（山東專用）2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題17 任意角的三角函數(shù)（含解析）

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1、專題17 任意角的三角函數(shù) 一、【知識(shí)精講】 1．角的概念的推廣 (1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形． (2)分類 (3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．　　 終邊相同的角不一定相等，但相等的角其終邊一定相同． 2．弧度制的定義和公式 (1)定義：把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad. (2)公式： 角α的弧度數(shù)公式 |α|＝(l表示弧長) 角度與弧度的換算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧長公式 l＝|α|r

2、 扇形面積公式 S＝lr＝|α|r2 有關(guān)角度與弧度的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)角度與弧度的換算的關(guān)鍵是π＝180°，在同一個(gè)式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用． (2)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度． 3．任意角的三角函數(shù) (1)定義：設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0)．如圖中有向線段MP，OM，AT分別叫做角α的正弦線、余弦線和正切線．

3、二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點(diǎn) (1)一個(gè)口訣 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函數(shù)定義的推廣 設(shè)點(diǎn)P(x，y)是角α終邊上任意一點(diǎn)且不與原點(diǎn)重合，r＝|OP|，則sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． (3)象限角 (4)軸線角 二、【典例精練】 考點(diǎn)一　角的概念及其集合表示 【例1】 (1)若角α是第二象限角，則是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 (2)在－720°～0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為________． 【答案】　(1)C　(2

4、) －675°或－315° 【解析】　(1)∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z. 當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，是第一象限角； 當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，是第三象限角. (2)所有與45°終邊相同的角可表示為： β＝45°＋k×360°(k∈Z)， 則令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)， 得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)， 解得－≤k<－(k∈Z)， 從而k＝－2或k＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 【解法小結(jié)】　1.利用終邊相同的角的集合求適合某些條件的角：先寫出與這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合，然后通

5、過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需的角. 2.若要確定一個(gè)絕對(duì)值較大的角所在的象限，一般是先將角化為2kπ＋α(0≤α<2π)(k∈Z)的形式，然后再根據(jù)α所在的象限予以判斷. 考點(diǎn)二　弧度制及其應(yīng)用　 【例2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為R，弧長為l.若α＝，R＝10 cm，求扇形的面積. 【解析】　由已知得α＝，R＝10， ∴S扇形＝α·R2＝××102＝(cm2). 【解法小結(jié)】　1.應(yīng)用弧度制解決問題的方法： (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時(shí)，要注意角的單位必須是弧度； (2)求扇形面積最大值的問題時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決. 2.求

6、扇形面積的關(guān)鍵是求扇形的圓心角、半徑、弧長三個(gè)量中的任意兩個(gè)量. 考點(diǎn)三　三角函數(shù)的概念 【例3】 (1)(2018·全國Ⅰ卷)已知角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有兩點(diǎn)A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，則|a－b|＝(　　) A. B. C. D.1 (2) 滿足cos α≤－的角α的集合為________. 【答案】　(1)B　(2)　 【解析】（1）由題意可知tan α＝＝b－a， 又cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝， ∴5(b－a)2＝1，得(b－a)2＝，則|b－a|＝. 答案　B (2) 作直線x＝－交單位圓于C，

7、D兩點(diǎn)， 連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為. 【解法小結(jié)】　1.三角函數(shù)定義的應(yīng)用 (1)直接利用三角函數(shù)的定義，找到給定角的終邊上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，及這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，確定這個(gè)角的三角函數(shù)值. (2)已知角的某一個(gè)三角函數(shù)值，可以通過三角函數(shù)的定義列出含參數(shù)的方程，求參數(shù)的值. 2.三角函數(shù)線的應(yīng)用問題的求解思路 確定單位圓與角的終邊的交點(diǎn)，作出所需要的三角函數(shù)線，然后求解. 【思維升華】 1.在利用三角函數(shù)定義時(shí)，點(diǎn)P可取終邊上任一點(diǎn)，如有可能則取終邊與單位圓的交點(diǎn).|OP|＝r一定是正值. 2.在解決簡單

8、的三角不等式時(shí)，利用單位圓及三角函數(shù)線是體現(xiàn)數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng). 【易錯(cuò)注意點(diǎn)】 1.注意易混概念的區(qū)別：象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角.第一類是象限角，第二、第三類是區(qū)間角. 2.相等的角終邊相同，但終邊相同的角不一定相等. 3.已知三角函數(shù)值的符號(hào)確定角的終邊位置不要遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況. 三、【名校新題】 1.(2019·石家莊模擬)已知角α(0°≤α<360°)終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin 150°，cos 150°)，則α＝(　　) A．150° B．135° C．300° D．60° 【答案】C　 【解析】由sin 150°＝>0，c

9、os 150°＝－<0，可知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，故該點(diǎn)在第四象限，由三角函數(shù)的定義得sin α＝－，因?yàn)?°≤α<360°，所以角α為300°. 2. (2019·西安一中月考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α，β的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為和，則cos(α＋β)的值為(　　) A.－ B.－ C.0 D. 【答案】A 【解析】由三角函數(shù)的定義可得cos α＝，sin α＝，cos β＝－，sin β＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcosβ－sin αsin β＝－. 3.(20

10、19·石家莊模擬)已知點(diǎn)M在角θ終邊的反向延長線上，且|OM|＝2，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(　　) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ) D.(2cos θ，－2sin θ) 【答案】C 【解析】　由題意知，M的坐標(biāo)為(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 4.（2019安徽省示范高中高三測(cè)試）角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4，y）,且sinθ=-35，則tanθ=（ ） A.-43 B.43

11、C.-34 D.34 【答案】C 【解析】因?yàn)榻铅鹊慕K邊經(jīng)過點(diǎn)P（4，y）,sinθ=-35，所以θ為第四象限角，所以cosθ=1-sin2θ=45,∴tanθ=sinθcosθ=-34.故選C. 5.（2018安徽合肥二模）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由誘導(dǎo)公式可得：，，所以，由三角函數(shù)的定義可得：，則.故選B. 6.（2019河北唐山一中模擬）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P-8m,-6sin300，且cosα=-45，則m的值為（ ） A.-12

12、 B.12 C.-32 D.32 【答案】B 【解析】由題意得，點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r=64m2+9,∴cosα=--8m64m2+9=-45, ∴m>0,解得m=12 7.(2019·濰坊一模)若角α的終邊過點(diǎn)A(2，1)，則sin＝(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】A 【解析】　由三角函數(shù)定義，cos α＝＝， 則sin＝－cos α＝－. 8.（2018江西南昌一模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由三角函數(shù)的定義知， ，所以 .

13、故選A 9.（2019廣州模擬）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0），射線OP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20100后與圓x2+y2=4相較于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（ ） A.-2,2 B.-3,1 C.-1,3 D.1,-3 【答案】B 【解析】順時(shí)針旋轉(zhuǎn)20100后，終邊所在位置是-2100，即1500，設(shè)Qx0,y0,則x0=2cos1500=-3，y0=2sin1500=1,所以Q-3,1 10.（2019荊州市高三八校第一次聯(lián)考）設(shè)函數(shù)，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（ ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【解析】， 所以． 11.

14、(2019·江蘇高郵模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，m)，則實(shí)數(shù)m的值為________． 【答案】 【解析】∵60°角終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，m)，∴tan 60°＝，∵tan 60°＝，∴m＝. 12.(2019·許昌調(diào)研)設(shè)α是第二象限角，P(x，4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cos α＝x，則tan α＝________. 【答案】－ 【解析】　因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵? 所以cos α＝x<0，即x<0. 又cos α＝x＝， 解得x＝－3，所以tan α＝＝－. 13.已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>

15、0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 【答案】(－2，3] 【解析】　∵cos α≤0，sin α>0， ∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上. ∴∴－20. (1)求角α的集合； (2)求的終邊所在的象限； (3)試判斷tan sin cos 的符號(hào). 【解析】(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y軸的負(fù)

16、半軸上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限， 其集合為. (2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z， 故kπ＋<0，cos <0， 所以tan sin cos 取正號(hào)； 當(dāng)在第四象限時(shí)，tan <0， sin <0，cos >0， 所以tan sin cos 也取正號(hào). 綜上，tan sin cos 取正號(hào) 16.(2019寧夏高三聯(lián)考)已知扇形的圓心角是α，半徑是R,弧長是l. （1）若α=600，R=10cm,求扇形的弧長l. （2）若扇形的周長是20cm,當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ （3）當(dāng)α=π3，R=2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積. 【解析】（1）因?yàn)棣?600=π3，R=10cm,所以l=10×π3=10π3(cm). （2）由已知得，l+2R=20, 所以S=12lR=1220-2RR=10R-R2=-R-52+25. ∴當(dāng)R=5時(shí)，S取得最大值，此時(shí)l=10, α=2. （3）設(shè)弓形面積為S1，由題意知l=2π3cm,∴S1=12×2π3×2-12×22×sinπ3=2π3-3cm2. 9