積AB應(yīng)為零矩陣。為什么？【因A的每一行的前五個元素之和等于第六個元素的相反數(shù)，且在A上的每一行的元素同乘以相同的數(shù)，則仍等于0】試說明。用Matlab的*運算計算AB進(jìn)行驗證。（3） 令C=floor(10*rand(6)和D=B+C，盡管,但乘積AC和AD是相等的。為什么？試說明。計算A*C和A*D，并驗證它們確實相等?！敬颂嶣為令B=x*1:6；A為A(:,6)=-sum(B(1:5,:)】由于A*B=0；故AC=AD；A(B+C)=AB+AC;4 采用如下方式構(gòu)造一個矩陣。令B=eye(10)-triu(ones(10),1)， 參見最后附表二：為什么我們知道B必為非奇

6、異的？【上三角矩陣的行列式的值等于對角線上的元素相乘】令C=inv(B)且x=C(:,10)，現(xiàn)在用B(10,1)=-1/256將B進(jìn)行微小改變。利用Matlab計算乘積Bx。由這個計算結(jié)果，你可以得出關(guān)于新矩陣B的什么結(jié)論？【化簡此時B，得行最簡式，RB=910，可以得出B的第10列（從19行）與x互為相反數(shù)，且都是2的指數(shù)冪數(shù)，且第十行為0，】 它是否為奇異的？【是】 試說明。用Matlab計算它的行最簡形。5 生成一個矩陣A：A=floor(20*rand(6)并生成一個向量b：B=floor(20*rand(6,1)-10（1） 因為A是隨機生成的，我們可以認(rèn)為它是非奇異的。那么方程組

7、應(yīng)有唯一解。用運算“”求解。用Matlab計算A b的行最簡形U。比較U的最后一列和解x，結(jié)果是什么？【相等】在精確算術(shù)運算時，它們應(yīng)當(dāng)是相等的。為什么？【行最簡式中可寫出對應(yīng)元素的實際含義，對應(yīng)處的未知元就等于最后的數(shù)】試說明。為比較他們兩個，計算差U(:,7)-x或用format long考慮它們。（2） 現(xiàn)在改變A，試它成為奇異的。令 A(:,3)=A(:,1:2)*4 3【第一列乘以4加上第二列乘以3替換到第三列上】，利用Matlab計算rref(A b)。方程組有多少組解？【無解】試說明?！綬ARAB】（3） 令 y=floor(20*rand(6,1)-10 且 c=A*y，為什么

8、我們知道方程組Ax=c必為 相容？的？【x此時必有一解y，故為相容的】試說明。計算A c的行最簡形U。方程組有多少組解？【無窮多解】試說明。【RA=RA c6】（4） 由行最簡形確定的自由變量應(yīng)為。通過考察矩陣U對應(yīng)的方程組，可以求得時所對應(yīng)的解。將這個解作為列向量輸入Matlab中。為檢驗，計算剩余向量。（5） 令。矩陣U應(yīng)對應(yīng)于的行最簡形。用求自變量時齊次線性方程組的解（手工計算），并將你的結(jié)果輸入為向量Z。用A*Z檢驗?zāi)愕慕Y(jié)論。（6） 令。向量v應(yīng)為方程組的解。為什么？試說明。用Matlab計算剩余向量來驗證v為方程組的解。在這個解中，自由變量的取值是什么？ 【=3】 如何使用向量w和z

9、來求所有可能的方程組的解？【v=w+n*z,其中n為任意實數(shù)】試說明。6 考慮下圖： （1） 確定圖的鄰接矩陣A，將其輸入Matlab；（2） 計算A2并確定長度為2的路的條數(shù)【72】，其起止點分別為：【A2+A中的數(shù)值之和，數(shù)字表示有幾種路徑，具體看程序】（3） 計算A4、A6、A8并回答(2)中各種情況長度為4、【368】6、【2362】8、【15800】的路的條數(shù)。試推測什么時候從頂點Vi到Vj沒有長度為偶數(shù) 【即為0】 的路。 【i=1，j=6; i=2,j=5; i=3,j=6或8； i=4,j=7; i=5,j=8;i=6,j=1或3; i=7,j=4; i=8,j=3或6;】（4

10、） 計算A3、A5、A7并回答（2）中各情況長度為3、【154】5、【922】7【6098】的路的條數(shù)。你由（3）得到的推測對長度為奇數(shù)的路是否成立？【不成立】，試說明【見程序】。推測根據(jù)i+j+k的奇偶性，是否存在長度為k的路。【若i+j+k為偶數(shù)，不存在；相反，則存在】 【路徑見程序】（5） 如果我們在圖中增加邊V3,V6，V5,V8，新圖的鄰接矩陣B可首先令B=A，然后令B(3,6)=144, B(6,3)=1, B(5,8)=1, B(8,5)=1，對k=2,3,4,5計算Bk。（4）中的推測在新的圖形中是否還是成立的？【不成立】見程序】 （6） 在圖中增加V6,V8，并構(gòu)造得到的圖的

11、鄰接矩陣C，計算C的冪次，并驗證你在(4)中的推測對這個新圖是否仍然成立?！静怀闪ⅰ俊疽姵绦颉?令A(yù)=magic(8)，然后計算其行最簡形。使得首1對應(yīng)于前三個變量，且其余的五個變量均為自由的。（1）令c=1:8，通過計算矩陣A c的行最簡形確定方程組Ax=c是否相容。方程組是相容的嗎？ 【不相容】 試說明。 【RA A=rand(4); B=rand(4); C=A*B; D=B*A; G=(A*B); H=(B*A); C-Dans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2

12、485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.5016e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 C-Gans = 2.2376e-001 4.7289e-001 1.3979e+000 1.3204e+000 -6.3633e-001 -3.0354e-001 2.2485e-002 -1.5056e-001 -1.7227e-001 -1.1938e-001 2.9484e-001 2.3624e-001 -8.7955e-001 -6.501

13、6e-001 8.0370e-002 -2.1506e-001 C-Hans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D-Gans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D-Hans = -2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001 1.7227e-001 1.1938e-001 -2.9484e-001 -2.3624e-001 8.7955e-001 6.5016e-001 -8

14、.0370e-002 2.1506e-001 G-Hans = -2.2376e-001 -4.7289e-001 -1.3979e+000 -1.3204e+000 6.3633e-001 3.0354e-001 -2.2485e-002 1.5056e-001 1.7227e-001 1.1938e-001 -2.9484e-001 -2.3624e-001 8.7955e-001 6.5016e-001 -8.0370e-002 2.1506e-001（2） C=A*B; D=(A*B); G=B*A; H=(B*A); C-Dans = -2.2376e-001 6.3633e-001

15、 1.7227e-001 8.7955e-001 -4.7289e-001 3.0354e-001 1.1938e-001 6.5016e-001 -1.3979e+000 -2.2485e-002 -2.9484e-001 -8.0370e-002 -1.3204e+000 1.5056e-001 -2.3624e-001 2.1506e-001 C-Gans = -2.2376e-001 6.3633e-001 1.7227e-001 8.7955e-001 -4.7289e-001 3.0354e-001 1.1938e-001 6.5016e-001 -1.3979e+000 -2.2

16、485e-002 -2.9484e-001 -8.0370e-002 -1.3204e+000 1.5056e-001 -2.3624e-001 2.1506e-001 C-Hans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D-Gans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D-Hans = 2.2376e-001 -6.3633e-001 -1.7227e-001 -8.7955e-001 4.7289e-001 -3.0354e-001 -1.1938e-001 -6.5016e-001 1.3979e+000 2.2485e-00

17、2 2.9484e-001 8.0370e-002 1.3204e+000 -1.5056e-001 2.3624e-001 -2.1506e-001 G-Hans = 2.2376e-001 -6.3633e-001 -1.7227e-001 -8.7955e-001 4.7289e-001 -3.0354e-001 -1.1938e-001 -6.5016e-001 1.3979e+000 2.2485e-002 2.9484e-001 8.0370e-002 1.3204e+000 -1.5056e-001 2.3624e-001 -2.1506e-001(3) C=inv(A*B);

18、D=inv(A)*inv(B); G=inv(B*A); H=inv(B)*inv(A); C-Dans = -3.9602e+001 -1.4016e+001 1.4537e+001 2.2261e+001 1.5266e+001 1.5778e+001 -1.9398e+001 -3.9304e+001 1.0821e+001 1.4313e+000 -2.7296e+001 -4.8956e+001 1.3845e+001 -5.5182e-001 2.6289e+001 5.1120e+001 C-Gans = -3.9602e+001 -1.4016e+001 1.4537e+001

19、 2.2261e+001 1.5266e+001 1.5778e+001 -1.9398e+001 -3.9304e+001 1.0821e+001 1.4313e+000 -2.7296e+001 -4.8956e+001 1.3845e+001 -5.5182e-001 2.6289e+001 5.1120e+001 C-Hans = -5.6843e-014 -1.2879e-014 3.0198e-014 7.1054e-014 -6.5370e-013 -1.4744e-013 3.3396e-013 8.2423e-013 -1.5774e-012 -3.5527e-013 7.8

20、870e-013 1.9895e-012 1.8758e-012 4.2988e-013 -9.4502e-013 -2.4016e-012 D-Gans = 4.9738e-013 1.1013e-013 -8.3489e-014 -3.1264e-013 1.7053e-013 3.7303e-014 -2.4869e-014 -1.0747e-013 5.8265e-013 1.3145e-013 -9.4147e-014 -3.8369e-013 -1.0516e-012 -2.3448e-013 1.7053e-013 6.6791e-013 D-Hans = 3.9602e+001

21、 1.4016e+001 -1.4537e+001 -2.2261e+001 -1.5266e+001 -1.5778e+001 1.9398e+001 3.9304e+001 -1.0821e+001 -1.4313e+000 2.7296e+001 4.8956e+001 -1.3845e+001 5.5182e-001 -2.6289e+001 -5.1120e+001 G-Hans = 3.9602e+001 1.4016e+001 -1.4537e+001 -2.2261e+001 -1.5266e+001 -1.5778e+001 1.9398e+001 3.9304e+001 -

22、1.0821e+001 -1.4313e+000 2.7296e+001 4.8956e+001 -1.3845e+001 5.5182e-001 -2.6289e+001 -5.1120e+001（4） c=inv(A*B); d=inv(A*B); g=inv(A)*inv(B); h=(inv(A)*inv(B); c-dans = -3.9602e+001 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.72

23、96e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001 c-gans = -1.6875e-014 -5.4712e-013 -1.3216e-012 1.5774e-012 -2.8866e-015 -1.3145e-013 -3.1264e-013 3.7659e-013 8.8818e-015 2.6290e-013 6.3949e-013 -7.6028e-013 2.5757e-014 7.1765e-013 1.7195e-012 -2.0606e-012 c-hans = -3.9602e+001

24、 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.7296e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001 d-gans = 3.9602e+001 -1.5266e+001 -1.0821e+001 -1.3845e+001 1.4016e+001 -1.5778e+001 -1.4313e+000 5.5182e-001 -1.

25、4537e+001 1.9398e+001 2.7296e+001 -2.6289e+001 -2.2261e+001 3.9304e+001 4.8956e+001 -5.1120e+001 d-hans = -2.4158e-013 -1.1724e-013 -2.7711e-013 5.2580e-013 -5.6843e-014 -1.8652e-014 -5.3291e-014 1.0658e-013 4.2633e-014 1.7764e-014 4.7962e-014 -8.8818e-014 1.5987e-013 6.7502e-014 1.8474e-013 -3.3396

26、e-013 g-hans = -3.9602e+001 1.5266e+001 1.0821e+001 1.3845e+001 -1.4016e+001 1.5778e+001 1.4313e+000 -5.5182e-001 1.4537e+001 -1.9398e+001 -2.7296e+001 2.6289e+001 2.2261e+001 -3.9304e+001 -4.8956e+001 5.1120e+001第二題：（1） n=200; A=floor(10*rand(n); b=sum(A); z=ones(n,1); c=linsolve(A,b); d=c-z；精度為 1e

27、-14-1e-13;tic,x=Ab,toc = Elapsed time is 0.016000 seconds.tic,inv(A)*b,toc = Elapsed time is 0.031000 seconds. （2）n=500; tic,x=Ab;tocElapsed time is 0.187000 seconds. 更快！ tic,y=inv(A)*b;tocElapsed time is 0.343000 seconds. max(abs(x-z)=4.3987e-013 更精確！ max(abs(y-z) = 2.2524e-012 n=1000; tic,x=Ab;toc

28、Elapsed time is 0.920000 seconds. 更快！ tic,y=inv(A)*b;tocElapsed time is 1.404000 seconds. max(abs(x-z) =1.8221e-012 更精確！ max(abs(y-z) =2.0862e-011（3） A=floor(10*rand(6);B=A; A(:,6)=-sum(B(1:5,:)A = 0 6 7 7 0 -20 5 8 4 7 0 -24 6 7 4 3 3 -23 8 5 8 3 3 -27 1 8 3 9 4 -25 7 3 2 8 8 -28 x=ones(6,1); b=A*x

29、b = 0 0 0 0 0 0 det(A)= 0 rref(A)ans = 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 -1 0 0 1 0 0 -1 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 03.2 A=floor(10*rand(6)； B=A; A(:,6)=-sum(B(1:5,:)； B=x*1:6B = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A*Bans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

30、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03.3 A=floor(10*rand(6); B=A; A(:,6)=-sum(B(1:5,:); C=floor(10*rand(6); B=x*1:6; D=B+C; A*C-A*Dans = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04題： B=eye(10)-triu(ones(10),1); C=inv(B); B(10,1)=-1/256; B=eye(10)-triu(ones(10),1); B(10,1)=-1/256

31、;行最簡形： rref(B)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -256 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -128 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -64 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -32 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -16 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d=B*C; C = 1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 0 1 1 2 4 8 16 32 64 128 0

32、 0 1 1 2 4 8 16 32 64 0 0 0 1 1 2 4 8 16 32 0 0 0 0 1 1 2 4 8 16 0 0 0 0 0 1 1 2 4 8 0 0 0 0 0 0 1 1 2 4 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1行最簡形： rref(d)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

33、 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 det(B)ans = 0 rref(B c)ans = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -256 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -128 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 -64 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -32 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -16 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -8 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 -2

34、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1第五題：（1） A=floor(20*rand(6); B=floor(20*rand(6,1)-10; x=ABx = 0.32683 -2.7613 1.6764 0.76772 -0.33957 -1.5678 C=A B; a=rref(C)a = 1 0 0 0 0 0 0.32683 0 1 0 0 0 0 -2.7613 0 0 1 0 0 0 1.6763 0 0 0 1 0 0 0.76772 0 0 0 0 1 0 -0.33957 0 0 0 0 0 1 -1.5678 a(:,

35、7)-xans = 1.3288e-007 9.5485e-006 -4.8037e-006 -2.7883e-006 5.0983e-007 -1.9237e-006（2） A=floor(20*rand(6); B=floor(20*rand(6,1)-10; A(:,3)=A(:,1:2)*4 3; rref(A B)ans = 1 0 4 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1(3) y=floor(20*rand(6,1)-10; A=floor(20*rand(6);

36、 A(:,3)=A(:,1:2)*4 3; c=A*yc = 184 289 139 197 147 292 rref(A c)ans = 1 0 4 0 0 0 1 0 1 3 0 0 0 6 0 0 0 1 0 0 8 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0(4) A=floor(20*rand(6); A(:,3)=A(:,1:2)*4 3; y=floor(20*rand(6,1)-10; c=A*y; U=rref(A c)U = 1 0 4 0 0 0 23 0 1 3 0 0 0 17 0 0 0 1 0 0 9 0 0 0 0 1

37、0 0 0 0 0 0 0 1 7 0 0 0 0 0 0 0 w=23,17,0,9,0,7; A*w-cans = 0 0 0 0 0 0（5） A=floor(20*rand(6); A(:,3)=A(:,1:2)*4 3; U=rref(A)U = 1 0 4 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Z=-4,-3,1,0,0,0; A*Zans = 0 0 0 0 0 0（6） A=floor(20*rand(6);A(:,3)=A(:,1:2)*4 3; y=floor(20*rand(6,

38、1)-10; c=A*y; U=rref(A c); U(:,7)=zeros(6,1)U = 1 0 4 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 U=rref(A c)U = 1 0 4 0 0 0 -23 0 1 3 0 0 0 -22 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 1 0 9 0 0 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 z=-4,-3,1,0,0,0; w=-23,-22,0,4,9,6; v=w+3*z； A*v-cans = 0 0 0 0 0

39、 0第六題 ：（1）A=0,1,0,1,0,0,0,1;1,0,1,0,0,0,1,0;0,1,0,1,0,0,0,0;1,0,1,0,1,0,0,0;0,0,0,1,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0,1,0;0,1,0,0,0,1,0,1;1,0,0,0,0,0,1,0A = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0（2） A2ans = 3 0 2 0 1 0 2 0 0

40、3 0 2 0 1 0 2 2 0 2 0 1 0 1 0 0 2 0 3 0 1 0 1 1 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 1 2 0 1 0 1 0 3 0 0 2 0 1 0 1 0 2 A1=A2+AA1 = 3 1 2 1 1 0 2 1 1 3 1 2 0 1 1 2 2 1 2 1 1 0 1 0 1 2 1 3 1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 1 0 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 1 3 1 1 2 0 1 0 1 1 2sum(sum(A1(1:8,1:8)ans = 72 (3) A2=A4+AA2 = 18 1 13 1 9 0 15 1 1 18 1