（通用版）2020版高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 能力升級練（八）數(shù)列求和與數(shù)列綜合問題 理

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1、能力升級練(八)數(shù)列求和與數(shù)列綜合問題一、選擇題1.已知數(shù)列an滿足:任意m,nN*,都有anam=an+m,且a1=12,那么a5=()A.132B.116C.14D.12解析由題意,得a2=a1a1=14,a3=a1a2=18,則a5=a3a2=132.答案A2.(2019江西重點中學(xué)盟校聯(lián)考)在數(shù)列an中,a1=-14,an=1-1an-1(n2,nN*),則a2 019的值為()A.-14B.5C.45D.54解析在數(shù)列an中,a1=-14,an=1-1an-1(n2,nN*),所以a2=1-1-14=5,a3=1-15=45,a4=1-145=-14,所以an是以3為周期的周期數(shù)列,

2、所以a2019=a6733=a3=45.答案C3.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(nN*),則S5=()A.31B.42C.37D.47解析由題意,得Sn+1-Sn=Sn+1(nN*),Sn+1+1=2(Sn+1)(nN*),故數(shù)列Sn+1為等比數(shù)列,其首項為3,公比為2,則S5+1=324,所以S5=47.答案D4.(2019四川成都診斷)已知f(x)=(2a-1)x+4(x1),ax(x1),數(shù)列an(nN*)滿足an=f(n),且an是遞增數(shù)列,則a的取值范圍是()A.(1,+)B.12,+C.(1,3)D.(3,+)解析因為an是遞增數(shù)列,所以a1,a22

3、a-1+4,解得a3,則a的取值范圍是(3,+).答案D5.(2017全國,理9)等差數(shù)列an的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則an前6項的和為()A.-24B.-3C.3D.8解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則d0,a32=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,所以S6=61+652(-2)=-24,故選A.答案A6.數(shù)列an的通項公式為an=(-1)n-1(4n-3),則它的前100項之和S100等于()A.200B.-200C.400D.-400解析S100=(41-3)-(42-3)+(43-3)-(4100-3)=4(1-2)+(3-4)+

4、(99-100)=4(-50)=-200.答案B7.數(shù)列an的通項公式是an=1n+n+1,前n項和為9,則n等于()A.9B.99C.10D.100解析因為an=1n+n+1=n+1-n,所以Sn=a1+a2+an=(n+1-n)+(n-n-1)+(3-2)+(2-1)=n+1-1,令n+1-1=9,得n=99.答案B8.(2019山東德州調(diào)研)已知Tn為數(shù)列2n+12n的前n項和,若mT10+1 013恒成立,則整數(shù)m的最小值為()A.1 026B.1 025C.1 024D.1 023解析2n+12n=1+12n,Tn=n+1-12n,T10+1013=11-1210+1013=1024

5、-1210,又mT10+1013恒成立,整數(shù)m的最小值為1024.答案C9.(2019福建廈門質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足an+1+(-1)n+1an=2,則其前100項的和為()A.250B.200C.150D.100解析當n=2k(kN*)時,a2k+1-a2k=2,當n=2k-1(kN*)時,a2k+a2k-1=2,當n=2k+1(kN*)時,a2k+2+a2k+1=2,a2k+1+a2k-1=4,a2k+2+a2k=0,an的前100項和=(a1+a3)+(a97+a99)+(a2+a4)+(a98+a100)=254+250=100.答案D二、填空題10.若數(shù)列an的前n項和Sn=3n2-

6、2n+1,則數(shù)列an的通項公式an=.解析當n=1時,a1=S1=312-21+1=2;當n2時,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,顯然當n=1時,不滿足上式.故數(shù)列的通項公式為an=2,n=1,6n-5,n2.答案2,n=1,6n-5,n211.在數(shù)列an中,a1=2,an+1n+1=ann+ln1+1n,則an=.解析由題意,得an+1n+1-ann=ln(n+1)-lnn,ann-an-1n-1=lnn-ln(n-1)(n2).a22-a11=ln2-ln1,a33-a22=ln3-ln2,ann-an-1n-1=lnn-ln(n-1)(

7、n2).累加,得ann-a11=lnn,ann=2+lnn(n2),又a1=2適合ann=2+lnn,故an=2n+nlnn.答案2n+nln n12.(2019湖北武漢質(zhì)檢)設(shè)數(shù)列(n2+n)an是等比數(shù)列,且a1=16,a2=154,則數(shù)列3nan的前15項和為.解析等比數(shù)列(n2+n)an的首項為2a1=13,第二項為6a2=19,故公比為13,所以(n2+n)an=1313n-1=13n,所以an=13n(n2+n),則3nan=1n2+n=1n-1n+1,其前n項和為1-1n+1,當n=15時,為1-116=1516.答案151613.等差數(shù)列an的前n項和記為Sn,若S44,S72

8、8,則a10的最大值為.解析等差數(shù)列an的前n項和為Sn,S44,S728,S4=4a1+432d4,S7=7a1+762d28,即2a1+3d2,a1+3d4,a10=a1+9d=a1+3d+6d4+6d,a10=a1+9d=12(2a1+3d)+15d22+15d2,2+15d2a104+6d,2+15d24+6d,解得d2,a104+62=16.答案16三、解答題14.求和Sn=x+1x2+x2+1x22+xn+1xn2(x0).解當x1時,Sn=x+1x2+x2+1x22+xn+1xn2=x2+2+1x2+x4+2+1x4+x2n+2+1x2n=(x2+x4+x2n)+2n+1x2+1

9、x4+1x2n=x2(x2n-1)x2-1+x-2(1-x-2n)1-x-2+2n=(x2n-1)(x2n+2+1)x2n(x2-1)+2n.當x=1時,Sn=4n.15.設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=2,an+1=2+Sn(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn=1+log2(an)2,求證:數(shù)列1bnbn+1的前n項和Tn16.(1)解因為an+1=2+Sn(nN*),所以an=2+Sn-1(n2),所以an+1-an=Sn-Sn-1=an,所以an+1=2an(n2).又因為a2=2+a1=4,a1=2,所以a2=2a1,所以數(shù)列an是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,則an=22n-1=2n(nN*).(2)證明因bn=1+log2(an)2,則bn=2n+1.則1bnbn+1=1212n+1-12n+3,所以Tn=1213-15+15-17+12n+1-12n+3=1213-12n+3=16-12(2n+3)16.7