數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）-微積分及其應(yīng)用.doc

學(xué)科分類號(hào) 0701 本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)論文題目（中文）：微積分及其應(yīng)用（英文）：Calculus and the application of the Calculus 學(xué)生姓名：學(xué)號(hào)：系別：數(shù)學(xué)系專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：起止日期：2011.122012.052012年 5月 1 日懷化學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）誠(chéng)信聲明作者鄭重聲明：所呈交的本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)），是在指導(dǎo)老師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果，成果不存在知識(shí)產(chǎn)權(quán)爭(zhēng)議。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的成果。對(duì)論文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確的方式標(biāo)明。本聲明的法律結(jié)果由作者承擔(dān)。本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）作者簽名：年 月 日目錄摘要I關(guān)鍵詞IAbstractIKey wordsI1前言22微積分介紹22.1微積分的基本內(nèi)容22.1.1微積分的發(fā)展23微積分在幾何中的應(yīng)用23.1求平面圖形的面積2 3.2 求平面曲線的弧長(zhǎng) 4 微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用24.1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)邊際分析部分的應(yīng)用24.1.1第四章三級(jí)標(biāo)題25微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用25.1第五章二級(jí)標(biāo)題25.1.1第五章三級(jí)標(biāo)題26結(jié)束語(yǔ)2參考文獻(xiàn)2致謝2附錄A2微積分及其應(yīng)用摘要微積分是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基礎(chǔ)學(xué)科。內(nèi)容主要包括極限、微分學(xué)、積分學(xué)及其應(yīng)用。微分學(xué)包括求解導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，是一套關(guān)于變化率的理論。它使得函數(shù)、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號(hào)進(jìn)行討論。積分學(xué)，包括求積分的運(yùn)算，為定義和計(jì)算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的，最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬(wàn)有引力定律導(dǎo)出了行星運(yùn)動(dòng)三定律。此后，微積分學(xué)極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，同時(shí)也極大的推動(dòng)了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個(gè)分支中的發(fā)展。并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。希望通過本文的介紹能使人們意識(shí)到微積分與其他各學(xué)科的密切關(guān)系，讓大家能意識(shí)到理論與實(shí)際結(jié)合的重要性。關(guān)鍵詞微積分；應(yīng)用；經(jīng)濟(jì)學(xué)；物理學(xué)；幾何Calculus and the application of the CalculusAbstractCalculus is a branch of mathematics to study the Differential, Integral of function, and the concern concepts and applications in higher mathematics. It is a basic discipline of mathematics. It Includes Limits, Differential Calculus, Integral Calculus and the use of Differential calculus. Differential Calculus includes solving the derivation of the operator and it is a theory about the rate of change. It makes the function, velocity, acceleration, and the slope of the curve can be discussed through a common set of symbols. Calculus and the computing the operation provide a common set of methods for the definition and calculation of the area and volumeCalculus develops with the application of the Calculus; Newton used Calculus and Differential Equations to derive the three laws of the movement of the planet from the law of universal gravitation initially. Since then, the Calculus not only promotes the development of mathematics greatly, but promotes the various branches about natural sciences, social sciences and applied science greatly，such as astronomy, mechanics, physics, chemistry, biology, engineering and economics. And it applicants widen and widen in these disciplines, especially contributes to the continuous development of these applications after the emergence of the Computer.I hope that I can make people aware of the close relationship of the Calculus and other disciplines through this article, so that we can aware of the importance of the connation between theory and practice.Key wordsCalculus; Application; Economics; Physics; 20 前言微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。通過研究微積分在物理，經(jīng)濟(jì)等方面的具體應(yīng)用，得到微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的重要意義，從而能夠利用微積分這一數(shù)學(xué)工具科學(xué)地解決問題。微積分的發(fā)展歷史表明了人的認(rèn)識(shí)是從生動(dòng)的直觀開始，進(jìn)而達(dá)到抽象思維，也就是從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的過程。人類對(duì)客觀世界的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)具有相對(duì)性，受到時(shí)代的局限。隨著人類認(rèn)識(shí)的深入，認(rèn)識(shí)將一步一步地由低級(jí)到高級(jí)、不全面到比較全面地發(fā)展，人類對(duì)自然的探索永遠(yuǎn)不會(huì)有終點(diǎn)。2 微積分的介紹2.1微積分的基本內(nèi)容2.1.1 一階微分 定義：設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量，可表示為 （其中A是不依賴于的常數(shù)），而是比高階的無(wú)窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)是可微的，且稱作函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即。通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記作，即。于是函數(shù)的微分又可記作。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。因此，導(dǎo)數(shù)也叫做微商。幾何意義 設(shè)是曲線上的點(diǎn)M的在橫坐標(biāo)上的增量，是曲線在點(diǎn)M對(duì)應(yīng)在縱坐標(biāo)上的增量，是曲線在點(diǎn)M的切線對(duì)應(yīng)在縱坐標(biāo)上的增量。當(dāng)非常小時(shí)，比要小得多(高階無(wú)窮小)，因此在點(diǎn)M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。2.1.2多元微分多元微分又叫全微分，是由兩個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)相對(duì)應(yīng)的一元微分的增量表示的。為函數(shù)Z在點(diǎn)處的全增量（其中A、B不依賴于和，而只與x、y有關(guān)，,即是Z在點(diǎn)的全微分。總的來說，微分學(xué)的核心思想便是以直線代替曲線，即在微小的鄰域內(nèi)，可以用一段切線段來代替曲線以簡(jiǎn)化計(jì)算過程。2.1.不定積分設(shè)為函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)的所有原函數(shù)（C為任意常數(shù)）叫做函數(shù)的不定積分。 記作。其中叫做積分號(hào)，叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分。由定義可知： 求函數(shù)的不定積分，就是要求出的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)的不定積分。 2.1.1積分與微分關(guān)系積分是微分的逆運(yùn)算，即知道了函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，反求原函數(shù)。在應(yīng)用上，積分作用不僅如此，它被大量應(yīng)用于求和，通俗的說是求曲邊三角形的面積，這巧妙的求解方法是積分特殊的性質(zhì)決定的。 一個(gè)函數(shù)的不定積分指另一族函數(shù)，這一族函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恰為前一函數(shù)，其中：一個(gè)實(shí)變函數(shù)在區(qū)間上的定積分，是一個(gè)實(shí)數(shù)。它等于該函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)在b的值減去在a的值。 積分從不同的問題抽象出來的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念。定積分和不定積分的統(tǒng)稱。不定積分是為解決求導(dǎo)和微分的逆運(yùn)算而提出的。例如：已知定義在區(qū)間I上的函數(shù)，求一條曲線，使得它在每一點(diǎn)的切線斜率為。函數(shù)的不定積分是的全體原函數(shù)（見原函數(shù)），記作 。如果是的一個(gè)原函數(shù)，則 ，其中C為任意常數(shù)。例如， 定積分是以平面圖形的面積問題引出的。為定義在上的函數(shù)，為求由和所圍圖形的面積S，采用古希臘人的窮竭法，先在小范圍內(nèi)以直線代替曲線，求出S的近似值，再取極限得到所求面積S，為此，先將分成n等分：，取，記，則為S的近似值，當(dāng)時(shí)，的極限應(yīng)可作為面積S。把這一類問題的思想方法抽象出來，便得定積分的概念：對(duì)于定義在上的函數(shù)，作分劃，若存在一個(gè)與分劃及的取法都無(wú)關(guān)的常數(shù)I，使得,其中則稱I為在上的定積分，表為即 稱為積分區(qū)間，為被積函數(shù)，a，b分別稱為積分的上限和下限。當(dāng)?shù)脑瘮?shù)存在時(shí)，定積分的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為求的不定積分：這是c牛頓萊布尼茲公式。2.2 微積分的發(fā)展微積分的產(chǎn)生是數(shù)學(xué)上的偉大創(chuàng)造。它從生產(chǎn)技術(shù)和理論科學(xué)的需要中產(chǎn)生，又反過來廣泛影響著生產(chǎn)技術(shù)和科學(xué)的發(fā)展。如今，微積分已是廣大科學(xué)工作 者以及技術(shù)人員不可缺少的工具。微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、發(fā)生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的時(shí)期。早在古希臘時(shí)期，歐多克斯提出了窮竭法。這是微積分的先驅(qū)，而我國(guó)莊子的天下篇中也有“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭”的極限思想，公元263年，劉徽的九間算術(shù)作注時(shí)提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周。這是極限論思想的成功運(yùn)用。積分概念是由求某一些面積、體積和弧長(zhǎng)引起的，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在拋物線求積法中求出拋物線弓形的面積，人沒有用極限，是“有限”開工的窮竭法，但阿基米德的貢獻(xiàn)真正成為積分學(xué)的萌芽。微分是聯(lián)系到對(duì)曲線作切線的問題和函數(shù)的極大值、極小值問題而產(chǎn)生的。微分方法的第一個(gè)真正值得注意的先驅(qū)工作起源于 1629 年費(fèi)爾瑪陳述的概念，他給同了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國(guó)劍橋大學(xué)三一學(xué)院的教授巴羅又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動(dòng)了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。前人工作終于使牛頓和萊布尼茨在 17 世紀(jì)下半葉各自獨(dú)立創(chuàng)立了微積分。1605年 5月20日，在牛頓手寫的一面文件中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于1665 - 1676年間，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓-萊而尼茨公式。如果將整個(gè)數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。從17世紀(jì)開始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及如航海、天文、礦山建設(shè)等許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時(shí)代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。整個(gè)17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分枝還是牛頓和萊布尼茨。 微積分的產(chǎn)生一般分為三個(gè)階段：極限概念；求積的無(wú)限小方法；積分與微分的互逆關(guān)系。最后一步是由牛頓、萊布尼茲完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家一直追朔到古希臘的阿基米德都作出了各自的貢獻(xiàn)。對(duì)于這方面的工作，古代中國(guó)毫不遜色于西方，微積分思想在古代中國(guó)早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無(wú)限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)墨經(jīng)中有了有窮、無(wú)窮、無(wú)限小、無(wú)窮大的定義和極限、瞬時(shí)等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3 .1416，他的極限思想和無(wú)窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。微積分思想雖然可追朔古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對(duì)圓錐、圓臺(tái)、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖恒求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括的夢(mèng)溪筆談獨(dú)創(chuàng)了“隙積術(shù)”、“會(huì)圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”開創(chuàng)了對(duì)高階等差級(jí)數(shù)求和的研究。從微積分成為一門學(xué)科來說，是在17世紀(jì)，但是，微分和積分的思想早在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了。公元前3世紀(jì)，古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德的著作圓的測(cè)量和論球與圓柱中就已含有微積分的萌芽，他在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積的問題中就隱含著近代積分的思想。作為微積分的基礎(chǔ)極限理論來說，早在我國(guó)的古代就有非常詳盡的論述，比如莊周所著的莊子一書中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”。三國(guó)時(shí)期的高徽在他的割圓術(shù)中提出“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”。他在1615年測(cè)量酒桶體積的新科學(xué)一書中，就把曲線看成邊數(shù)無(wú)限增大的直線形。圓的面積就是無(wú)窮多的三角形面積之和，這些都可視為黃型極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的連續(xù)不可分幾何，就把曲線看成無(wú)限多條線段（不可分量）拼成的。這些都為后來的微積分的誕生作了思想準(zhǔn)備。由于16世紀(jì)以后歐洲封建社會(huì)日趨沒落，取而代之的是資本主義的興起，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。到了17世紀(jì)，有許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題做了大量的研究工作。笛卡爾1637年發(fā)表了科學(xué)中的正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論（簡(jiǎn)稱方法論），從而確立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。他不僅用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，而且把點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)用到曲線上。他認(rèn)為點(diǎn)移動(dòng)成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系，表示變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線，于是方程與曲線之間建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系。此外，笛卡爾打破了表示體積面積及長(zhǎng)度的量之間不可相加減的束縛。于是幾何圖形各種量之間可以化為代數(shù)量之間的關(guān)系，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來。笛卡爾就這樣把相互對(duì)立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)史的一次飛躍，而且更重要的是它為微積分的成熟提供了必要的條件，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間。3 微積分在幾何中的應(yīng)用3.1求平面圖形的面積3.1.1 直角坐標(biāo)情形 設(shè)曲線與直線及x 軸所圍曲邊梯形面積為A ,取x為積分變量,則，則此面積為，面積為例1. 計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積。解: 由得交點(diǎn)， 例2. 計(jì)算拋物線與直線所圍圖形的面積。解: 由得交點(diǎn)為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取y積分變量, 則有3.1.2 設(shè)，求曲線及射線圍成的曲邊扇形的面積 。在區(qū)間上任取小區(qū)間，則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為，所求曲邊扇形的面積為例3. 計(jì)算阿基米德螺線對(duì)應(yīng)從變到所圍圖形面積。 解：3.2 求平面曲線的弧長(zhǎng)定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)時(shí)，線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng)，即，稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的。定理: 任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的。3.2.1曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素：，因此所求弧長(zhǎng)3.2.2 曲線弧由參數(shù)方程給出:, 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :, 因此所求弧長(zhǎng)3.2.3曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:,另，則得弧長(zhǎng)為: ，因此所求弧長(zhǎng)例子求連續(xù)曲線段的弧長(zhǎng).解：，3.3 求立體的體積3.3.1 平行截面面積為已知函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為,在上連續(xù), 則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為例4一個(gè)平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底面圓的中心 ,并與底面交成角,計(jì)算該平面所截圓柱體所得立體的體積。解：取坐標(biāo)系，則圓的方程為，垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為，利用對(duì)稱性3.4 求旋轉(zhuǎn)體的體積當(dāng)我們考慮到連續(xù)曲線段繞x軸，軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時(shí),有，當(dāng)我們考慮到連續(xù)曲線段繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的立體體積時(shí),有例5：計(jì)算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解：利用直角坐標(biāo)方程，則3.5 求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線，且，求它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.側(cè)面積元素:位于上的圓臺(tái)的側(cè)面積，積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積注意：側(cè)面積元素，因?yàn)椴皇潜∑瑐?cè)面積的線性主部。若光滑曲線由參數(shù)方程給出，則它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為例子求由星形線繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S。解：利用對(duì)稱性4微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用微積分在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用，主要是研究在這一領(lǐng)域中出現(xiàn)的一些函數(shù)關(guān)系，因此必須了解一些經(jīng)濟(jì)分析中常見的函數(shù)。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用是十分廣泛的，因?yàn)樵诮?jīng)濟(jì)學(xué)中很多函數(shù)里面都有導(dǎo)數(shù)的存在才能去進(jìn)行一些定量分析進(jìn)而得出最優(yōu)化的結(jié)果。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)可以為大家解釋一些經(jīng)濟(jì)學(xué)函數(shù)圖像的走向問題，為何會(huì)出現(xiàn)此種走向等等。同樣的在極限的概念基礎(chǔ)上面，很多微積分的概念理論得到發(fā)展，很多經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識(shí)也得到有效的解決。像一些復(fù)利問題，還有用極限方法解決彈性計(jì)算問題。積分的應(yīng)用是由人們?cè)谏a(chǎn)生活活動(dòng)中，為了解決復(fù)雜和動(dòng)態(tài)過程的量化累積而引入的。在日常經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，積分的應(yīng)用也非常廣泛，比如求總值（如總成本和總利潤(rùn)等），包括其他變量時(shí)間累計(jì)的總量等。這些經(jīng)濟(jì)活動(dòng)內(nèi)容涉及到很多個(gè)領(lǐng)域，且函數(shù)表達(dá)方式都有所不同，但它們的原理都是一樣的。這些都是微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。4.1導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用我們先介紹下導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)反映函數(shù)的自變量在變化時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值變化的快慢程度變化率。函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式如下：若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱在該區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，記為在該區(qū)間內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù)在引進(jìn)經(jīng)濟(jì)學(xué)之后，對(duì)經(jīng)濟(jì)分析帶來了很大變革，可以定量分析很多以前沒辦法分析的經(jīng)濟(jì)問題。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中最通常的應(yīng)用是邊際和彈性。經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際經(jīng)濟(jì)變量都是用增加某一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量一單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來的影響是多少，如邊際效用、邊際成、邊際收益、邊際利潤(rùn)、邊際替代率等等。這些邊際概念幾乎都用導(dǎo)數(shù)來表示。4.1.1 邊際需求與邊際供給需求函數(shù)在點(diǎn)p處可導(dǎo)(其中Q為需求量，p為商品價(jià)格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際需求函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際需求，稱為當(dāng)價(jià)格為時(shí)的邊際需求，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到時(shí)，如果價(jià)格上漲一個(gè)單位，則需求量將相應(yīng)減少單位。供給函數(shù)可導(dǎo)(其中Q為供給量，為商品價(jià)格)，則其邊際函數(shù)稱為邊際供給函數(shù)，簡(jiǎn)稱邊際供給，稱為當(dāng)價(jià)格為時(shí)的邊際供給。其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)價(jià)格達(dá)到時(shí)，如果價(jià)格上漲一個(gè)單位，則供給增加單位。41.1.1 邊際成本函數(shù)總成本函數(shù) 平均成本函數(shù) 稱為邊際成本函數(shù)，代表固定成本，代表可變成本。稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際成本，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則成本將相應(yīng)增減個(gè)單位。例1：某種產(chǎn)品的總成本C（萬(wàn)元）與產(chǎn)量q（萬(wàn)件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù)）為求生產(chǎn)水平為（萬(wàn)件）時(shí)的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否合適？解當(dāng)q=10時(shí)的總成本為（萬(wàn)元）所以平均成本（單位成本）為（元/件）邊際成本 因此在生產(chǎn)水平為10萬(wàn)件時(shí)，每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元，遠(yuǎn)低于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量4.1.1.2邊際收益函數(shù)總收益函數(shù) ，平均收益函數(shù) 邊際收益函數(shù) 簡(jiǎn)稱邊際收益， 稱為當(dāng)商品銷售量為時(shí)的邊際收益，經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷售量達(dá)到時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增減單位?？偸找鎀R是產(chǎn)量Q與價(jià)格P的乘積,即 總利潤(rùn)為總收益與總成本的差值,即 。若價(jià)格隨Q的變化而改變,則Q最大時(shí)總收益TR和總利潤(rùn)不一定取到最大值,并且收益最大時(shí)的產(chǎn)量不一定能產(chǎn)生最大的利潤(rùn),下面,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對(duì)收益進(jìn)行優(yōu)化分析。例2: 設(shè)壟斷廠商的需求函數(shù)為,總成本函數(shù) , (1)求：為多少時(shí)使總收益最大,與此相應(yīng)的價(jià)格,總收益及總利潤(rùn)各為多少？ (2)求：為多少時(shí)總利潤(rùn)最大,價(jià)格,總收益及總利潤(rùn)為多少? 解:(1)已知廠商的產(chǎn)品的需求函數(shù)為則 總收益最大，即要求 所以。導(dǎo)數(shù)方法： 即 得 所以時(shí)，最大。把代入 得 總收益 總利潤(rùn) (2) 總利潤(rùn)最大時(shí)， 得 把代入 得 總收益 總利潤(rùn) 4.1.1.3 邊際利潤(rùn)函數(shù)利潤(rùn)函數(shù) ，平均利潤(rùn)函數(shù) 邊際利潤(rùn)函數(shù) 稱為當(dāng)產(chǎn)量為時(shí)的邊際利潤(rùn)，其經(jīng)濟(jì)意義是：當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到時(shí)，如果增減一個(gè)單位產(chǎn)品，則利潤(rùn)將相應(yīng)增減單位。在以上的定義中我們都發(fā)現(xiàn)不管是邊際成本、邊際利潤(rùn)，都是導(dǎo)數(shù)的一些很簡(jiǎn)單的應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量的變化率，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，也存在變化率的問題，因此我們可以把微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的很多問題歸結(jié)到數(shù)學(xué)中來，用我們所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)加以研究并解決。導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的意義可以解釋為：用增加一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的一個(gè)單位從而對(duì)另一個(gè)經(jīng)濟(jì)變量帶來的影響是多少。比如邊際替代率：邊際替代率的概念是這樣來定義的：為了維持原有的滿足程度不變，消費(fèi)者為增加一單位商品x而必須放棄的商品y的數(shù)量。用公式表示就是： 5微積分在物理學(xué)上的應(yīng)用5.1微積分解決物理問題時(shí)的微元選物理現(xiàn)象及其規(guī)律的研究都是以最簡(jiǎn)單的現(xiàn)象和規(guī)律為基礎(chǔ)的，例如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)是從勻速、勻變速直線運(yùn)動(dòng)開始，帶電體產(chǎn)生的電場(chǎng)是以點(diǎn)電荷為基礎(chǔ)。實(shí)際中的復(fù)雜問題，則可以化整為零，把它分割成在小時(shí)間、小空間范圍內(nèi)的局部問題，只要局部范圍被分割到無(wú)限小，小到這些局部問題可近似處理為簡(jiǎn)單的可研究的問題，把局部范圍內(nèi)的結(jié)果累加起來，就是問題的結(jié)果。微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用相當(dāng)普遍，有許多重要的物理概念 ，物理定律就是直接以微積分的形式給出的，如速度，加速度，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，安培定律，電磁感應(yīng)定律在用積分求解物理問題中涉及到積分元，積分變量，積分上下限如何確定等問題，有時(shí)積分或積分變量選得好，計(jì)算就變得很方便和簡(jiǎn)單，否則就難于計(jì)算甚至求不出結(jié)果。在應(yīng)用微積分方法解物理問題時(shí)，微元的選取非常關(guān)鍵，選的恰當(dāng)有利于問題的分析和計(jì)算，其一要保證在所選取的微元內(nèi)能近似處理成簡(jiǎn)單基本的物理模型，以便于分析物理問題；其二要盡量把微分選取的大，這樣可使積分運(yùn)算更加簡(jiǎn)單，因?yàn)槲⒎趾头e分互為逆運(yùn)算，微分微的越細(xì)，越精確，但積分越繁瑣，計(jì)算工作量較大，所以還要在微分和積分這對(duì)矛盾之間協(xié)調(diào)處理。微元的選取不是唯一，在每一種微元里近似的物理模型是不同的，重積分遠(yuǎn)比一元積分麻煩。所以在分析物理問題時(shí)，應(yīng)充分利用對(duì)稱性，選取適當(dāng)?shù)囊辉⒃狗e分運(yùn)算簡(jiǎn)單；不管選取怎樣的微元，結(jié)果是相同的，都是問題的精確解。由此看出，用微積分解題的神奇之處，由于微元無(wú)限趨近于零，使得有限范圍內(nèi)的近似值到無(wú)限小范圍內(nèi)的精確，從而完成了問題的精確求解。5.1.1求變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力作用下沿 x 軸從移動(dòng)到，力的方向與運(yùn)動(dòng)方向平行，求變力所做的功 。 在上任取子區(qū)間，在其上所作的功元素為，因此變力在區(qū)間上所作的功為5.1.1.1 例1 在底面積為 S 的圓柱形容器中盛有一定量的氣體，由于氣體的膨脹, 把容器中的一個(gè)面積為S 的活塞從點(diǎn) a 處移動(dòng)到點(diǎn) b 處，求移動(dòng)過程中氣體壓力所作的功。 解：建立坐標(biāo)系，由波義耳馬略特定律知壓強(qiáng)p 與體積 V 成反，即比，故作用在活塞上的力為，功元素為，所求功為5.1.1.2 求側(cè)體壓力設(shè)液體密度為，深為h處的壓強(qiáng)：，當(dāng)平板與水面平行時(shí)，平板一側(cè)所受的壓力位,當(dāng)水平不與水面平行時(shí)，所受側(cè)壓力問題就需要用積分解決。小例：一個(gè)水平橫放的半徑為R 的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為的液體，求這個(gè)桶的一個(gè)端面所受的側(cè)壓力。解：建立坐標(biāo)系,所論半圓的方程為利用對(duì)稱性，側(cè)壓力元素，端面所受側(cè)壓力為5.1.1.3 引力問題質(zhì)量分別為，的質(zhì)點(diǎn)，相距r，二者間的引力大?。海较?yàn)檠貎少|(zhì)點(diǎn)的連線，若考慮物體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力, 則需用積分解決 .小例：設(shè)有一長(zhǎng)度為 l, 線密度為m 的均勻細(xì)直棒,在其中垂線上距 a 單位處有一質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) M, 試計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。 解：細(xì)棒上小段對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為，故垂直分力元素為，棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的垂直分力為，棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)引力的水平分力，故該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力大小為6 結(jié)束語(yǔ)如果說我大學(xué)四年在自己的專業(yè)領(lǐng)域，也就是數(shù)學(xué)這個(gè)專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)有什么重要收獲的話，那“培養(yǎng)出了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣”絕對(duì)是最值得一提的。之所以這么說是因?yàn)樵谂c以前初中、高中同學(xué)的交流中，我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)都不太喜歡自己的專業(yè)，甚至是討厭自己的專業(yè)，究其原因，有的是因?yàn)樵谔顖?bào)志愿時(shí)未經(jīng)深思熟慮就隨便選了個(gè)專業(yè)，或者根據(jù)父母朋友的意愿選了個(gè)“好找工作的”專業(yè)，后來卻發(fā)現(xiàn)并不符合自己的興趣，還有的則是根據(jù)自己的興趣選擇了喜歡的專業(yè)，但他們最初的興趣不但沒有在大學(xué)四年的學(xué)習(xí)過程中得到升華，反而被消磨殆盡，這是很可悲的。沒有學(xué)習(xí)興趣，在別人看來再好的學(xué)校再好的專業(yè)，對(duì)自己來說學(xué)習(xí)起來只能是索然無(wú)味，或者說至少會(huì)喪失很多學(xué)習(xí)過程中應(yīng)有的樂趣。 我相信“興趣是最好的老師”，所以我很慶幸自己經(jīng)過大學(xué)四年的學(xué)習(xí)后，開始喜歡上自己的專業(yè)，這種興趣不再是自己初中、高中時(shí)單純喜歡計(jì)算數(shù)學(xué)題目，為自己可以解答難度極大的數(shù)學(xué)題目而開心，這種低層次、低境界的興趣在經(jīng)過大學(xué)四年專業(yè)知識(shí)的打磨之后已經(jīng)逐漸升級(jí)?，F(xiàn)在我的確還會(huì)鐘情于一些數(shù)學(xué)題目的解答，但我會(huì)更關(guān)心題目背后的一些東西，比如它的歷史、來源、影響、應(yīng)用等等。同時(shí)我也深知，大學(xué)本科階段的這些專業(yè)知識(shí)也不過是些非常基礎(chǔ)的知識(shí)，即使是在我拿到理學(xué)的學(xué)士學(xué)位之后，若論專業(yè)水平，也只能說是比普通的數(shù)學(xué)愛好者多知道一些，并沒有什么值得特別炫耀的，若論實(shí)踐能力和動(dòng)手操作能力，則遠(yuǎn)不如該專業(yè)的?？茖W(xué)生以及教師。說這么多只是想提醒自己，要學(xué)的東西還太多！ 參考文獻(xiàn)1 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室高等數(shù)學(xué)（第四版）【M】.北京：高等教育出版社.19932 數(shù)學(xué)分析.上冊(cè).華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編（第三版）【M】. .北京：高等教育出版社.20013 李文林，數(shù)學(xué)史概論（第二版）【M】，北京：高等教育出版社，2002，（8）：144-196。4 鄧東皋，孫小禮，張祖貴，數(shù)學(xué)與文化【M】，北京：北京大學(xué)出版社，1990，（5）：369-378。5 高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)（第五版）【M】.北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2007,8.6 張麗玲.導(dǎo)數(shù)在微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用【J】.河池學(xué)院學(xué)報(bào),2007,(27).7 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