2020版高中數(shù)學 第四講 用數(shù)學歸納法證明不等式 4.2 用數(shù)學歸納法證明不等式舉例練習（含解析）新人教A版選修4-5

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1、二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例基礎(chǔ)鞏固1用數(shù)學歸納法證明：3nn3(n3,nN+),第一步應(yīng)驗證()A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4答案：C2用數(shù)學歸納法證明：2nn2(n5,nN+)成立時第二步歸納假設(shè)的正確寫法是()A.假設(shè)n=k時命題正確B.假設(shè)n=k(kN+)時命題正確C.假設(shè)n=k(k5)時命題正確D.假設(shè)n=k(k5)時命題正確答案：C3用數(shù)學歸納法證明：1+12+13+12n-11)時,第一步應(yīng)證下述哪個不等式成立()A.12B.1+122C.1+12+132D.1+13n2+1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時,第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A.2B.3C.5D.6答案：C

2、6利用數(shù)學歸納法證明：“1+131+151+12n-12n+12”時,n的最小取值n0為.解析：左邊為(n-1)項的乘積,故n0=2.答案：27觀察下列不等式:112;1+12+131;1+12+13+1732;1+12+13+1152;1+12+13+13152;由此猜測第n個不等式為.答案：1+12+13+12n-1n28用數(shù)學歸納法證明：“2n+1n2+n+2(nN+)”時,第一步的驗證為.解析：當n=1時,21+112+1+2,即44成立.答案：21+112+1+29試證明：1+12+13+1n2n(nN+).證明：(1)當n=1時,不等式成立.(2)假設(shè)當n=k(k1)時,不等式成立

3、,即1+12+13+1k2k.則當n=k+1時,1+12+13+1k+1k+12k+1k+1=2k(k+1)+1k+1k+(k+1)+1k+1=2k+1.這就是說,當n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)(2)可知不等式對nN+都成立.能力提升1用數(shù)學歸納法證明不等式1n+1+1n+2+12n1314(n2,nN+)的過程中,由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊()A.增加了一項12(k+1)B.增加了兩項12k+1,12k+2C.增加了兩項12k+1,12k+2,但減少了一項1k+1D.以上各種情況均不正確解析：當n=k時,不等式為1k+1+1k+2+12kan,且(an+1-an)2-2(

4、an+1+an)+1=0,先計算a2,a3,再猜想an等于()A.nB.n2C.n3D.n+3-n答案：B3某同學回答“用數(shù)學歸納法證明：n2+nn+1(nN+)”的過程如下:證明：(1)當n=1時,顯然命題是正確的;(2)假設(shè)當n=k(k1)時有k(k+1)k+1,那么當n=k+1時,(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2k2+4k+4=(k+1)+1,所以當n=k+1時命題是正確的.由(1)(2)可知對于nN+,命題都是正確的.以上證法是錯誤的,錯誤在于()A.從k到k+1的推理過程沒有使用歸納假設(shè)B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從k到k+1的推理不嚴密D.當n=1時,驗證過程不具體解析：證

5、明(k+1)2+(k+1)(k+1)+1時進行了一般意義的放大,而沒有使用歸納假設(shè)k(k+1)1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),知當n1時,令x=ba,則1+ban1+nba,所以a+ban1+nba,即(a+b)nan+nan-1b.當n=1時,M=N.故MN.答案：MN5在ABC中,不等式1A+1B+1C9成立;在四邊形ABCD中,不等式1A+1B+1C+1D162成立;在五邊形ABCDE中,不等式1A+1B+1C+1D+1E253成立.猜想在n邊形A1A2An中,其不等式為.答案：1A1+1A2+1A3+1Ann2(n-2)6設(shè)數(shù)列an滿足a1=0,an+1=can3+1-c,n

6、N+,其中c為實數(shù).(1)證明：an0,1對任意nN+成立的充分必要條件是c0,1;(2)設(shè)0c13,證明：an1-(3c)n-1,nN+.證明：(1)必要性:a1=0,a2=1-c.a20,1,01-c1,即c0,1.充分性:設(shè)c0,1,對nN+用數(shù)學歸納法證明an0,1.當n=1時,a1=00,1.假設(shè)ak0,1(kN+,k1),則ak+1=cak3+1-cc+1-c=1,且ak+1=cak3+1-c1-c0,故ak+10,1.由數(shù)學歸納法,知an0,1對所有的nN+成立.綜上可得,an0,1對任意nN+成立的充分必要條件是c0,1.(2)設(shè)0c13,當n=1時,a1=0,結(jié)論成立.當n2

7、時,an=can-13+1-c,1-an=c(1-an-13)=c(1-an-1)(1+an-1+an-12).0c0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值;(2)當b=2時,記bn=2(log2an+1)(nN+),證明：對任意的nN+,不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bnn+1成立.解: (1)因為對任意的nN+,點(n,Sn)均在函數(shù)y=bx+r(b0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖象上,所以Sn=bn+r.當n=1時,a1=S1=b+r.當n2時,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1.又因為an為等比數(shù)列,所以r=-1,公

8、比為b,an=(b-1)bn-1(nN+).(2)證明：當b=2時,an=(b-1)bn-1=2n-1,bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n,則bn+1bn=2n+12n,所以b1+1b1b2+1b2bn+1bn=3254762n+12n.下面用數(shù)學歸納法證明不等式b1+1b1b2+1b2bn+1bn=3254762n+12nn+1成立.當n=1時,左邊=32,右邊=2,因為322,所以不等式成立.假設(shè)當n=k(kN+,k1)時不等式成立,即b1+1b1b2+1b2bk+1bk=3254762k+12kk+1成立,則當n=k+1時,左邊=b1+1b1b2+1b2bk+1bkbk+1+1bk+1=3254762k+12k2k+32k+2k+12k+32k+2=(2k+3)24(k+1)=4(k+1)2+4(k+1)+14(k+1)=(k+1)+1+14(k+1)(k+1)+1.所以當n=k+1時,不等式也成立.由可得所證不等式恒成立.6