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1、有限元分析的簡介
鄒麒
（南華大學機械工程學院機械設計制造及其自動化08級 4410213）
摘要：有限元法的實質是將復雜的持續(xù)體劃分為有限多種簡樸的單元體,化無限自由度問題為有限自由度問題,將持續(xù)場函數的(偏)微分方程的求解問題轉化成有限個參數的代數方程組的求解問題。
The finite element method is the essence of the complex of continuous body of divided into limited DuoGe simple units body, the infinite freedom problems
2、for limited mobility problem, a field of function (partial) solution of the differential equation transformed into a parameter algebraic equations, the solution of the problem
核心詞：有限元 來源 應用 發(fā)展
1965年“有限元”這個名詞第一次浮現，到今天有限元在工程上得到廣泛應用，經歷了三十近年的發(fā)展歷史，理論和算法都已經日趨完善。有限元法的實質是將復雜的持續(xù)體劃分為有限多種簡樸的單元體,化無限自
3、由度問題為有限自由度問題,將持續(xù)場函數的(偏)微分方程的求解問題轉化成有限個參數的代數方程組的求解問題。有限元的核心思想是機構的離散化，就是將實際構造假想地離散為有限數目的規(guī)則單元組合體，實際構造的物理性能可以通過對離散體進行分析，得出滿足工程精度的近似成果來替代對實際構造的分析，這樣可以解決諸多實際工程需要解決而理論分析又無法解決的復雜問題。
有限元分析是隨著計算機技術的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現代數值分析措施。它是50年代一方面在持續(xù)力學領域-飛機構造靜、動態(tài)特性分析中應用的一種非常有效的數值分析措施，隨后不久就廣泛的應用于熱傳導、電磁場、流體力學等持續(xù)性問題求解。
一、有限
4、元的基本思想
有限元法的基本思想是將持續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個、且按一定方式互相聯結在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯結方式進行組合，且單元自身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。一般有限元法都遵循如下基本環(huán)節(jié):
物體的離散化:離散化是有限元法的基本，這就是根據構造的實際狀況，選擇合適的單元形狀、類型、數目、大小以及排列方式，將擬分析的物體假想地提成有限個分區(qū)或分塊的集合體。假設這些單元在處在它們邊界上的若干個離散節(jié)點處互相連接，這些節(jié)點的位移將是該問題的基本未知參數。
挑選形函數或插值函數:選擇一組函數，一般是多項式，最簡樸的狀況是位移的線性函數。
5、這些函數應當滿足一定條件，該條件就是平衡方程，它一般是通過變分原理得到的，可由每個“有限單元”的節(jié)點位移唯一地擬定該單元中的位移狀態(tài)。
擬定單元的性質:擬定單元性質就是對單元的力學性質進行描述。擬定了單元位移后，可以很以便地運用幾何方程和物理方程求得單元的應變和應力。一般用單元的剛度矩陣來描述單元的性質，擬定單元節(jié)點力與位移的關系。
構成物體的整體方程組:構成物體的整體方程組就是由已知的單元剛度矩陣和單元等效節(jié)點載荷列陣集成表達整個物體性質的構造剛度矩陣和構造載荷列陣，從而建立起整個構造己知量-------總節(jié)點載荷與整個物體未知量-------總節(jié)點位移的關系。
解有限元方程和輔助計
6、算:引入強制邊界條件，解方程得到節(jié)點位移。一般整體方程組往往數目龐大，也許是幾十個、幾百個，以至于成千上萬個。對于這些方程組需要一定的計算數學措施解出其未知量。然后，根據實際問題進行必要的輔助計算。
完整的有限元的求解過程如下圖所示：
二：有限元的數學措施
從更廣泛的觀點看，有限元法的數學基本是變分原理。根據變分原理發(fā)展而來的有限元法，在求解微分方程方面得到了廣泛的應用。
變分原理是體現物理基本定律的一種普遍形式，其體現課概括如下：給出一種依賴物理狀態(tài)的變量，同步給出的容許函數集，即一切也許的物理狀態(tài)，則真是的狀態(tài)是中使達到極小值的函數。
解釋如下：一方面，有
7、一組微分方程（對實際問題的控制方程），加上一組邊界條件（特定、限定），再根據最?。O?。┠芰吭砬蠼鈱嶋H問題。在構造力學和應力分析中，變分原理用得最多。
談到變分，不能不談到函數。函數的自變量是數，而泛函的自變量是函數，因此說泛函數就是函數的函數。
例如，公式中，是函數，又是的函數，因此稱為泛函。這里為一待求函數，它必須，滿足為最小值的條件。
所謂變分就是對泛函求極值，考慮擬定函數最小值問題：
這里和值已經給定，并且，相稱求函數滿足邊界條件、并使達到極值的條件。
函數取極值必須滿足一定條件，即已知，那么為函數取極值的必要條件。同樣，對泛函數取極值也有相應的必要條件：（為
8、變分專用符號）。泛函數取極值的必要條件經推導可得到一種歐拉方程【泛函取極值（非充足條件）時必須滿足歐拉方程】。
已知，歐拉方程為
或
歐拉方程是一種微分方程，為求解這個微分方程，可得無窮多種極值曲線。當把邊界條件代入，就可得到唯一的極值曲線。
由于，因此中全導數的展開式為：
歐拉方程的最后形式為：
從上面已看出，應用變分法為求解過程，一方面是從泛函求極值出發(fā)，產生與變分代表同一物理過程的微分方程（歐拉方程）--------必要條件，然后求解微分方程，得到滿足變分的極值曲線。
一般來說，函數求極值得到的是一種數，而泛函求極值得到的是一種函數或者是微分方程加邊界條件。
泛函求極值計算可用微分方程的求解來替代，反之，微分方程的求解也可用泛函求極值計算來替代。
變分原理是用來求解微分方程，一方面出目前彈性力學領域中，由于彈性構件的平衡狀態(tài)具有最小的總位能，因此求解彈性力學的微分方程就很自然的轉化為一種變分問題。
有限元法 鄒麒
