數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)設計（論文）-微積分及其應用.doc

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1、 學科分類號 0701 本科生畢業(yè)設計論文題目（中文）：微積分及其應用（英文）：Calculus and the application of the Calculus 學生姓名：學號：系別：數(shù)學系專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學指導教師：起止日期：2011.122012.052012年 5月 1 日懷化學院本科畢業(yè)論文（設計）誠信聲明作者鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設計），是在指導老師的指導下，獨立進行研究所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權爭議。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的成果。對論文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確的方式標明。本聲明的法律結果

2、由作者承擔。本科畢業(yè)論文（設計）作者簽名：年 月 日目錄摘要I關鍵詞IAbstractIKey wordsI1前言22微積分介紹22.1微積分的基本內(nèi)容22.1.1微積分的發(fā)展23微積分在幾何中的應用23.1求平面圖形的面積2 3.2 求平面曲線的弧長 4 微積分在經(jīng)濟學中的應用24.1導數(shù)在經(jīng)濟學邊際分析部分的應用24.1.1第四章三級標題25微積分在物理學中的應用25.1第五章二級標題25.1.1第五章三級標題26結束語2參考文獻2致謝2附錄A2微積分及其應用摘要微積分是高等數(shù)學中研究函數(shù)的微分、積分以及有關概念和應用的數(shù)學分支。它是數(shù)學的一個基礎學科。內(nèi)容主要包括極限、微分學、積分學及其

3、應用。微分學包括求解導數(shù)的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分是與應用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應用微積分學及微分方程為了從萬有引力定律導出了行星運動三定律。此后，微積分學極大的推動了數(shù)學的發(fā)展，同時也極大的推動了天文學、力學、物理學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學各個分支中的發(fā)展。并在這些學科中有越來越廣泛的應用，特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應用的不斷發(fā)展。希望通過本文的介紹能使人們意識到微積分與其他各學科的密切關系，讓大家能

4、意識到理論與實際結合的重要性。關鍵詞微積分；應用；經(jīng)濟學；物理學；幾何Calculus and the application of the CalculusAbstractCalculus is a branch of mathematics to study the Differential, Integral of function, and the concern concepts and applications in higher mathematics. It is a basic discipline of mathematics. It Includes Limits, Di

5、fferential Calculus, Integral Calculus and the use of Differential calculus. Differential Calculus includes solving the derivation of the operator and it is a theory about the rate of change. It makes the function, velocity, acceleration, and the slope of the curve can be discussed through a common

6、set of symbols. Calculus and the computing the operation provide a common set of methods for the definition and calculation of the area and volumeCalculus develops with the application of the Calculus; Newton used Calculus and Differential Equations to derive the three laws of the movement of the pl

7、anet from the law of universal gravitation initially. Since then, the Calculus not only promotes the development of mathematics greatly, but promotes the various branches about natural sciences, social sciences and applied science greatly，such as astronomy, mechanics, physics, chemistry, biology, en

8、gineering and economics. And it applicants widen and widen in these disciplines, especially contributes to the continuous development of these applications after the emergence of the Computer.I hope that I can make people aware of the close relationship of the Calculus and other disciplines through

9、this article, so that we can aware of the importance of the connation between theory and practice.Key wordsCalculus; Application; Economics; Physics; 20 前言微積分的產(chǎn)生是數(shù)學上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術和理論科學的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術和科學的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學工作者以及技術人員不可缺少的工具。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧

10、最偉大的成就之一。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。通過研究微積分在物理，經(jīng)濟等方面的具體應用，得到微積分在現(xiàn)實生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學工具科學地解決問題。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認識是從生動的直觀開始，進而達到抽象思維，也就是從感性認識到理性認識的過程。人類對客觀世界的規(guī)律性的認識具有相對性，受到時代的局限。隨著人類認識的深入，認識將一步一步地由低級到高級、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對自然的探索永遠不會有終點。2 微積分的介紹2.

11、1微積分的基本內(nèi)容2.1.1 一階微分 定義：設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量，可表示為 （其中A是不依賴于的常數(shù)），而是比高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點是可微的，且稱作函數(shù)在點相應于自變量增量的微分，記作，即。通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數(shù)的微分又可記作。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。幾何意義 設是曲線上的點M的在橫坐標上的增量，是曲線在點M對應在縱坐標上的增量，是曲線在點M的切線對應在縱坐標上的增量。當非常小時，比要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。2.1.2多元

12、微分多元微分又叫全微分，是由兩個自變量的偏導數(shù)相對應的一元微分的增量表示的。為函數(shù)Z在點處的全增量（其中A、B不依賴于和，而只與x、y有關，,即是Z在點的全微分?？偟膩碚f，微分學的核心思想便是以直線代替曲線，即在微小的鄰域內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡化計算過程。2.1.不定積分設為函數(shù)的一個原函數(shù)，我們把函數(shù)的所有原函數(shù)（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)的不定積分。 記作。其中叫做積分號，叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對這個函數(shù)進行積分。由定義可知： 求函數(shù)的不定積分，就是要求出的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)的一個原函數(shù)，

13、再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)的不定積分。 2.1.1積分與微分關系積分是微分的逆運算，即知道了函數(shù)的導函數(shù)，反求原函數(shù)。在應用上，積分作用不僅如此，它被大量應用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。 一個函數(shù)的不定積分指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導函數(shù)恰為前一函數(shù)，其中：一個實變函數(shù)在區(qū)間上的定積分，是一個實數(shù)。它等于該函數(shù)的一個原函數(shù)在b的值減去在a的值。 積分從不同的問題抽象出來的兩個數(shù)學概念。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。不定積分是為解決求導和微分的逆運算而提出的。例如：已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)，求一條曲線，使得它在每一點的切線斜率為。函數(shù)的不定積分是的

14、全體原函數(shù)（見原函數(shù)），記作 。如果是的一個原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。為定義在上的函數(shù)，為求由和所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直線代替曲線，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將分成n等分：，取，記，則為S的近似值，當時，的極限應可作為面積S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念：對于定義在上的函數(shù)，作分劃，若存在一個與分劃及的取法都無關的常數(shù)I，使得,其中則稱I為在上的定積分，表為即 稱為積分區(qū)間，為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。當?shù)脑瘮?shù)存在時，定積分的計算可轉(zhuǎn)化為求的不定積分：這

15、是c牛頓萊布尼茲公式。2.2 微積分的發(fā)展微積分的產(chǎn)生是數(shù)學上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術和理論科學的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術和科學的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學工作 者以及技術人員不可缺少的工具。微積分是微分學和積分學的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國莊子的天下篇中也有“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”的極限思想，公元263年，劉徽的九間算術作注時提出了“割圓術”，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運用。積分概念是由求某一些面積、體積和弧長引起的，古希臘數(shù)學家阿基米德在拋物線求積法中求出拋物線弓形的面

16、積，人沒有用極限，是“有限”開工的窮竭法，但阿基米德的貢獻真正成為積分學的萌芽。微分是聯(lián)系到對曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學三一學院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產(chǎn)生。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀下半葉各自獨立創(chuàng)立了微積分。1605年 5月20日，在牛頓手寫的一面文件中開始有“流數(shù)術”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標志。牛頓關于微積分的著作很多寫于1665 - 1676年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整

17、地提出微積分是一對互逆運算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓-萊而尼茨公式。如果將整個數(shù)學比作一棵大樹，那么初等數(shù)學是樹的根，名目繁多的數(shù)學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設等許多課題要解決，數(shù)學也開始研究變化著的量，數(shù)學進入了“變量數(shù)學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數(shù)十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學的一個重要分枝還是牛頓和萊布尼茨。 微積分的產(chǎn)生一般分為三個階段：極限概念；求積的無限小方法；積分與微分的互逆關系。最后一步是

18、由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀墨經(jīng)中有了有窮、無窮、無限小、無窮大的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想

19、和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括的夢溪筆談獨創(chuàng)了“隙積術”、“會圓術”和“棋局都數(shù)術”開創(chuàng)了對高階等差級數(shù)求和的研究。從微積分成為一門學科來說，是在17世紀，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀，古希臘的數(shù)學家、力學家阿基米德的著作圓的測量和論球與圓柱中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎極限理論來說，早在我國的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的莊子一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取

20、其半，萬世不竭”。三國時期的高徽在他的割圓術中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”。他在1615年測量酒桶體積的新科學一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形。圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為黃型極限思想的佳作。意大利數(shù)學家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何，就把曲線看成無限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準備。由于16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學技術的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。到了17世紀，有許多著名的數(shù)學家、天文學家、物理學家都為解決上述問題做了大量的研究工作。笛卡爾1637

21、年發(fā)表了科學中的正確運用理性和追求真理的方法論（簡稱方法論），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關系，表示變量與變量之間的關系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對應關系。此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長度的量之間不可相加減的束縛。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來。笛卡爾就這樣把相互對立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學史的一次飛躍，而且更重要的是它

22、為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學的廣闊空間。3 微積分在幾何中的應用3.1求平面圖形的面積3.1.1 直角坐標情形 設曲線與直線及x 軸所圍曲邊梯形面積為A ,取x為積分變量,則，則此面積為，面積為例1. 計算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積。解: 由得交點， 例2. 計算拋物線與直線所圍圖形的面積。解: 由得交點為簡便計算, 選取y積分變量, 則有3.1.2 設，求曲線及射線圍成的曲邊扇形的面積 。在區(qū)間上任取小區(qū)間，則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為，所求曲邊扇形的面積為例3. 計算阿基米德螺線對應從變到所圍圖形面積。 解：3.2 求平面曲線的弧長定義: 若在弧 A

23、B 上任意作內(nèi)接折線,當折線段的最大邊長時，線的長度趨向于一個確定的極限,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長，即，稱此曲線弧為可求長的。定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的。3.2.1曲線弧由直角坐標方程給出:弧長元素：，因此所求弧長3.2.2 曲線弧由參數(shù)方程給出:, 弧長元素(弧微分) :, 因此所求弧長3.2.3曲線弧由極坐標方程給出:,另，則得弧長為: ，因此所求弧長例子求連續(xù)曲線段的弧長.解：，3.3 求立體的體積3.3.1 平行截面面積為已知函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為,在上連續(xù), 則對應于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為例4一個平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底面

24、圓的中心 ,并與底面交成角,計算該平面所截圓柱體所得立體的體積。解：取坐標系，則圓的方程為，垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為，利用對稱性3.4 求旋轉(zhuǎn)體的體積當我們考慮到連續(xù)曲線段繞x軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時,有，當我們考慮到連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時,有例5：計算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解：利用直角坐標方程，則3.5 求旋轉(zhuǎn)體的側面積設平面光滑曲線，且，求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側面積.側面積元素:位于上的圓臺的側面積，積分后得旋轉(zhuǎn)體的側面積注意：側面積元素，因為不是薄片側面積的線性主部。若光滑曲線由參數(shù)方程給

25、出，則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側面積為例子求由星形線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S。解：利用對稱性4微積分在經(jīng)濟學中的應用微積分在經(jīng)濟領域中的應用，主要是研究在這一領域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關系，因此必須了解一些經(jīng)濟分析中常見的函數(shù)。導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用是十分廣泛的，因為在經(jīng)濟學中很多函數(shù)里面都有導數(shù)的存在才能去進行一些定量分析進而得出最優(yōu)化的結果。根據(jù)導數(shù)的一些性質(zhì)可以為大家解釋一些經(jīng)濟學函數(shù)圖像的走向問題，為何會出現(xiàn)此種走向等等。同樣的在極限的概念基礎上面，很多微積分的概念理論得到發(fā)展，很多經(jīng)濟學的知識也得到有效的解決。像一些復利問題，還有用極限方法解決彈性計算問題。積分的應用

26、是由人們在生產(chǎn)生活活動中，為了解決復雜和動態(tài)過程的量化累積而引入的。在日常經(jīng)濟活動中，積分的應用也非常廣泛，比如求總值（如總成本和總利潤等），包括其他變量時間累計的總量等。這些經(jīng)濟活動內(nèi)容涉及到很多個領域，且函數(shù)表達方式都有所不同，但它們的原理都是一樣的。這些都是微積分在經(jīng)濟學中的廣泛應用。4.1導數(shù)在經(jīng)濟學中的應用我們先介紹下導數(shù)的定義：導數(shù)反映函數(shù)的自變量在變化時，相應的函數(shù)值變化的快慢程度變化率。函數(shù)在某一點的導數(shù)表達式如下：若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點都可導，則稱在該區(qū)間內(nèi)可導，記為在該區(qū)間內(nèi)的可導函數(shù)（簡稱導數(shù)）。導數(shù)在引進經(jīng)濟學之后，對經(jīng)濟分析帶來了很大變革，可以定量分析很多以前沒辦法分

27、析的經(jīng)濟問題。導數(shù)在經(jīng)濟學中最通常的應用是邊際和彈性。經(jīng)濟學中的邊際經(jīng)濟變量都是用增加某一個經(jīng)濟變量一單位從而對另一個經(jīng)濟變量帶來的影響是多少，如邊際效用、邊際成、邊際收益、邊際利潤、邊際替代率等等。這些邊際概念幾乎都用導數(shù)來表示。4.1.1 邊際需求與邊際供給需求函數(shù)在點p處可導(其中Q為需求量，p為商品價格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際需求函數(shù)，簡稱邊際需求，稱為當價格為時的邊際需求，其經(jīng)濟意義為：當價格達到時，如果價格上漲一個單位，則需求量將相應減少單位。供給函數(shù)可導(其中Q為供給量，為商品價格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)，簡稱邊際供給，稱為當價格為時的邊際供給。其經(jīng)濟意義為：當價格達到時

28、，如果價格上漲一個單位，則供給增加單位。41.1.1 邊際成本函數(shù)總成本函數(shù) 平均成本函數(shù) 稱為邊際成本函數(shù)，代表固定成本，代表可變成本。稱為當產(chǎn)量為時的邊際成本，其經(jīng)濟意義為：當產(chǎn)量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則成本將相應增減個單位。例1：某種產(chǎn)品的總成本C（萬元）與產(chǎn)量q（萬件）之間的函數(shù)關系式（即總成本函數(shù)）為求生產(chǎn)水平為（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？解當q=10時的總成本為（萬元）所以平均成本（單位成本）為（元/件）邊際成本 因此在生產(chǎn)水平為10萬件時，每增加一個產(chǎn)品總成本增加3元，遠低于當前的單位成本，從降低成本角度看，應該繼續(xù)提高產(chǎn)量4

29、.1.1.2邊際收益函數(shù)總收益函數(shù) ，平均收益函數(shù) 邊際收益函數(shù) 簡稱邊際收益， 稱為當商品銷售量為時的邊際收益，經(jīng)濟意義為：當銷售量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則收益將相應地增減單位?？偸找鎀R是產(chǎn)量Q與價格P的乘積,即 總利潤為總收益與總成本的差值,即 。若價格隨Q的變化而改變,則Q最大時總收益TR和總利潤不一定取到最大值,并且收益最大時的產(chǎn)量不一定能產(chǎn)生最大的利潤,下面,運用導數(shù)對收益進行優(yōu)化分析。例2: 設壟斷廠商的需求函數(shù)為,總成本函數(shù) , (1)求：為多少時使總收益最大,與此相應的價格,總收益及總利潤各為多少？ (2)求：為多少時總利潤最大,價格,總收益及總利潤為多少? 解:(1

30、)已知廠商的產(chǎn)品的需求函數(shù)為則 總收益最大，即要求 所以。導數(shù)方法： 即 得 所以時，最大。把代入 得 總收益 總利潤 (2) 總利潤最大時， 得 把代入 得 總收益 總利潤 4.1.1.3 邊際利潤函數(shù)利潤函數(shù) ，平均利潤函數(shù) 邊際利潤函數(shù) 稱為當產(chǎn)量為時的邊際利潤，其經(jīng)濟意義是：當產(chǎn)量達到時，如果增減一個單位產(chǎn)品，則利潤將相應增減單位。在以上的定義中我們都發(fā)現(xiàn)不管是邊際成本、邊際利潤，都是導數(shù)的一些很簡單的應用。導數(shù)是函數(shù)關于自變量的變化率，在經(jīng)濟學中，也存在變化率的問題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟學中的很多問題歸結到數(shù)學中來，用我們所學的導數(shù)知識加以研究并解決。導數(shù)在經(jīng)濟學中的意義可以解釋為

31、：用增加一個經(jīng)濟變量的一個單位從而對另一個經(jīng)濟變量帶來的影響是多少。比如邊際替代率：邊際替代率的概念是這樣來定義的：為了維持原有的滿足程度不變，消費者為增加一單位商品x而必須放棄的商品y的數(shù)量。用公式表示就是： 5微積分在物理學上的應用5.1微積分解決物理問題時的微元選物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎的，例如質(zhì)點運動學是從勻速、勻變速直線運動開始，帶電體產(chǎn)生的電場是以點電荷為基礎。實際中的復雜問題，則可以化整為零，把它分割成在小時間、小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無限小，小到這些局部問題可近似處理為簡單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結果累加起來，就是問題的結果

32、。微積分在物理學中的應用相當普遍，有許多重要的物理概念 ，物理定律就是直接以微積分的形式給出的，如速度，加速度，轉(zhuǎn)動慣量，安培定律，電磁感應定律在用積分求解物理問題中涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問題，有時積分或積分變量選得好，計算就變得很方便和簡單，否則就難于計算甚至求不出結果。在應用微積分方法解物理問題時，微元的選取非常關鍵，選的恰當有利于問題的分析和計算，其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分選取的大，這樣可使積分運算更加簡單，因為微分和積分互為逆運算，微分微的越細，越精確，但積分越繁瑣，計算工作量較大，所以還要在微分

33、和積分這對矛盾之間協(xié)調(diào)處理。微元的選取不是唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠比一元積分麻煩。所以在分析物理問題時，應充分利用對稱性，選取適當?shù)囊辉⒃狗e分運算簡單；不管選取怎樣的微元，結果是相同的，都是問題的精確解。由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無限趨近于零，使得有限范圍內(nèi)的近似值到無限小范圍內(nèi)的精確，從而完成了問題的精確求解。5.1.1求變力沿直線所作的功設物體在連續(xù)變力作用下沿 x 軸從移動到，力的方向與運動方向平行，求變力所做的功 。 在上任取子區(qū)間，在其上所作的功元素為，因此變力在區(qū)間上所作的功為5.1.1.1 例1 在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有

34、一定量的氣體，由于氣體的膨脹, 把容器中的一個面積為S 的活塞從點 a 處移動到點 b 處，求移動過程中氣體壓力所作的功。 解：建立坐標系，由波義耳馬略特定律知壓強p 與體積 V 成反，即比，故作用在活塞上的力為，功元素為，所求功為5.1.1.2 求側體壓力設液體密度為，深為h處的壓強：，當平板與水面平行時，平板一側所受的壓力位,當水平不與水面平行時，所受側壓力問題就需要用積分解決。小例：一個水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為的液體，求這個桶的一個端面所受的側壓力。解：建立坐標系,所論半圓的方程為利用對稱性，側壓力元素，端面所受側壓力為5.1.1.3 引力問題質(zhì)量分別為，的質(zhì)點，相距r

35、，二者間的引力大小：，方向為沿兩質(zhì)點的連線，若考慮物體對質(zhì)點的引力, 則需用積分解決 .小例：設有一長度為 l, 線密度為m 的均勻細直棒,在其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點 M, 試計算該棒對質(zhì)點的引力。 解：細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為，故垂直分力元素為，棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為，棒對質(zhì)點引力的水平分力，故該棒對質(zhì)點的引力大小為6 結束語如果說我大學四年在自己的專業(yè)領域，也就是數(shù)學這個專業(yè)領域內(nèi)有什么重要收獲的話，那“培養(yǎng)出了對數(shù)學的興趣”絕對是最值得一提的。之所以這么說是因為在與以前初中、高中同學的交流中，我發(fā)現(xiàn)很多同學都不太喜歡自己的專業(yè)，甚至是討厭自己的專業(yè)，究其原因

36、，有的是因為在填報志愿時未經(jīng)深思熟慮就隨便選了個專業(yè)，或者根據(jù)父母朋友的意愿選了個“好找工作的”專業(yè)，后來卻發(fā)現(xiàn)并不符合自己的興趣，還有的則是根據(jù)自己的興趣選擇了喜歡的專業(yè)，但他們最初的興趣不但沒有在大學四年的學習過程中得到升華，反而被消磨殆盡，這是很可悲的。沒有學習興趣，在別人看來再好的學校再好的專業(yè)，對自己來說學習起來只能是索然無味，或者說至少會喪失很多學習過程中應有的樂趣。 我相信“興趣是最好的老師”，所以我很慶幸自己經(jīng)過大學四年的學習后，開始喜歡上自己的專業(yè)，這種興趣不再是自己初中、高中時單純喜歡計算數(shù)學題目，為自己可以解答難度極大的數(shù)學題目而開心，這種低層次、低境界的興趣在經(jīng)過大學四

37、年專業(yè)知識的打磨之后已經(jīng)逐漸升級?，F(xiàn)在我的確還會鐘情于一些數(shù)學題目的解答，但我會更關心題目背后的一些東西，比如它的歷史、來源、影響、應用等等。同時我也深知，大學本科階段的這些專業(yè)知識也不過是些非?；A的知識，即使是在我拿到理學的學士學位之后，若論專業(yè)水平，也只能說是比普通的數(shù)學愛好者多知道一些，并沒有什么值得特別炫耀的，若論實踐能力和動手操作能力，則遠不如該專業(yè)的?？茖W生以及教師。說這么多只是想提醒自己，要學的東西還太多！ 參考文獻1 同濟大學數(shù)學教研室高等數(shù)學（第四版）【M】.北京：高等教育出版社.19932 數(shù)學分析.上冊.華東師范大學數(shù)學系編（第三版）【M】. .北京：高等教育出版社.2

38、0013 李文林，數(shù)學史概論（第二版）【M】，北京：高等教育出版社，2002，（8）：144-196。4 鄧東皋，孫小禮，張祖貴，數(shù)學與文化【M】，北京：北京大學出版社，1990，（5）：369-378。5 高鴻業(yè).西方經(jīng)濟學（第五版）【M】.北京:中國人民大學出版社,2007,8.6 張麗玲.導數(shù)在微觀經(jīng)濟學中的應用【J】.河池學院學報,2007,(27).7 周波.經(jīng)濟效益最優(yōu)化數(shù)學模型的建立與應用【J】.內(nèi)江科技，2009（11）：126.8 林承初.定積分概念的推廣及其幾何物理意義【J】.河南教育學報.2006.(2)9 孫豐良.微積分初步【M】.延邊大學出版社.200010 羅圓圓.大學物理上冊【M】.修訂版.南昌：江西高級出版社.2005:345.致謝感謝我的導師吳紅英教授，她嚴謹細致、一絲不茍的作風一直是我工作、學習中的榜樣；她循循善誘的教導和不拘一格的思路給予我無盡的啟迪。感謝鐘芳志、戴元軍同學對我的幫助和指點。沒有他們的幫助和提供資料對于我一個對網(wǎng)絡知識一竅不通的人來說要想在短短的幾個月的時間里學習到網(wǎng)絡知識并完成畢業(yè)論文是幾乎不可能的事情。