（課標專用）天津市2020高考數學二輪復習 題型練5 大題專項（三）統計與概率問題

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1、題型練5　大題專項(三)　統計與概率問題 　題型練第58頁　? 1.為推動乒乓球運動的發(fā)展,某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加.現有來自甲協會的運動員3名,其中種子選手兩名;乙協會的運動員5名,其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽. (1)設A為事件“選出的4人中恰有兩名種子選手,且這兩名種子選手來自同一個協會”,求事件A發(fā)生的概率; (2)設X為選出的4人中種子選手的人數,求隨機變量X的分布列和數學期望. 解:(1)由已知,有P(A)=C22C32+C32C32C84=635. 所以,事件A發(fā)生的概率為635. (2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3

2、,4. P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4). 所以,隨機變量X的分布列為 X 1 2 3 4 P 114 37 37 114 隨機變量X的數學期望E(X)=1×114+2×37+3×37+4×114=52. 2.電影公司隨機收集了電影的有關數據,經分類整理得到下表: 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指:一類電影中獲得好評的部數與該類電影的部數的比值.

3、 假設所有電影是否獲得好評相互獨立. (1)從電影公司收集的電影中隨機選取1部,求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率; (2)從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,估計恰有1部獲得好評的概率; (3)假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等.用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡,用“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小關系. 解:(1)設“從電影公司收集的電影中隨機選取1部,這部電影是獲得好評的第四類電影”為事件A,第四類電影中獲得好評的電

4、影為200×0.25=50(部). P(A)=50140+50+300+200+800+510=502000=0.025. (2)設“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部,恰有1部獲得好評”為事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35. (3)由題意可知,定義隨機變量如下: ξk=0,第k類電影沒有得到人們喜歡,1,第k類電影得到人們喜歡, 則ξk顯然服從兩點分布,則六類電影的分布列及方差計算如下: 第一類電影: ξ1 1 0 P 0.4 0.6 D(ξ1)=0.4×0.6=0.24; 第二類電影: ξ2 1 0 P 0.2 0.

5、8 D(ξ2)=0.2×0.8=0.16; 第三類電影: ξ3 1 0 P 0.15 0.85 D(ξ3)=0.15×0.85=0.1275; 第四類電影: ξ4 1 0 P 0.25 0.75 D(ξ4)=0.25×0.75=0.1875; 第五類電影: ξ5 1 0 P 0.2 0.8 D(ξ5)=0.2×0.8=0.16; 第六類電影: ξ6 1 0 P 0.1 0.9 D(ξ6)=0.1×0.9=0.09. 綜上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6). 3.2018年在人民大會堂

6、舉行了慶祝改革開放40周年大會.會后,央視媒體平臺,收到了來自全國各地的紀念改革開放40年變化的老照片,并從眾多照片中抽取了100張照片參加“改革開放40年圖片展”,其作者年齡集中在[25,85]之間,根據統計結果,作出頻率分布直方圖如下: (1)求這100位作者年齡的樣本平均數x和樣本方差s2(同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表); (2)由頻率分布直方圖可以認為,作者年齡X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數x,σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布,求P(60

7、抽出了7人參加“紀念改革開放40年圖片展”表彰大會,現要從中選出3人作為代表發(fā)言,設這3位發(fā)言者的年齡落在區(qū)間[45,55]的人數是Y,求變量Y的分布列和數學期望. 附:180≈13.4,若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ

8、=180. (2)①由(1)知,X~N(60,180), 從而P(60

9、435+1×1835+2×1235+3×135=97. 4.已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為24,16,16.現采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調查. (1)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數,求隨機變量X的分布列與數學期望; ②設A為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件A發(fā)生的概率. 解:(1)由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數之比為3∶2∶2,由于采用分層抽樣的方法從中抽

10、取7人,因此應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人. (2)①隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X=k)=C4k·C33-kC73(k=0,1,2,3). 所以,隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 隨機變量X的數學期望E(X)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127. ②設事件B為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,睡眠不足的員工有2人”;事件C為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則A=B+C,且B與C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),

11、P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B+C)=P(X=2)+P(X=1)=67.所以,事件A發(fā)生的概率為67. 5.一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現一次音樂,要么不出現音樂;每盤游戲擊鼓三次后,出現一次音樂獲得10分,出現兩次音樂獲得20分,出現三次音樂獲得100分,沒有出現音樂則扣除200分(即獲得-200分).設每次擊鼓出現音樂的概率為12,且各次擊鼓出現音樂相互獨立. (1)設每盤游戲獲得的分數為X,求X的分布列. (2)玩三盤游戲,至少有一盤出現音樂的概率是多少? (3)玩過這款游戲的許多人都發(fā)現,若干盤游戲后,與最初的分數相比,分數沒有增加

12、反而減少了.請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因. 解:(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據題意,得 P(X=10)=C31×121×1-122=38, P(X=20)=C32×122×1-121=38, P(X=100)=C33×123×1-120=18, P(X=-200)=C30×120×1-123=18. 所以X的分布列為 X 10 20 100 -200 P 38 38 18 18 (2)設“第i盤游戲沒有出現音樂”為事件Ai(i=1,2,3), 則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18. 所以,“三

13、盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=511512. 因此,玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是511512. (3)X的數學期望為E(X)=10×38+20×38+100×18-200×18=-54. 這表明,獲得分數X的均值為負, 因此,多次游戲之后分數減少的可能性更大. 6.在某個春晚分會場,演員身穿獨特且輕薄的石墨烯發(fā)熱服,在寒氣逼人的零下20 ℃春晚現場表演了精彩的節(jié)目.石墨烯發(fā)熱服的制作:從石墨中分離出石墨烯,制成石墨烯發(fā)熱膜,再把石墨烯發(fā)熱膜鋪到衣服內. (1)從石墨分離石墨烯的一種方法是化學氣相沉積法,使石墨升華后附著

14、在材料上再結晶.現在有A材料、B材料供選擇,研究人員對附著在A材料上再結晶做了30次試驗,成功28次;對附著在B材料上再結晶做了30次試驗,成功20次.用2×2列聯表判斷:能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,認為試驗是否成功與材料A和材料B的選擇有關? A材料 B材料 成　功 不成功 (2)研究人員得到石墨烯后,再制作石墨烯發(fā)熱膜有四個環(huán)節(jié):①透明基底及UV膠層;②石墨烯層;③銀漿線路;④表面封裝層.前三個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)生產合格的概率均為12,每個環(huán)節(jié)不合格需要修復的費用均為200元;第四環(huán)節(jié)生產合格的概率為23,此環(huán)節(jié)不合格需要修復的費用為100元,問:一

15、次生產出來的石墨烯發(fā)熱膜成為合格品平均需要多少修復費用? 附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解:(1)列表 A材料 B材料 合計 成　功 28 20 48 不成功 2 10 12 合　計 30 30 60 K2的觀測值k=60×(28×10-2×20)230×30×48×

16、12≈6.7<7.879, 所以在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下,不能認為試驗是否成功與材料A和材料B的選擇有關. (2)設X為一次生產出石墨烯發(fā)熱膜為合格品所需的修復費用,則X的可能取值為0,100,200,300,400,500,600,700. ∵P(X=0)=123×23=112, P(X=100)=123×13=124, P(X=200)=C311-12×122×23=14, P(X=300)=C311-12×122×13=18, P(X=400)=C321-122×12×23=14, P(X=500)=C321-122×12×13=18, P(X=600)=1-123×23=112, P(X=700)=1-123×13=124, ∴E(X)=0×112+100×124+200×14+300×18+400×14+500×18+600×112+700×124=33313. 8