物理習(xí)題參考答案.doc
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1、第九章振動(dòng)9-1一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振幅為A,在起始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為,且向x 軸正方向運(yùn)動(dòng),代表此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量為()題- 圖分析與解(b)圖中旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在x 軸上投影點(diǎn)的位移為A/2,且投影點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向指向Ox 軸正向,即其速度的x分量大于零,故滿足題意因而正確答案為(b)9-2已知某簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖(a)所示,則此簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為()題- 圖分析與解由振動(dòng)曲線可知,初始時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位移為 A/2,且向x 軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)圖()是其相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖,由旋轉(zhuǎn)矢量法可知初相位為振動(dòng)曲線上給出質(zhì)點(diǎn)從A/2 處運(yùn)動(dòng)到+A 處所需時(shí)間為1 s,由對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量圖可知相應(yīng)的相位差,則角頻率,故
2、選(D)本題也可根據(jù)振動(dòng)曲線所給信息,逐一代入方程來找出正確答案9-3 兩個(gè)同周期簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)曲線如圖(a) 所示, x1 的相位比x2 的相位()(A) 落后 (B)超前 (C)落后 (D)超前分析與解由振動(dòng)曲線圖作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖(b) 即可得到答案為(b)題- 圖9-4當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以頻率 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí),它的動(dòng)能的變化頻率為()(A) (B) (C) (D)分析與解質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能表式為,可見其周期為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的一半,則頻率為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)頻率的兩倍因而正確答案為(C)9-5圖(a)中所畫的是兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的曲線,若這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可疊加,則合成的余弦振動(dòng)的初相位為()(A) (B) (C) (D)分
3、析與解由振動(dòng)曲線可以知道,這是兩個(gè)同振動(dòng)方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),它們的相位差是(即反相位)運(yùn)動(dòng)方程分別為和它們的振幅不同對(duì)于這樣兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),可用旋轉(zhuǎn)矢量法,如圖(b)很方便求得合運(yùn)動(dòng)方程為因而正確答案為(D)題- 圖9-6有一個(gè)彈簧振子,振幅,周期,初相試寫出它的運(yùn)動(dòng)方程,并作出圖、圖和圖題-6 圖分析彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)振幅、初相、角頻率是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的三個(gè)特征量求運(yùn)動(dòng)方程就要設(shè)法確定這三個(gè)物理量題中除、已知外,可通過關(guān)系式確定振子運(yùn)動(dòng)的速度和加速度的計(jì)算仍與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的計(jì)算方法相同解因,則運(yùn)動(dòng)方程根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)得振子的速度和加速度分別為、及圖如圖所示9-7若簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為,求:(
4、1) 振幅、頻率、角頻率、周期和初相;(2)時(shí)的位移、速度和加速度 分析可采用比較法求解將已知的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的一般形式作比較,即可求得各特征量運(yùn)用與上題相同的處理方法,寫出位移、速度、加速度的表達(dá)式,代入值后,即可求得結(jié)果 解(1) 將與比較后可得:振幅A 0.10m,角頻率,初相0.25,則周期,頻率()時(shí)的位移、速度、加速度分別為9-8一遠(yuǎn)洋貨輪,質(zhì)量為m,浮在水面時(shí)其水平截面積為S設(shè)在水面附近貨輪的水平截面積近似相等,水的密度為,且不計(jì)水的粘滯阻力,證明貨輪在水中作振幅較小的豎直自由運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并求振動(dòng)周期分析要證明貨輪作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),需要分析貨輪在平衡位置附近上下運(yùn)動(dòng)時(shí),
5、它所受的合外力與位移間的關(guān)系,如果滿足,則貨輪作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)通過即可求得振動(dòng)周期證貨輪處于平衡狀態(tài)時(shí)圖(a),浮力大小為F mg當(dāng)船上下作微小振動(dòng)時(shí),取貨輪處于力平衡時(shí)的質(zhì)心位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,豎直向下為x 軸正向,如圖(b)所示則當(dāng)貨輪向下偏移x 位移時(shí),受合外力為其中為此時(shí)貨輪所受浮力,其方向向上,大小為題- 圖則貨輪所受合外力為式中是一常數(shù)這表明貨輪在其平衡位置上下所作的微小振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)由可得貨輪運(yùn)動(dòng)的微分方程為令,可得其振動(dòng)周期為9-9設(shè)地球是一個(gè)半徑為R 的均勻球體,密度現(xiàn)假定沿直徑鑿?fù)ㄒ粭l隧道,若有一質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)在此隧道內(nèi)作無摩擦運(yùn)動(dòng)(1) 證明此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);(2) 計(jì)算
6、其周期題- 圖分析證明方法與上題相似分析質(zhì)點(diǎn)在隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力特征即可證(1) 取圖所示坐標(biāo)當(dāng)質(zhì)量為m 的質(zhì)點(diǎn)位于x處時(shí),它受地球的引力為式中為引力常量,是以x 為半徑的球體質(zhì)量,即令,則質(zhì)點(diǎn)受力因此,質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)(2) 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的周期為9-10如圖(a)所示,兩個(gè)輕彈簧的勁度系數(shù)分別為、 當(dāng)物體在光滑斜面上振動(dòng)時(shí)(1) 證明其運(yùn)動(dòng)仍是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);(2) 求系統(tǒng)的振動(dòng)頻率題9-10 圖分析從上兩題的求解知道,要證明一個(gè)系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),首先要分析受力情況,然后看是否滿足簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的受力特征(或簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)微分方程)為此,建立如圖(b)所示的坐標(biāo)設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)物體所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,Ox 軸正向沿斜面
7、向下,由受力分析可知,沿Ox 軸,物體受彈性力及重力分力的作用,其中彈性力是變力利用串聯(lián)時(shí)各彈簧受力相等,分析物體在任一位置時(shí)受力與位移的關(guān)系,即可證得物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并可求出頻率證設(shè)物體平衡時(shí)兩彈簧伸長(zhǎng)分別為、,則由物體受力平衡,有 (1)按圖(b)所取坐標(biāo),物體沿x 軸移動(dòng)位移x時(shí),兩彈簧又分別被拉伸和,即則物體受力為 ()將式(1)代入式(2)得 ()由式(3)得、,而,則得到式中為常數(shù),則物體作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振動(dòng)頻率討論(1) 由本題的求證可知,斜面傾角 對(duì)彈簧是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)以及振動(dòng)的頻率均不產(chǎn)生影響事實(shí)上,無論彈簧水平放置、斜置還是豎直懸掛,物體均作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)而且可以證明它們的頻率相同,均
8、由彈簧振子的固有性質(zhì)決定,這就是稱為固有頻率的原因(2) 如果振動(dòng)系統(tǒng)如圖(c)(彈簧并聯(lián))或如圖(d)所示,也可通過物體在某一位置的受力分析得出其作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),且振動(dòng)頻率均為,讀者可以一試通過這些例子可以知道,證明物體是否作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的思路是相同的*9 11在如圖(a)所示裝置中,一勁度系數(shù)為k 的輕彈簧,一端固定在墻上,另一端連接一質(zhì)量為的物體,置于光滑水平桌面上現(xiàn)通過一質(zhì)量m、半徑為R 的定滑輪B(可視為勻質(zhì)圓盤)用細(xì)繩連接另一質(zhì)量為的物體C設(shè)細(xì)繩不可伸長(zhǎng),且與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng),求系統(tǒng)的振動(dòng)角頻率題9-11 圖分析這是一個(gè)由彈簧、物體A、C 和滑輪B 組成的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)求解系統(tǒng)的振動(dòng)頻率可采
9、用兩種方法(1) 從受力分析著手如圖(b)所示,設(shè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí),與物體A 相連的彈簧一端所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O,此時(shí)彈簧已伸長(zhǎng),且當(dāng)彈簧沿軸正向從原點(diǎn)O 伸長(zhǎng)x 時(shí),分析物體A、C 及滑輪B的受力情況,并分別列出它們的動(dòng)力學(xué)方程,可解得系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程(2)從系統(tǒng)機(jī)械能守恒著手列出系統(tǒng)機(jī)械能守恒方程,然后求得系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的微分方程解1在圖(b)的狀態(tài)下,各物體受力如圖(c)所示其中考慮到繩子不可伸長(zhǎng),對(duì)物體A、B、C 分別列方程,有 (1) (2) (3) (4)方程(3)中用到了、及聯(lián)立式(1) 式(4)可得 (5)則系統(tǒng)振動(dòng)的角頻率為解2取整個(gè)振動(dòng)裝置和地球?yàn)檠芯肯到y(tǒng),因沒有
10、外力和非保守內(nèi)力作功,系統(tǒng)機(jī)械能守恒設(shè)物體平衡時(shí)為初始狀態(tài),物體向右偏移距離x(此時(shí)速度為v、加速度為a)為末狀態(tài),則由機(jī)械能守恒定律,有在列出上述方程時(shí)應(yīng)注意勢(shì)能(重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能)零點(diǎn)的選取為運(yùn)算方便,選初始狀態(tài)下物體C 所在位置為重力勢(shì)能零點(diǎn);彈簧原長(zhǎng)時(shí)為彈性勢(shì)能的零點(diǎn)將上述方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得將, 和 代入上式,可得 (6)式(6)與式(5)相同,表明兩種解法結(jié)果一致9-12一放置在水平桌面上的彈簧振子,振幅A2.0 10-2 m,周期T0.50當(dāng)t0 時(shí),(1) 物體在正方向端點(diǎn);(2) 物體在平衡位置、向負(fù)方向運(yùn)動(dòng);(3) 物體在x -1.010-2m 處, 向負(fù)方向運(yùn)動(dòng); (4)
11、物體在x-1.010-2 m處,向正方向運(yùn)動(dòng)求以上各種情況的運(yùn)動(dòng)方程分析在振幅A 和周期T 已知的條件下,確定初相是求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程的關(guān)鍵初相的確定通常有兩種方法(1) 解析法:由振動(dòng)方程出發(fā),根據(jù)初始條件,即t 0 時(shí),x x0 和v v0 來確定值(2) 旋轉(zhuǎn)矢量法:如圖(a)所示,將質(zhì)點(diǎn)P 在Ox 軸上振動(dòng)的初始位置x0 和速度v0 的方向與旋轉(zhuǎn)矢量圖相對(duì)應(yīng)來確定旋轉(zhuǎn)矢量法比較直觀、方便,在分析中常采用題9-12 圖解由題給條件知A 2.0 10-2 m,而初相可采用分析中的兩種不同方法來求解析法:根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程,當(dāng)時(shí)有,當(dāng)(1)時(shí),則;(2)時(shí),因,?。唬?)時(shí), ,由,??;(4)時(shí)
12、, ,由,取旋轉(zhuǎn)矢量法:分別畫出四個(gè)不同初始狀態(tài)的旋轉(zhuǎn)矢量圖,如圖(b)所示,它們所對(duì)應(yīng)的初相分別為,振幅A、角頻率、初相均確定后,則各相應(yīng)狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)方程為(1)(2)(3)(4)9-13 有一彈簧, 當(dāng)其下端掛一質(zhì)量為m 的物體時(shí), 伸長(zhǎng)量為9.8 10-2 m若使物體上、下振動(dòng),且規(guī)定向下為正方向(1) 當(dāng)t 0 時(shí),物體在平衡位置上方8.0 10-2 處,由靜止開始向下運(yùn)動(dòng),求運(yùn)動(dòng)方程(2) 當(dāng)t 時(shí),物體在平衡位置并以0.6s-1的速度向上運(yùn)動(dòng),求運(yùn)動(dòng)方程分析求運(yùn)動(dòng)方程,也就是要確定振動(dòng)的三個(gè)特征物理量A、和其中振動(dòng)的角頻率是由彈簧振子系統(tǒng)的固有性質(zhì)(振子質(zhì)量m 及彈簧勁度系數(shù)k)決
13、定的,即,k 可根據(jù)物體受力平衡時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)來計(jì)算;振幅A 和初相需要根據(jù)初始條件確定題9-13 圖解物體受力平衡時(shí),彈性力F 與重力P 的大小相等,即F mg而此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量l 9.8 10-2m則彈簧的勁度系數(shù)k F l mg l系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率為(1) 設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí),物體所在處為坐標(biāo)原點(diǎn),向下為x 軸正向由初始條件t 0 時(shí),x10 8.0 10-2 m、v10 0 可得振幅;應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定初相圖(a)則運(yùn)動(dòng)方程為(2)t 時(shí),x20 0、v20 0.6 s-1 ,同理可得;圖(b)則運(yùn)動(dòng)方程為9-14某振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的x-t 曲線如圖(a)所示,試求:(1) 運(yùn)動(dòng)方程;(2)
14、點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)的相位;(3) 到達(dá)點(diǎn)P 相應(yīng)位置所需的時(shí)間分析由已知運(yùn)動(dòng)方程畫振動(dòng)曲線和由振動(dòng)曲線求運(yùn)動(dòng)方程是振動(dòng)中常見的兩類問題本題就是要通過x t 圖線確定振動(dòng)的三個(gè)特征量A、和,從而寫出運(yùn)動(dòng)方程曲線最大幅值即為振幅A;而、通??赏ㄟ^旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法解出,一般采用旋轉(zhuǎn)矢量法比較方便解(1) 質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)振幅A 0.10 而由振動(dòng)曲線可畫出t0 0 和t1 4 時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量,如圖(b) 所示由圖可見初相(或),而由得,則運(yùn)動(dòng)方程為題9-14 圖(2) 圖(a)中點(diǎn)P 的位置是質(zhì)點(diǎn)從A2 處運(yùn)動(dòng)到正向的端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖(c) 所示當(dāng)初相取時(shí),點(diǎn)P 的相位為(如果初相取成,則點(diǎn)P 相應(yīng)的相位應(yīng)
15、表示為(3) 由旋轉(zhuǎn)矢量圖可得,則9-15作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體,由平衡位置向x 軸正方向運(yùn)動(dòng),試問經(jīng)過下列路程所需的最短時(shí)間各為周期的幾分之幾? (1) 由平衡位置到最大位移處;(2) 由平衡位置到x A/2 處; (3) 由x A/2處到最大位移處解采用旋轉(zhuǎn)矢量法求解較為方便按題意作如圖所示的旋轉(zhuǎn)矢量圖,平衡位置在點(diǎn)O(1) 平衡位置x1 到最大位移x3 處,圖中的旋轉(zhuǎn)矢量從位置1 轉(zhuǎn)到位置3,故,則所需時(shí)間(2) 從平衡位置x1 到x2 A/2 處,圖中旋轉(zhuǎn)矢量從位置1轉(zhuǎn)到位置2,故有,則所需時(shí)間(3) 從x2 A/2 運(yùn)動(dòng)到最大位移x3 處,圖中旋轉(zhuǎn)矢量從位置2 轉(zhuǎn)到位置3,有,則所需時(shí)間題
16、9-15 圖9-16在一塊平板下裝有彈簧,平板上放一質(zhì)量為1.0 kg的重物現(xiàn)使平板沿豎直方向作上下簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期為0.50,振幅為2.010-2 m求:(1) 平板到最低點(diǎn)時(shí),重物對(duì)平板的作用力;(2) 若頻率不變,則平板以多大的振幅振動(dòng)時(shí),重物會(huì)跳離平板? (3) 若振幅不變,則平板以多大的頻率振動(dòng)時(shí), 重物會(huì)跳離平板?題9-16 圖分析按題意作示意圖如圖所示物體在平衡位置附近隨板作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其間受重力P 和板支持力FN 作用,F(xiàn)N 是一個(gè)變力按牛頓定律,有 (1)由于物體是隨板一起作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),因而有,則式(1)可改寫為 (2)(1) 根據(jù)板運(yùn)動(dòng)的位置,確定此刻振動(dòng)的相位,由式(2)可求板
17、與物體之間的作用力(2) 由式(2)可知支持力 的值與振幅A、角頻率和相位()有關(guān)在振動(dòng)過程中,當(dāng)時(shí)最小而重物恰好跳離平板的條件為0,因此由式(2)可分別求出重物跳離平板所需的頻率或振幅解(1) 由分析可知,重物在最低點(diǎn)時(shí),相位0,物體受板的支持力為重物對(duì)木塊的作用力 與大小相等,方向相反(2) 當(dāng)頻率不變時(shí),設(shè)振幅變?yōu)锳根據(jù)分析中所述,將0及代入分析中式(2),可得(3) 當(dāng)振幅不變時(shí),設(shè)頻率變?yōu)橥瑯訉?及代入分析中式(2),可得9-17兩質(zhì)點(diǎn)作同頻率、同振幅的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為,當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)自振動(dòng)正方向回到平衡位置時(shí),第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)恰在振動(dòng)正方向的端點(diǎn),試用旋轉(zhuǎn)矢量圖表示它們,并求
18、第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程及它們的相位差題9-17 圖解圖示為兩質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t 的旋轉(zhuǎn)矢量圖,可見第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)M 的相位比第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)N 的相位超前,即它們的相位差/2故第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)為9-18圖(a)為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線,且振幅為2cm,求(1) 振動(dòng)周期;(2) 加速度的最大值;(3) 運(yùn)動(dòng)方程分析根據(jù)v-t 圖可知速度的最大值vmax ,由vmax A可求出角頻率,進(jìn)而可求出周期T 和加速度的最大值amax A2 在要求的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程x Acos(t )中,因?yàn)锳 和已得出,故只要求初相位即可由v t 曲線圖可以知道,當(dāng)t 0 時(shí),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度v0 vmax/2 A/2,之
19、后速度越來越大,因此可以判斷出質(zhì)點(diǎn)沿x 軸正向向著平衡點(diǎn)運(yùn)動(dòng)利用v0 Asin就可求出解(1) 由得,則(2)(3) 從分析中已知,即因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿x 軸正向向平衡位置運(yùn)動(dòng),則取,其旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖(b)所示則運(yùn)動(dòng)方程為 題9-18 圖9-19有一單擺,長(zhǎng)為1.0m,最大擺角為5,如圖所示(1) 求擺的角頻率和周期;(2) 設(shè)開始時(shí)擺角最大,試寫出此單擺的運(yùn)動(dòng)方程;(3) 擺角為3時(shí)的角速度和擺球的線速度各為多少?題9-19 圖分析單擺在擺角較小時(shí)(5)的擺動(dòng),其角量與時(shí)間的關(guān)系可表示為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程,其中角頻率仍由該系統(tǒng)的性質(zhì)(重力加速度g 和繩長(zhǎng)l)決定,即初相與擺角,質(zhì)點(diǎn)的角速度與旋轉(zhuǎn)矢量的角速
20、度(角頻率)均是不同的物理概念,必須注意區(qū)分解(1) 單擺角頻率及周期分別為(2) 由時(shí)可得振動(dòng)初相,則以角量表示的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為() 擺角為3時(shí),有,則這時(shí)質(zhì)點(diǎn)的角速度為線速度的大小為討論質(zhì)點(diǎn)的線速度和角速度也可通過機(jī)械能守恒定律求解,但結(jié)果會(huì)有極微小的差別這是因?yàn)樵趯?dǎo)出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程時(shí)曾取,所以,單擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程僅在 較小時(shí)成立9-20為了測(cè)月球表面的重力加速度,宇航員將地球上的“秒擺”(周期為2.00),拿到月球上去,如測(cè)得周期為4.90,則月球表面的重力加速度約為多少? (取地球表面的重力加速度)解由單擺的周期公式可知,故有,則月球的重力加速度為9-21一飛輪質(zhì)量為12kg,內(nèi)緣半徑r
21、 0.6,如圖所示為了測(cè)定其對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,現(xiàn)讓其繞內(nèi)緣刃口擺動(dòng),在擺角較小時(shí),測(cè)得周期為2.0s,試求其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9-21 題圖分析飛輪的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)以刃口為轉(zhuǎn)軸的復(fù)擺運(yùn)動(dòng),復(fù)擺振動(dòng)周期為,因此,只要知道復(fù)擺振動(dòng)的周期和轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離,其以刃口為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即可求得再根據(jù)平行軸定理,可求出其繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解由復(fù)擺振動(dòng)周期,可得則由平行軸定理得9-22如圖(a)所示,質(zhì)量為1.0 10-2kg 的子彈,以500ms-1的速度射入木塊,并嵌在木塊中,同時(shí)使彈簧壓縮從而作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),設(shè)木塊的質(zhì)量為4.99 kg,彈簧的勁度系數(shù)為8.0 103 Nm-1 ,若以彈簧原長(zhǎng)時(shí)物體所在
22、處為坐標(biāo)原點(diǎn),向左為x 軸正向,求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程題9-22 圖分析可分為兩個(gè)過程討論首先是子彈射入木塊的過程,在此過程中,子彈和木塊組成的系統(tǒng)滿足動(dòng)量守恒,因而可以確定它們共同運(yùn)動(dòng)的初速度v0 ,即振動(dòng)的初速度隨后的過程是以子彈和木塊為彈簧振子作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)它的角頻率由振子質(zhì)量m1 m2 和彈簧的勁度系數(shù)k 確定,振幅和初相可根據(jù)初始條件(初速度v0 和初位移x0 )求得初相位仍可用旋轉(zhuǎn)矢量法求解振動(dòng)系統(tǒng)的角頻率為由動(dòng)量守恒定律得振動(dòng)的初始速度即子彈和木塊的共同運(yùn)動(dòng)初速度v0 為又因初始位移x0 0,則振動(dòng)系統(tǒng)的振幅為圖(b)給出了彈簧振子的旋轉(zhuǎn)矢量圖,從圖中可知初相位,則簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程為9-23如圖
23、(a)所示,一勁度系數(shù)為k 的輕彈簧,其下掛有一質(zhì)量為m1 的空盤現(xiàn)有一質(zhì)量為m2 的物體從盤上方高為h 處自由落入盤中,并和盤粘在一起振動(dòng)問:(1) 此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤作振動(dòng)的周期有何不同? (2) 此時(shí)的振幅為多大?題9-23 圖分析原有空盤振動(dòng)系統(tǒng)由于下落物體的加入,振子質(zhì)量由m1 變?yōu)閙1 + m2,因此新系統(tǒng)的角頻率(或周期)要改變由于,因此,確定初始速度v0 和初始位移x0 是求解振幅A 的關(guān)鍵物體落到盤中,與盤作完全非彈性碰撞,由動(dòng)量守恒定律可確定盤與物體的共同初速度v0 ,這也是該振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度在確定初始時(shí)刻的位移x0 時(shí),應(yīng)注意新振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置應(yīng)是盤和物體懸掛在彈簧
24、上的平衡位置因此,本題中初始位移x0 ,也就是空盤時(shí)的平衡位置相對(duì)新系統(tǒng)的平衡位置的位移解(1) 空盤時(shí)和物體落入盤中后的振動(dòng)周期分別為可見TT,即振動(dòng)周期變大了(2) 如圖(b)所示,取新系統(tǒng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O則根據(jù)分析中所述,初始位移為空盤時(shí)的平衡位置相對(duì)粘上物體后新系統(tǒng)平衡位置的位移,即式中l(wèi)1 m1/k 為空盤靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量,l2 (m1 m2)/k 為物體粘在盤上后,靜止時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量由動(dòng)量守恒定律可得振動(dòng)系統(tǒng)的初始速度,即盤與物體相碰后的速度式中是物體由h 高下落至盤時(shí)的速度故系統(tǒng)振動(dòng)的振幅為本題也可用機(jī)械能守恒定律求振幅A9-24如圖所示,勁度系數(shù)為k 的輕彈簧,系一質(zhì)量
25、為m1 的物體,在水平面上作振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)有一質(zhì)量為m2 的粘土,從高度h 自由下落,正好在(a)物體通過平衡位置時(shí),(b)物體在最大位移處時(shí),落在物體上分別求:(1)振動(dòng)周期有何變化? (2)振幅有何變化?題9-24圖分析諧振子系統(tǒng)的周期只與彈簧的勁度系數(shù)和振子的質(zhì)量有關(guān)由于粘土落下前后,振子的質(zhì)量發(fā)生了改變,因此,振動(dòng)周期也將變化至于粘土如何落下是不影響振動(dòng)周期的但是,粘土落下時(shí)將改變振動(dòng)系統(tǒng)的初始狀態(tài),因此,對(duì)振幅是有影響的在粘土落到物體上的兩種不同情況中,系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量都是守恒的利用動(dòng)量守恒定律可求出兩種情況下系統(tǒng)的初始速度,從而利用機(jī)械能守恒定律(或公式)求得兩種情況下的振
26、幅解(1) 由分析可知,在(a)、(b)兩種情況中,粘土落下前后的周期均為物體粘上粘土后的周期T比原周期T 大(2) (a) 設(shè)粘土落至物體前后,系統(tǒng)振動(dòng)的振幅和物體經(jīng)過平衡位置時(shí)的速度分別為A、v 和A、v由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可列出如下各式 (1) (2) (3)聯(lián)立解上述三式,可得即AA,表明增加粘土后,物體的振幅變小了(b) 物體正好在最大位移處時(shí),粘土落在物體上則由動(dòng)量守恒定律知它們水平方向的共同速度vm1v/(m1 m2 ) 0,因而振幅不變,即AA9-25質(zhì)量為0.10kg的物體,以振幅1.010-2 m 作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其最大加速度為4.0 s-1求:(1) 振動(dòng)的周期;(
27、2) 物體通過平衡位置時(shí)的總能量與動(dòng)能;(3) 物體在何處其動(dòng)能和勢(shì)能相等? (4) 當(dāng)物體的位移大小為振幅的一半時(shí),動(dòng)能、勢(shì)能各占總能量的多少?分析在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過程中,物體的最大加速度,由此可確定振動(dòng)的周期T另外,在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能是守恒的,其中動(dòng)能和勢(shì)能互相交替轉(zhuǎn)化,其總能量E kA2/2當(dāng)動(dòng)能與勢(shì)能相等時(shí),Ek EP kA2/4因而可求解本題解(1) 由分析可得振動(dòng)周期(2) 當(dāng)物體處于平衡位置時(shí),系統(tǒng)的勢(shì)能為零,由機(jī)械能守恒可得系統(tǒng)的動(dòng)能等于總能量,即(3) 設(shè)振子在位移x0 處動(dòng)能與勢(shì)能相等,則有得 () 物體位移的大小為振幅的一半(即)時(shí)的勢(shì)能為則動(dòng)能為 9-26一氫原子在分子中
28、的振動(dòng)可視為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)已知?dú)湓淤|(zhì)量m 1.68 10-27 Kg,振動(dòng)頻率1.0 1014 Hz,振幅A 1.0 10-11試計(jì)算:(1) 此氫原子的最大速度;(2) 與此振動(dòng)相聯(lián)系的能量解(1) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中振子運(yùn)動(dòng)的速度v Asin(t ),故氫原子振動(dòng)的最大速度為() 氫原子的振動(dòng)能量9-27 質(zhì)量m 10g 的小球與輕彈簧組成一振動(dòng)系統(tǒng), 按的規(guī)律作自由振動(dòng),求(1) 振動(dòng)的角頻率、周期、振幅和初相;(2) 振動(dòng)的能量E;(3) 一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能解(1) 將與比較后可得:角頻率,振幅A 0.5cm,初相/3,則周期T 2/0.25 (2) 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量 (3) 簡(jiǎn)諧運(yùn)
29、動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為則在一個(gè)周期中,動(dòng)能與勢(shì)能對(duì)時(shí)間的平均值分別為9-28 已知兩同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為;求:(1) 合振動(dòng)的振幅及初相;(2) 若有另一同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),則為多少時(shí),x1 x3 的振幅最大? 又 為多少時(shí),x2 x3 的振幅最?。款}9-28 圖分析可采用解析法或旋轉(zhuǎn)矢量法求解.由旋轉(zhuǎn)矢量合成可知,兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成仍為一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其角頻率不變;合振動(dòng)的振幅,其大小與兩個(gè)分振動(dòng)的初相差相關(guān)而合振動(dòng)的初相位解(1) 作兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖(如圖)因?yàn)椋屎险駝?dòng)振幅為合振動(dòng)初相位(2) 要使x1 x3 振幅最大,即兩振動(dòng)同相,則由得要
30、使x1 x3 的振幅最小,即兩振動(dòng)反相,則由得9-29手電筒和屏幕質(zhì)量均為m,且均被勁度系數(shù)為k 的輕彈簧懸掛于同一水平面上,如圖所示平衡時(shí),手電筒的光恰好照在屏幕中心設(shè)手電筒和屏幕相對(duì)于地面上下振動(dòng)的表達(dá)式分別為和試求在下述兩種情況下,初相位1 、2 應(yīng)滿足的條件:(1) 光點(diǎn)在屏幕上相對(duì)于屏靜止不動(dòng);(2) 光點(diǎn)在屏幕上相對(duì)于屏作振幅A2A的振動(dòng)并說明用何種方式起動(dòng),才能得到上述結(jié)果題9-29 圖分析落在屏幕上的光點(diǎn)相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)和屏幕相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)都已知道,且是兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)因此由運(yùn)動(dòng)的合成不難寫出光點(diǎn)相對(duì)屏的運(yùn)動(dòng)(實(shí)際上是兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成)根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)公式,有依題意所以
31、 可見光點(diǎn)對(duì)屏的運(yùn)動(dòng)就是兩個(gè)同方向、同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和的合成用與上題相同的方法即可求解本題其中合運(yùn)動(dòng)振幅解(1) 根據(jù)分析和參考上題求解,當(dāng)要求任一時(shí)刻光點(diǎn)相對(duì)于屏不動(dòng),即,就是當(dāng)時(shí),即時(shí)(),A0當(dāng)光點(diǎn)相對(duì)于屏作振幅為2A的運(yùn)動(dòng)時(shí),要求,即(2) 由以上求解可知,要使光點(diǎn)相對(duì)于屏不動(dòng),就要求手電筒和屏的振動(dòng)始終要同步,即同相位,為此,把它們往下拉A位移后,同時(shí)釋放即可;同理,要使光點(diǎn)對(duì)屏作振幅為2A 的諧振動(dòng),兩者必須相位相反,為此,讓手電筒位于平衡點(diǎn)0 上方的-A處,而屏則位于+A 處同時(shí)釋放,即可實(shí)現(xiàn)9-30兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)1 和2 的振動(dòng)曲線如圖(a)所示,求(1)兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方
32、程x1 和x2;(2) 在同一圖中畫出兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量,并比較兩振動(dòng)的相位關(guān)系;(3) 若兩簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加,求合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分析振動(dòng)圖已給出了兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅和周期,因此只要利用圖中所給初始條件,由旋轉(zhuǎn)矢量法或解析法求出初相位,便可得兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程解(1) 由振動(dòng)曲線可知,A 0.1 ,T 2,則2T -1 曲線1表示質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻在x 0 處且向x 軸正向運(yùn)動(dòng),因此1 2;曲線2 表示質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻在x A /2 處且向x 軸負(fù)向運(yùn)動(dòng),因此2 3它們的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖(b)所示則兩振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為和 (2) 由圖(b)可知振動(dòng)2超前振動(dòng)1 的相位為56(3)其中則合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為題
33、9-30 圖9-31將頻率為348 Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉振動(dòng)和一待測(cè)頻率的音叉振動(dòng)合成,測(cè)得拍頻為3.0Hz若在待測(cè)頻率音叉的一端加上一小塊物體,則拍頻數(shù)將減少,求待測(cè)音叉的固有頻率分析這是利用拍現(xiàn)象來測(cè)定振動(dòng)頻率的一種方法在頻率u1 和拍頻數(shù)u|u2 u1|已知的情況下,待測(cè)頻率u2 可取兩個(gè)值,即u2 u1 u式中u前正、負(fù)號(hào)的選取應(yīng)根據(jù)待測(cè)音叉系統(tǒng)質(zhì)量改變時(shí),拍頻數(shù)變化的情況來決定解根據(jù)分析可知,待測(cè)頻率的可能值為u2 u1 u (348 3) Hz因振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 ,即質(zhì)量m 增加時(shí),頻率u 減小從題意知,當(dāng)待測(cè)音叉質(zhì)量增加時(shí)拍頻減少,即u2 u1變小因此,在滿足u2 與u 均變小的情況
34、下,式中只能取正號(hào),故待測(cè)頻率為u2 u1 u351 Hz*9-32示波管的電子束受到兩個(gè)互相垂直的電場(chǎng)的作用電子在兩個(gè)方向上的位移分別為 和,求在0,30,90各種情況下,電子在熒光屏上的軌跡方程解這是兩個(gè)振動(dòng)方向互相垂直的同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成問題合振動(dòng)的軌跡方程為式中A1 、A2 為兩振動(dòng)的振幅,為兩個(gè)振動(dòng)的初相差本題中A1 A2 A,故有(1) 當(dāng)0時(shí),有x y,軌跡為一直線方程(2) 當(dāng)30時(shí),有x2 y2 x y A2/4,軌跡為橢圓方程(3) 當(dāng)90時(shí),有x2 y2 A2 ,軌跡為圓方程*9-33圖示為測(cè)量液體阻尼系數(shù)的裝置簡(jiǎn)圖,將一質(zhì)量為m 的物體掛在輕彈簧上,在空氣中測(cè)得振動(dòng)的
35、頻率為u1 ,置于液體中測(cè)得的頻率為u2 ,求此系統(tǒng)的阻尼系數(shù)題9-33 圖分析在阻尼不太大的情況下,阻尼振動(dòng)的角頻率與無阻尼時(shí)系統(tǒng)的固有角頻率0 及阻尼系數(shù) 有關(guān)系式因此根據(jù)題中測(cè)得的u1 和u2 (即已知0 、),就可求出解物體在空氣和液體中的角頻率為 和,得阻尼系數(shù)為*9-34一彈簧振子系統(tǒng),物體的質(zhì)量m 1.0Kg,彈簧的勁度系數(shù)k 900Nm-1 系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)受到阻尼作用,其阻尼系數(shù) 10.0-1 為了使振動(dòng)持續(xù),現(xiàn)另外加一周期性驅(qū)動(dòng)外力求:(1) 振子達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的振動(dòng)角頻率;(2) 若外力的角頻率可以改變,當(dāng)其值為多少時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)共振現(xiàn)象? 其共振的振幅多大?分析本題是物體在有阻尼條件
36、下的受迫振動(dòng),其運(yùn)動(dòng)方程為 (1)等式右邊第一項(xiàng)與阻尼有關(guān),該項(xiàng)經(jīng)一段時(shí)間后,因而消失因此,穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)由第二項(xiàng)確定,它是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程其中為周期性外力的角頻率,由此可知,此時(shí)振動(dòng)的角頻率即是周期性外力的角頻率而振幅為 (2)式中為周期性外界驅(qū)動(dòng)力的力幅,是彈簧振子的固有角頻率,m 是振子質(zhì)量當(dāng)阻尼系數(shù) 一定時(shí),振幅A 是外力的角頻率P 的函數(shù)共振時(shí),振幅最大,故可采用對(duì)函數(shù)A(P)求極值的方法確定共振頻率和振幅解(1) 根據(jù)分析,受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí),系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率即為周期性外力的角頻率,故有(2) 受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后, 其振幅當(dāng)時(shí)振幅將取得極大值,稱共振現(xiàn)象此時(shí)可解得周期性外界驅(qū)動(dòng)
37、力的角頻率為將上述結(jié)果代入振幅A 的表達(dá)式中,得共振時(shí)振幅為9-35 在一個(gè)LC 振蕩電路中, 若電容器兩極板上的交變電壓,電容,電路中的電阻可以忽略不計(jì)求:(1) 振蕩的周期;(2) 電路中的自感;(3) 電路中的電流隨時(shí)間變化的規(guī)律分析在不計(jì)電阻的前提下,該LC 電路是無阻尼自由振蕩電路,在振蕩過程中電容器兩極板上的電壓、電荷及電路中的電流均以相同的周期變化著振蕩周期為T 2 LC因此,本題可通過已知的電壓的角頻率,求出振蕩周期,然后可求出自感L另外,電容器極板上電壓U、電荷q 始終滿足關(guān)系式q CU因此,在確定q q(t)后,根據(jù)電流定義I dq/dt,可求出電流的變化規(guī)律解(1) 從題
38、中已知的電壓變化關(guān)系中得振蕩周期為(2) 由振蕩電路周期得電路中的自感為(3) 電路中電流隨時(shí)間變化的規(guī)律為9-36用一個(gè)電容可在10.0 pF到360.0pF 范圍內(nèi)變化的電容器和一個(gè)自感線圈并聯(lián)組成無線電收音機(jī)的調(diào)諧電路(1) 該調(diào)諧電路可以接收的最大和最小頻率之比是多少? (2) 為了使調(diào)諧頻率能在5.0 105Hz 到1.5 106 Hz的頻率范圍內(nèi),需在原電容器上并聯(lián)一個(gè)多大的電容? 此電路選用的自感應(yīng)為多大?分析當(dāng)自感L 一定時(shí),要改變調(diào)諧頻率的范圍,只需改變電容的變化范圍本題采用并聯(lián)電容C 的方法使電容由原有的變化范圍Cmin Cmax 改變?yōu)镃min CCmax C,從而達(dá)到新
39、的調(diào)諧目的為此,可根據(jù),由原有電容比Cmax Cmin 來確定對(duì)應(yīng)的頻率比再由新要求的頻率比來確定需要并聯(lián)的電容的大小解(1) 當(dāng)線圈自感L 一定時(shí),由,可得() 為了在5.0 105 Hz 1.5 106Hz 的頻率范圍內(nèi)調(diào)諧,應(yīng)滿足由此得在原電容器上需并聯(lián)的電容為此電路選用的線圈自感為9-37一振蕩電路,已知C 0.25F,L 1.015H電路中電阻可忽略不計(jì),電容器上電荷最大值為Q0 2.5 10-6 C(1) 寫出電路接通后電容器兩極板間的電勢(shì)差隨時(shí)間而變化的方程和電路中電流隨時(shí)間而變化的方程;(2) 寫出電場(chǎng)的能量、磁場(chǎng)能量及總能量隨時(shí)間而變化的方程;(3) 求t1 T/8 和t2
40、T/4 時(shí),電容器兩極板間的電勢(shì)差、電路中的電流、電場(chǎng)能、磁場(chǎng)能分析無阻尼LC 振蕩電路中電流、電容器極板上電荷以及電勢(shì)差均以相同的頻率隨時(shí)間作正弦或余弦變化如果令極板上電荷,則由 可得電路中的電流I、極板兩端電勢(shì)差U 的變化規(guī)律利用電磁場(chǎng)中電場(chǎng)能量和磁場(chǎng)能量公式可寫出它們隨時(shí)間t 的函數(shù)關(guān)系式和特定時(shí)刻的瞬時(shí)值解(1) LC無阻尼振蕩電路的振蕩角頻率為若以電路閉合的瞬間為計(jì)時(shí)起點(diǎn),此時(shí)極板上電荷最大則任一時(shí)刻極板上的電荷為該時(shí)刻電路中的電流為極板兩端電勢(shì)差為(2) 任意時(shí)刻電場(chǎng)能量、磁場(chǎng)能量及總能量分別為(3) 由,可得T 0.001 ,則當(dāng)t1 T/8 時(shí),由上述各式可得同理,當(dāng)時(shí)可得由上
41、述結(jié)果可以看出LC 電路在無阻尼振蕩過程中,總的電磁場(chǎng)能量是不變的,即滿足能量守恒定律第十章波動(dòng)10-1圖(a)表示t 0 時(shí)的簡(jiǎn)諧波的波形圖,波沿x 軸正方向傳播,圖(b)為一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線則圖(a)中所表示的x 0 處振動(dòng)的初相位與圖(b)所表示的振動(dòng)的初相位分別為()題10-1 圖() 均為零() 均為 () 均為() 與 () 與分析與解本題給了兩個(gè)很相似的曲線圖,但本質(zhì)卻完全不同求解本題要弄清振動(dòng)圖和波形圖不同的物理意義圖(a)描述的是連續(xù)介質(zhì)中沿波線上許許多多質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在t 時(shí)刻的位移狀態(tài)其中原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)位移為零,其運(yùn)動(dòng)方向由圖中波形狀態(tài)和波的傳播方向可以知道是沿y 軸負(fù)向,利用旋轉(zhuǎn)矢
42、量法可以方便的求出該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相位為/2而圖(b)是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線圖,該質(zhì)點(diǎn)在t 0 時(shí)位移為0,t 0 時(shí),由曲線形狀可知,質(zhì)點(diǎn)向y 軸正向運(yùn)動(dòng),故由旋轉(zhuǎn)矢量法可判知初相位為/2,答案為(D)10-2機(jī)械波的表達(dá)式為,則()() 波長(zhǎng)為100 () 波速為10 -1() 周期為1/3 () 波沿x 軸正方向傳播分析與解波動(dòng)方程的一般表式為,其中A 為振幅,為初相,u 為波速x/u 前的“-”表示波沿x 軸正向傳播,“+”表示波沿x軸負(fù)向傳播因此將原式寫為和一般式比較可知()、() 均不對(duì)而由2/T 6-1 可知T (1/3)則uT 33.3 m,因此()也不對(duì)只有()正確10-3一平面
43、簡(jiǎn)諧波,沿x 軸負(fù)方向傳播,角頻率為,波速為u設(shè)時(shí)刻的波形如圖(a)所示,則該波的表達(dá)式為()題10-3 圖分析與解因?yàn)椴ㄑ豿 軸負(fù)向傳播,由上題分析知()、(B)表式不正確找出(C)、(D)哪個(gè)是正確答案,可以有很多方法這里給出兩個(gè)常用方法方法一:直接將t T/4,x0 代入方程,那么對(duì)(C)有y0 A、對(duì)(D)有y0 0,可見(D)的結(jié)果與圖一致方法二:用旋轉(zhuǎn)矢量法求出波動(dòng)方程的初相位由圖(a)可以知道t T/4 時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的位移為0,且向y 軸正向運(yùn)動(dòng),則此時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖(b)所示要求初相位,只要將該時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量反轉(zhuǎn)(順時(shí)針轉(zhuǎn))t T/4 /2,如圖(b)所示,即得0 同樣得(
44、D)是正確答案題10-4 圖10-4如圖所示,兩列波長(zhǎng)為的相干波在點(diǎn)P 相遇波在點(diǎn)S1 振動(dòng)的初相是1 ,點(diǎn)S1 到點(diǎn)P的距離是r1 波在點(diǎn)S2的初相是2 ,點(diǎn)S2 到點(diǎn)P 的距離是r2 ,以k 代表零或正、負(fù)整數(shù),則點(diǎn)P 是干涉極大的條件為()分析與解P 是干涉極大的條件為兩分振動(dòng)的相位差,而兩列波傳到P 點(diǎn)時(shí)的兩分振動(dòng)相位差為,故選項(xiàng)(D)正確10-5在駐波中,兩個(gè)相鄰波節(jié)間各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)()(A) 振幅相同,相位相同(B) 振幅不同,相位相同(C) 振幅相同,相位不同 (D) 振幅不同,相位不同分析與解駐波方程為,因此根據(jù)其特點(diǎn),兩波節(jié)間各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同相位,但振幅不同因此正確答案為(B)10-
45、9已知一波動(dòng)方程為(1) 求波長(zhǎng)、頻率、波速和周期;(2) 說明x 0 時(shí)方程的意義,并作圖表示題10-9 圖分析采用比較法將題給的波動(dòng)方程改寫成波動(dòng)方程的余弦函數(shù)形式,比較可得角頻率、波速u,從而求出波長(zhǎng)、頻率等當(dāng)x 確定時(shí)波動(dòng)方程即為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程y y(t)解(1) 將題給的波動(dòng)方程改寫為與比較后可得波速u 15.7 -1 , 角頻率10-1 ,故有(2) 由分析知x 0 時(shí),方程表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程(如圖)10-16平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為求:(1) t 2.1 s 時(shí)波源及距波源0.10m 兩處的相位;(2) 離波源0.80 m及0.30 m 兩處的相位差解(1) 將t 2
46、.1 s和x 0 代入題給波動(dòng)方程,可得波源處的相位將t 2.1 s 和x0.10 m 代入題給波動(dòng)方程,得0.10 m 處的相位為(2) 從波動(dòng)方程可知波長(zhǎng)1.0 m這樣,x1 0.80 m 與x2 0.30 m兩點(diǎn)間的相位差10-21兩相干波波源位于同一介質(zhì)中的A、B 兩點(diǎn),如圖(a)所示其振幅相等、頻率皆為100 Hz,B 比A 的相位超前若A、B 相距30.0m,波速為u 400 ms-1 ,試求AB 連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)的位置題10-21 圖分析兩列相干波相遇時(shí)的相位差因此,兩列振幅相同的相干波因干涉而靜止的點(diǎn)的位置,可根據(jù)相消條件獲得解以A、B兩點(diǎn)的中點(diǎn)O 為原點(diǎn),取坐標(biāo)如圖(
47、b)所示兩波的波長(zhǎng)均為u/u4.0 m在A、B 連線上可分三個(gè)部分進(jìn)行討論1. 位于點(diǎn)A 左側(cè)部分因該范圍內(nèi)兩列波相位差恒為2的整數(shù)倍,故干涉后質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)處處加強(qiáng),沒有靜止的點(diǎn)2. 位于點(diǎn)B 右側(cè)部分顯然該范圍內(nèi)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)也都是加強(qiáng),無干涉靜止的點(diǎn)3. 在A、B兩點(diǎn)的連線間,設(shè)任意一點(diǎn)P 距原點(diǎn)為x因,則兩列波在點(diǎn)P 的相位差為根據(jù)分析中所述,干涉靜止的點(diǎn)應(yīng)滿足方程得 因x15 m,故k7即在A、B之間的連線上共有15 個(gè)靜止點(diǎn)10-23如圖所示,x 0 處有一運(yùn)動(dòng)方程為的平面波波源,產(chǎn)生的波沿x 軸正、負(fù)方向傳播MN 為波密介質(zhì)的反射面,距波源34求:(1) 波源所發(fā)射的波沿波源O 左右傳播的波
48、動(dòng)方程;(2) 在MN 處反射波的波動(dòng)方程;(3) 在O MN 區(qū)域內(nèi)形成的駐波方程,以及波節(jié)和波腹的位置;(4) x 0區(qū)域內(nèi)合成波的波動(dòng)方程題10-23 圖分析知道波源O 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,可以寫出波沿x 軸負(fù)向和正向傳播的方程分別為和因此可以寫出y1 在MN 反射面上P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程設(shè)反射波為y3 ,它和y1 應(yīng)是同振動(dòng)方向、同振幅、同頻率的波,但是由于半波損失,它在P 點(diǎn)引起的振動(dòng)和y1 在P 點(diǎn)引起的振動(dòng)反相利用y1 在P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可求y3 在P 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程,從而寫出反射波y3 在O MN 區(qū)域由y1 和Y3 兩列同頻率、同振動(dòng)方向、同振幅沿相反方向傳播的波合成形成駐波在x 0區(qū)域
49、是同傳播方向的y2 和y3 合成新的行波解(1) 由分析已知:沿左方向和右方向傳播的波動(dòng)方程分別為和(2) y1 在反射面MN 處引起質(zhì)點(diǎn)P 振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程因半波損失反射波y3 在此處引起的振動(dòng)為設(shè)反射波的波動(dòng)方程為,則反射波在x 3/4處引起的振動(dòng)為與上式比較得,故反射波的波動(dòng)方程為(3) 在O MN 區(qū)域由y1 和y3 合成的駐波y4 為波節(jié)的位置:,取k 1, 2,即x /4, 3/4 處為波節(jié)波腹的位置:,取k 0,1,即x 0,/2 處為波腹(4) 在x 0 區(qū)域,由y2 和y3 合成的波y5 為這表明:x 0 區(qū)域內(nèi)的合成波是振幅為2A 的平面簡(jiǎn)諧波10-24一弦上的駐波方程式為(
50、1) 若將此駐波看成是由傳播方向相反,振幅及波速均相同的兩列相干波疊加而成的,求它們的振幅及波速;(2) 求相鄰波節(jié)之間的距離;(3) 求t 3.0 10-3 s 時(shí)位于x0.625 m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度分析(1) 采用比較法將本題所給的駐波方程,與駐波方程的一般形式相比較即可求得振幅、波速等(2) 由波節(jié)位置的表達(dá)式可得相鄰波節(jié)的距離(3) 質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度可按速度定義v dy/dt 求得解(1) 將已知駐波方程 與駐波方程的一般形式作比較,可得兩列波的振幅A 1.5 10-2 m,波長(zhǎng)1.25 m,頻率u275 Hz,則波速u u343.8ms-1 (2) 相鄰波節(jié)間的距離為(3) 在t 3
51、.0 10-3 s 時(shí),位于x0.625 m 處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為第十一章光學(xué)11-1在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中,若單色光源S 到兩縫S1 、S2 距離相等,則觀察屏上中央明條紋位于圖中O 處,現(xiàn)將光源S 向下移動(dòng)到圖中的S位置,則()(A) 中央明紋向上移動(dòng),且條紋間距增大(B) 中央明紋向上移動(dòng),且條紋間距不變(C) 中央明紋向下移動(dòng),且條紋間距增大(D) 中央明紋向下移動(dòng),且條紋間距不變分析與解由S 發(fā)出的光到達(dá)S1 、S2 的光程相同,它們傳到屏上中央O 處,光程差0,形成明紋當(dāng)光源由S 移到S時(shí),由S到達(dá)狹縫S1 和S2 的兩束光產(chǎn)生了光程差為了保持原中央明紋處的光程差為0,它會(huì)向上移到圖中O處
52、使得由S沿S1 、S2 狹縫傳到O處的光程差仍為0而屏上各級(jí)條紋位置只是向上平移,因此條紋間距不變因此正確答案為(B)題11-1 圖11-2如圖所示,折射率為n2 ,厚度為e 的透明介質(zhì)薄膜的上方和下方的透明介質(zhì)的折射率分別為n1 和n3,且n1 n2 ,n2 n3 ,若用波長(zhǎng)為的單色平行光垂直入射到該薄膜上,則從薄膜上、下兩表面反射的光束的光程差是()題11-2 圖分析與解由于n1 n2 ,n2 n3 ,因此在上表面的反射光有半波損失,下表面的反射光沒有半波損失,故它們的光程差,這里是光在真空中的波長(zhǎng)因此正確答案為(B)11-3如圖(a)所示,兩個(gè)直徑有微小差別的彼此平行的滾柱之間的距離為L(zhǎng)
53、,夾在兩塊平面晶體的中間,形成空氣劈形膜,當(dāng)單色光垂直入射時(shí),產(chǎn)生等厚干涉條紋,如果滾柱之間的距離L 變小,則在L 范圍內(nèi)干涉條紋的()(A) 數(shù)目減小,間距變大(B) 數(shù)目減小,間距不變(C) 數(shù)目不變,間距變小 (D) 數(shù)目增加,間距變小題11-3圖分析與解圖(a)裝置形成的劈尖等效圖如圖(b)所示圖中 d為兩滾柱的直徑差,b 為兩相鄰明(或暗)條紋間距因?yàn)閐 不變,當(dāng)L 變小時(shí), 變大,L、b均變小由圖可得,因此條紋總數(shù),因?yàn)閐和n 不變,所以N 不變正確答案為(C)11-4在單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中,波長(zhǎng)為的單色光垂直入射在寬度為3的單縫上,對(duì)應(yīng)于衍射角為30的方向,單縫處波陣面可分成的
54、半波帶數(shù)目為()(A) 2 個(gè)(B) 3 個(gè)(C) 4 個(gè)(D) 6 個(gè)分析與解根據(jù)單縫衍射公式因此第k 級(jí)暗紋對(duì)應(yīng)的單縫波陣面被分成2k 個(gè)半波帶,第k 級(jí)明紋對(duì)應(yīng)的單縫波陣面被分成2k 1 個(gè)半波帶由題意,即對(duì)應(yīng)第1 級(jí)明紋,單縫分成3 個(gè)半波帶正確答案為(B)11-5波長(zhǎng)550 nm 的單色光垂直入射于光柵常數(shù)d 1.0 10-4 cm 的光柵上,可能觀察到的光譜線的最大級(jí)次為()(A) 4(B) 3(C) 2(D) 1分析與解由光柵方程,可能觀察到的最大級(jí)次為即只能看到第1 級(jí)明紋,答案為(D)11-6 三個(gè)偏振片P1 、P2 與P3 堆疊在一起,P1 與P3的偏振化方向相互垂直,P2
55、與P1 的偏振化方向間的夾角為45,強(qiáng)度為I0 的自然光入射于偏振片P1 ,并依次透過偏振片P1 、P2與P3 ,則通過三個(gè)偏振片后的光強(qiáng)為()(A) I0/16(B) 3I0/8(C) I0/8(D) I0/4分析與解自然光透過偏振片后光強(qiáng)為I1 I0/2由于P1 和P2 的偏振化方向成45,所以偏振光透過P2 后光強(qiáng)由馬呂斯定律得而P2和P3 的偏振化方向也成45,則透過P3 后光強(qiáng)變?yōu)楣蚀鸢笧椋–)11-7一束自然光自空氣射向一塊平板玻璃,如圖所示,設(shè)入射角等于布儒斯特角iB ,則在界面2 的反射光()(A) 是自然光(B) 是線偏振光且光矢量的振動(dòng)方向垂直于入射面(C) 是線偏振光且光
56、矢量的振動(dòng)方向平行于入射面(D) 是部分偏振光題11-7 圖分析與解由幾何光學(xué)知識(shí)可知,在界面2 處反射光與折射光仍然垂直,因此光在界面2 處的入射角也是布儒斯特角,根據(jù)布儒斯特定律,反射光是線偏振光且光振動(dòng)方向垂直于入射面答案為(B)11-8在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中,兩縫間距為0.30 mm,用單色光垂直照射雙縫,在離縫1.20m 的屏上測(cè)得中央明紋一側(cè)第5條暗紋與另一側(cè)第5條暗紋間的距離為22.78 mm問所用光的波長(zhǎng)為多少,是什么顏色的光?分析與解在雙縫干涉中,屏上暗紋位置由 決定,式中d為雙縫到屏的距離,d為雙縫間距所謂第5 條暗紋是指對(duì)應(yīng)k 4 的那一級(jí)暗紋由于條紋對(duì)稱,該暗紋到中央明紋中心
57、的距離,那么由暗紋公式即可求得波長(zhǎng)此外,因雙縫干涉是等間距的,故也可用條紋間距公式求入射光波長(zhǎng)應(yīng)注意兩個(gè)第5 條暗紋之間所包含的相鄰條紋間隔數(shù)為9(不是10,為什么?),故。解1屏上暗紋的位置,把以及d、d值代入,可得632.8 nm,為紅光解2屏上相鄰暗紋(或明紋)間距,把,以及d、d值代入,可得632.8 nm11-9在雙縫干涉實(shí)驗(yàn)中,用波長(zhǎng)546.1 nm 的單色光照射,雙縫與屏的距離d300mm測(cè)得中央明紋兩側(cè)的兩個(gè)第五級(jí)明條紋的間距為12.2mm,求雙縫間的距離分析雙縫干涉在屏上形成的條紋是上下對(duì)稱且等間隔的如果設(shè)兩明紋間隔為x,則由中央明紋兩側(cè)第五級(jí)明紋間距x5 x-5 10 x 可求出x再由公式x dd 即可求出雙縫間距d解根據(jù)分析:x (x5 x-5)/10 1.2210-3 m雙縫間距: d dx 1.34 10-4 m11-13
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