(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式(含解析)
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(山東專用)2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式(含解析)
專題18 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式一、【知識(shí)精講】1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2cos21;(2)商數(shù)關(guān)系:tan . 平方關(guān)系對(duì)任意角都成立,而商數(shù)關(guān)系中k(kZ)2誘導(dǎo)公式一二三四五六2k(kZ)sin sin sin sin cos cos_cos cos cos cos_sin sin tan tan tan tan_誘導(dǎo)公式可簡記為:奇變偶不變,符號(hào)看象限.“奇”“偶”指的是“k·(kZ)”中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若k是奇數(shù),則正、余弦互變;若k為偶數(shù),則函數(shù)名稱不變.“符號(hào)看象限”指的是在“k·(kZ)”中,將看成銳角時(shí),“k·(kZ)”的終邊所在的象限.二、常用結(jié)論匯總規(guī)律多一點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的幾種變形(1)sin21cos2(1cos )(1cos );cos21sin2(1sin )(1sin );(sin ±cos )21±2sin cos .(2)sin tan cos .二、【典例精練】考點(diǎn)一同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用【例1】(1)已知sin cos ,且<<,則cos sin ()A.B.C.D.【答案】B【解析】<<,cos <0,sin <0且cos >sin ,cos sin >0.又(cos sin )212sin cos 12×,cos sin .(2) (2018·全國卷)已知sin cos 1,cos sin 0,則sin()_.【答案】【解析】由sin cos 1,cos sin 0,兩式平方相加,得22sin cos 2cos sin 1,整理得sin().【解法小結(jié)】1.利用sin2cos21可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化,利用tan 可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.2.應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用:對(duì)于sin cos ,sin cos ,sin cos 這三個(gè)式子,利用(sin ±cos )21±2sin cos ,可以知一求二.3.注意公式逆用及變形應(yīng)用:1sin2cos2,sin21cos2,cos21sin2.考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用例2. (1)(2017·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱.若sin ,則sin _.【答案】【解析】與的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱,則2k,kZ,2k,kZ.sin sin(2k)sin .(2)設(shè)f()(12sin 0),則f_.【答案】【解析】f(),f.【解法小結(jié)】1.誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值:負(fù)化正,大化小,化到銳角為終了.(2)化簡:統(tǒng)一角,統(tǒng)一名,同角名少為終了.2.含2整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知,在計(jì)算含有2的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算,如cos(5)cos()cos .考點(diǎn)三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式的活用例3.(1)已知為銳角,且2tan()3cos50,tan()6sin()10,則sin ()A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知得消去sin ,得tan 3,sin 3cos ,代入sin2cos21,化簡得sin2,則sin (為銳角).(2)(2016·全國卷)已知是第四象限角,且sin,則tan_.【答案】【解析】由題意,得cos,tan.tantan.【解法小結(jié)】1.利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時(shí),關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活使用公式進(jìn)行變形.2.(1)注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響,開方時(shí)先判斷三角函數(shù)值的符號(hào);(2)熟記一些常見互補(bǔ)的角、互余的角,如與互余等.三、【名校新題】1.(2019·平頂山聯(lián)考)已知5,則cos2sin 2()A.B.C.3 D.3【答案】A【解析】由5得5,可得tan 2,則cos2sin 2cos2sin cos .2.(2018黑龍江齊齊哈爾三模)在平面直角坐標(biāo)系中,角與角都以為始邊,它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若,則 ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由角與角終邊關(guān)于軸對(duì)稱知Z,所以.故選A.3.(2019·衡水中學(xué)調(diào)研)若cos,則cos(2)()A.B.C.D.【答案】D【解析】由cos,得sin .cos(2)cos 2(12sin2)2sin212×1.4.(2018河南八市下學(xué)期第一次測評(píng))已知,則( )A. B. C. 5 D. 6【答案】A【解析】,故選A.5.(2019·菏澤聯(lián)考)已知,sin,則tan(2)()A.B.±C.±D.【答案】A【解析】,sin,cos ,sin ,tan 2.tan(2)tan 2.6.(2018安徽蕪湖一模)若,則()A. B. C. D. 【答案】C【解析】,所以,兩邊平方得,解得或(舍去).7.(2019·湖北七州市聯(lián)考)已知(0,),且cos ,則sin·tan ()A.B.C.D.【答案】C【解析】(0,),且cos ,sin ,因此sin·tan cos ·sin .8.(2019·衡水模擬)已知直線2xy10的傾斜角為,則sin 22cos2()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意知tan 2,sin 22cos2.9.(2019·淮南十校聯(lián)考)已知sin,則cos的值為()A B.C. D【答案】A【解析】sin,coscossin.10.(2019·邯鄲一模)若sin()3sin(),且,則_.【答案】2【解析】由條件,得sin()3sin(),sin cos 2cos sin ,則tan 2tan ,因此2.11.(2019·武昌調(diào)研)若tan cos ,則cos4_.【答案】2【解析】tan cos cos sin cos2,故cos4cos4sin cos4sin sin2sin2sin 1sin2cos21112.12.(2019年荊州市八校高三第一次聯(lián)考)公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派通過研究正五邊形和正十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0618,這一數(shù)值也可表示為 若,則【答案】【解析】,所以13.(湖北省重點(diǎn)高中聯(lián)考協(xié)作體2019屆高三上學(xué)期期中考試)已知,則【答案】【解析】14.(2019年合肥二模)若,則_.【答案】-49【解析】由已知得,cos=,cos2=2×132-1=-79,-79+13=-4915(江西省紅色七校2019屆高三第一次聯(lián)考)若,則_ 【答案】【解析】由cos+4=13,得sin2=-cos2+4=-2cos2+4-1=-29-1=79,因?yàn)?<<2,cos=cos+4-4=2213+223=2+46,cos2=2×2+462-1=429,由sin2+4=33,得cos=sin22+4=2sin2+4cos2+4=2×33×63=223,因-2<<0,sin=-1-2232=-13,cos2+=cos2cos-sin2sin=429×223-79×-13=2327.16.(2019棗莊模擬)已知cos6-=1,則cos56+sin23-=_【答案】0【解析】cos56+=-cos6-=- ,sin23-=sin2+6-=cos6-=,所以原式=08