（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題17 任意角的三角函數（含解析）

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1、專題17 任意角的三角函數 一、【知識精講】 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．　　 終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式： 角α的弧度數公式 |α|＝(l表示弧長) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長公式 l＝|α|r

2、 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 有關角度與弧度的兩個注意點 (1)角度與弧度的換算的關鍵是π＝180°，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． (2)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度． 3．任意角的三角函數 (1)定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示．正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．

3、二、常用結論匯總——規(guī)律多一點 (1)一個口訣 三角函數值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函數定義的推廣 設點P(x，y)是角α終邊上任意一點且不與原點重合，r＝|OP|，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)象限角 (4)軸線角 二、【典例精練】 考點一　角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，則是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)在－720°～0°范圍內所有與45°終邊相同的角為________． 【答案】　(1)C　(2

4、) －675°或－315° 【解析】　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當k為偶數時，是第一象限角； 當k為奇數時，是第三象限角. (2)所有與45°終邊相同的角可表示為： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 從而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 【解法小結】　1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通

5、過對集合中的參數k賦值來求得所需的角. 2.若要確定一個絕對值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據α所在的象限予以判斷. 考點二　弧度制及其應用　 【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面積. 【解析】　由已知得α＝，R＝10， ∴S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2). 【解法小結】　1.應用弧度制解決問題的方法： (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度； (2)求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決. 2.求

6、扇形面積的關鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量. 考點三　三角函數的概念 【例3】 (1)(2018·全國Ⅰ卷)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上有兩點A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A. B. C. D.1 (2) 滿足cos α≤－的角α的集合為________. 【答案】　(1)B　(2)　 【解析】（1）由題意可知tan α＝＝b－a， 又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝， ∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，則|b－a|＝. 答案　B (2) 作直線x＝－交單位圓于C，

7、D兩點， 連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為. 【解法小結】　1.三角函數定義的應用 (1)直接利用三角函數的定義，找到給定角的終邊上一個點的坐標，及這點到原點的距離，確定這個角的三角函數值. (2)已知角的某一個三角函數值，可以通過三角函數的定義列出含參數的方程，求參數的值. 2.三角函數線的應用問題的求解思路 確定單位圓與角的終邊的交點，作出所需要的三角函數線，然后求解. 【思維升華】 1.在利用三角函數定義時，點P可取終邊上任一點，如有可能則取終邊與單位圓的交點.|OP|＝r一定是正值. 2.在解決簡單

8、的三角不等式時，利用單位圓及三角函數線是體現數學直觀想象核心素養(yǎng). 【易錯注意點】 1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角. 2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等. 3.已知三角函數值的符號確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標軸上的情況. 三、【名校新題】 1.(2019·石家莊模擬)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點的坐標為(sin 150°，cos 150°)，則α＝(　　) A．150° B．135° C．300° D．60° 【答案】C　 【解析】由sin 150°＝>0，c

9、os 150°＝－<0，可知角α終邊上一點的坐標為，故該點在第四象限，由三角函數的定義得sin α＝－，因為0°≤α<360°，所以角α為300°. 2. (2019·西安一中月考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，角α，β的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，若點A，B的坐標分別為和，則cos(α＋β)的值為(　　) A.－ B.－ C.0 D. 【答案】A 【解析】由三角函數的定義可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β＝－. 3.(20

10、19·石家莊模擬)已知點M在角θ終邊的反向延長線上，且|OM|＝2，則點M的坐標為(　　) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ) D.(2cos θ，－2sin θ) 【答案】C 【解析】　由題意知，M的坐標為(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 4.（2019安徽省示范高中高三測試）角θ的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊經過點P（4，y）,且sinθ=-35，則tanθ=（ ） A.-43 B.43

11、C.-34 D.34 【答案】C 【解析】因為角θ的終邊經過點P（4，y）,sinθ=-35，所以θ為第四象限角，所以cosθ=1-sin2θ=45,∴tanθ=sinθcosθ=-34.故選C. 5.（2018安徽合肥二模）在平面直角坐標系中，若角的終邊經過點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由誘導公式可得：，，所以，由三角函數的定義可得：，則.故選B. 6.（2019河北唐山一中模擬）已知角的終邊經過點P-8m,-6sin300，且cosα=-45，則m的值為（ ） A.-12

12、 B.12 C.-32 D.32 【答案】B 【解析】由題意得，點P到原點的距離r=64m2+9,∴cosα=--8m64m2+9=-45, ∴m>0,解得m=12 7.(2019·濰坊一模)若角α的終邊過點A(2，1)，則sin＝(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】A 【解析】　由三角函數定義，cos α＝＝， 則sin＝－cos α＝－. 8.（2018江西南昌一模）已知角的終邊經過點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三角函數的定義知， ，所以 .

13、故選A 9.（2019廣州模擬）點P的坐標為（2,0），射線OP順時針旋轉20100后與圓x2+y2=4相較于點Q，則點Q的坐標為（ ） A.-2,2 B.-3,1 C.-1,3 D.1,-3 【答案】B 【解析】順時針旋轉20100后，終邊所在位置是-2100，即1500，設Qx0,y0,則x0=2cos1500=-3，y0=2sin1500=1,所以Q-3,1 10.（2019荊州市高三八校第一次聯考）設函數，若角的終邊經過點，則的值為（ ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】， 所以． 11.

14、(2019·江蘇高郵模擬)在平面直角坐標系xOy中，60°角終邊上一點P的坐標為(1，m)，則實數m的值為________． 【答案】 【解析】∵60°角終邊上一點P的坐標為(1，m)，∴tan 60°＝，∵tan 60°＝，∴m＝. 12.(2019·許昌調研)設α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點，且cos α＝x，則tan α＝________. 【答案】－ 【解析】　因為α是第二象限角， 所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x＝， 解得x＝－3，所以tan α＝＝－. 13.已知角α的終邊經過點(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>

15、0，則實數a的取值范圍是________. 【答案】(－2，3] 【解析】　∵cos α≤0，sin α>0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上. ∴∴－20. (1)求角α的集合； (2)求的終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號. 【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負

16、半軸上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限， 其集合為. (2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z， 故kπ＋<0，cos <0， 所以tan sin cos 取正號； 當在第四象限時，tan <0， sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正號. 綜上，tan sin cos 取正號 16.(2019寧夏高三聯考)已知扇形的圓心角是α，半徑是R,弧長是l. （1）若α=600，R=10cm,求扇形的弧長l. （2）若扇形的周長是20cm,當扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？ （3）當α=π3，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積. 【解析】（1）因為α=600=π3，R=10cm,所以l=10×π3=10π3(cm). （2）由已知得，l+2R=20, 所以S=12lR=1220-2RR=10R-R2=-R-52+25. ∴當R=5時，S取得最大值，此時l=10, α=2. （3）設弓形面積為S1，由題意知l=2π3cm,∴S1=12×2π3×2-12×22×sinπ3=2π3-3cm2. 9