（山東專用）2020年高考數學一輪復習 專題18 同角三角函數基本關系式和誘導公式（含解析）

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1、專題18 同角三角函數基本關系式和誘導公式 一、【知識精講】 1．同角三角函數的基本關系 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商數關系：tan α＝. 平方關系對任意角都成立，而商數關系中α≠kπ＋(k∈Z)． 2．誘導公式 一 二 三 四 五 六 2kπ＋ α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α tan α tan α －tan α －tan_

2、α 誘導公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限.“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇數還是偶數.“變”與“不變”是指函數的名稱的變化，若k是奇數，則正、余弦互變；若k為偶數，則函數名稱不變.“符號看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，將α看成銳角時，“k·＋α(k∈Z)”的終邊所在的象限. 二、常用結論匯總——規(guī)律多一點 同角三角函數的基本關系式的幾種變形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos

3、α. (2)sin α＝tan αcos α. 二、【典例精練】 考點一　同角三角函數基本關系式的應用 【例1】（1）已知sin αcos α＝，且<α<，則cos α－sin α＝(　　) A.－ B. C.－ D. 【答案】B 【解析】∵<α<， ∴cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝， ∴cos α－sin α＝. （2） (2018·全國Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________.

4、 【答案】－ 【解析】由sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 兩式平方相加，得2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1， 整理得sin(α＋β)＝－. 【解法小結】　1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實現角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以實現角α的弦切互化. 2.應用公式時注意方程思想的應用：對于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α這三個式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二. 3.注意公式逆用及變形應用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α

5、，cos2α＝1－sin2α. 考點二　誘導公式的應用 例2. (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若sin α＝，則sin β＝________. 【答案】 【解析】α與β的終邊關于y軸對稱，則α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z. ∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝. (2)設f(α)＝(1＋2sin α≠0)，則f＝________. 【答案】 【解析】∵f(α)＝ ＝＝＝， ∴f＝＝＝. 【解法小結】　1.誘導公式的兩個應用 (1)求值：負化正，大化小，化到銳

6、角為終了. (2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了. 2.含2π整數倍的誘導公式的應用 由終邊相同的角的關系可知，在計算含有2π的整數倍的三角函數式中可直接將2π的整數倍去掉后再進行運算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α. 考點三　同角三角函數基本關系式與誘導公式的活用 例3.（1）已知α為銳角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，則sin α＝(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由已知得 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1

7、， 化簡得sin2α＝，則sin α＝(α為銳角). （2）(2016·全國Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，則tan＝________. 【答案】－ 【解析】由題意，得cos＝，∴tan＝. ∴tan＝tan＝－＝－. 【解法小結】　1.利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形. 2.(1)注意角的范圍對三角函數值符號的影響，開方時先判斷三角函數值的符號； (2)熟記一些常見互補的角、互余的角，如－α與＋α互余等. 三、【名校新題】 1.(2019·平頂山聯(lián)考)已知＝5，則cos2α＋sin 2α＝(　　) A

8、. B.－ C.－3 D.3 【答案】A 【解析】由＝5得＝5，可得tan α＝2， 則cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝＝＝. 2.（2018黑龍江齊齊哈爾三模）在平面直角坐標系中，角與角都以為始邊，它們的終邊關于軸對稱.若，則 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由角與角終邊關于軸對稱知Z，所以 .故選A. 3.(2019·衡水中學調研)若cos＝，則cos(π－2α)＝(　　) A. B. C.－ D.－ 【答案】D 【解析】由cos＝，得sin α＝. ∴cos(π－2α)＝－cos

9、2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 4.（2018河南八市下學期第一次測評）已知，則（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】，故選A. 5.(2019·菏澤聯(lián)考)已知α∈，sin＝，則tan(π＋2α)＝(　　) A. B.± C.± D. 【答案】A 【解析】∵α∈，sin＝， ∴cos α＝，sin α＝－，tan α＝＝－2. ∴tan(π＋2α)＝tan 2α＝＝＝. 6.（2018安徽蕪湖一模）若，則（） A. B. C.

10、 D. 【答案】C 【解析】，所以 ，兩邊平方得，解得或（舍去）. 7.(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知α∈(0，π)，且cos α＝－，則sin·tan α＝(　　) A.－ B.－ C. D. 【答案】C 【解析】∵α∈(0，π)，且cos α＝－，∴sin α＝， 因此sin·tan α＝cos α·＝sin α＝. 8.(2019·衡水模擬)已知直線2x－y－1＝0的傾斜角為α，則sin 2α－2cos2α＝(　　) A. B.－ C.－ D.－ 【答案】A 【解析】　由題意知tan α＝2， ∴sin 2α－2cos2α＝＝＝. 9.(2019

11、·淮南十校聯(lián)考)已知sin＝，則cos的值為(　　) A．－ B. C. D．－ 【答案】A　 【解析】∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－. 10.(2019·邯鄲一模)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，且α，β∈，則＝________. 【答案】2 【解析】由條件，得sin(α＋β)＝3sin(α－β)， ∴sin αcos β＝2cos αsin β，則tan α＝2tan β， 因此＝2. 11.(2019·武昌調研)若tan α＝cos α，則＋cos4α＝________. 【答案】2 【解析】tan α＝cos α?＝cos α?s

12、in α＝cos2α，故＋cos4α＝＋cos4α＝sin α＋＋cos4α＝sin α＋＋sin2α＝sin2α＋sin α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2. 12.（2019年荊州市八校高三第一次聯(lián)考）公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現了黃金分割值約為0．618，這一數值也可表示為． 若，則． 【答案】 【解析】， 所以． 13.（湖北省重點高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學期期中考試）已知，則 ． 【答案】 【解析】 14.（2019年合肥二模）若，則_____________. 【答案】-49 【解析】由已知

13、得，cosα=，∴cos2α=2×132-1=-79，∴-79+13=-49 15．（江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考）若 ， 則_____________． 【答案】 【解析】由cosα+π4=13，得sin2α=-cos2α+π4=-2cos2α+π4-1=-29-1=79, 因為0<α<π2，cosα=cosα+π4-π4=2213+223=2+46，∴cos2α=2×2+462-1=429， 由sinβ2+π4=33，得cosβ=sin2β2+π4=2sinβ2+π4cosβ2+π4=2×33×63=223， 因-π2<β<0，∴sinβ=-1-2232=-13，∴cos2α+β=cos2αcosβ-sin2αsinβ=429×223-79×-13=2327. 16.（2019棗莊模擬）已知cosπ6-θ=αα≤1，則cos5π6+θ+sin2π3-θ=_____________ 【答案】0 【解析】cos5π6+θ=-cosπ6-θ=- α，sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ=cosπ6-θ=α，所以原式=0 8