割補(bǔ)法求幾何體體積(精)

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1、割補(bǔ)法求幾何體體積 奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級(jí)中學(xué) 周葉青 一、教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)目標(biāo) （1）對(duì)割補(bǔ)法在求幾何體體積之中的作用有一定的了解和認(rèn)識(shí) （2）能對(duì)幾何體進(jìn)行簡(jiǎn)單的拼補(bǔ)或切割以達(dá)到求幾何體體積的目的 （二）能力目標(biāo) 學(xué)生在由教師以課件形式提供的問題情境及解決問題的提示、幫助下，通過獨(dú)立思考，小組討論等方法，自主探索問題的答案，以提高學(xué)生的空間想象力及自主學(xué)習(xí)，協(xié)作交流的能力；通過學(xué)生自己總結(jié)解題思路及解題要點(diǎn)，可提高他們的分析問題、迅速構(gòu)建問題框架、及時(shí)提出解題方案、并準(zhǔn)確用語(yǔ)言表達(dá)等綜合能力。 （三）情感目標(biāo) 情感是教學(xué)的潤(rùn)滑劑，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主探索，加強(qiáng)同學(xué)之間的交流

2、。使他們真正體驗(yàn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的愉悅，體驗(yàn)到成功的快樂，促使他們樂學(xué)，會(huì)學(xué)，從而達(dá)到學(xué)會(huì)的目的。 二、教學(xué)重難點(diǎn) l 重點(diǎn)：割補(bǔ)法 [對(duì)幾何體進(jìn)行拼補(bǔ)與切割，是提高學(xué)生空間想象力的一種很好的練習(xí)方法] l 難點(diǎn)：靈活割補(bǔ)，簡(jiǎn)化解題 [對(duì)幾何體進(jìn)行拼補(bǔ)或切割的最終目的是為了“轉(zhuǎn)”，而如何根據(jù)已知條件，恰當(dāng)?shù)貙?duì)幾何體進(jìn)行拼補(bǔ)或切割是初學(xué)者難以準(zhǔn)確把握的突破難點(diǎn)的方法： (1)動(dòng)畫演示切割或拼補(bǔ)的過程; (2)一題多解,反復(fù)進(jìn)行割補(bǔ)的訓(xùn)練,了解割或補(bǔ)的本質(zhì); 三、教學(xué)思想與教學(xué)方法 1．教學(xué)思想 建構(gòu)主義理論強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，認(rèn)為學(xué)生是認(rèn)知的主體，是知識(shí)意義的構(gòu)建

3、者。而合理恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，為學(xué)生的創(chuàng)造，提供一種“自主發(fā)現(xiàn)，自主探索”的環(huán)境，正與這種理論主張想吻合。 2．教學(xué)方法 在教學(xué)過程中，由教師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生通過自己的思考，同學(xué)間的討論，或在多媒體課件的幫助下，找出解決問題的辦法。最終得出結(jié)論。然后，由教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，提煉。 四、教學(xué)過程 （一）復(fù)習(xí)提問 （1）讓學(xué)生根據(jù)課件，回顧三棱錐體積公式的推導(dǎo)過程； （2）提問該公式推導(dǎo)過程中的主要數(shù)學(xué)思想； （二）導(dǎo)入課題 上節(jié)課，我們通過把一個(gè)三棱錐先補(bǔ)成三棱柱，再把三棱柱分割成三個(gè)等底等高的三棱錐的方法，把求棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求棱柱的體積，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)幾何問題中“割、補(bǔ)

4、、轉(zhuǎn)”的思想方法。轉(zhuǎn)的前提是能對(duì)幾何體進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆指罨蚱囱a(bǔ)，因此，在利用割補(bǔ)轉(zhuǎn)的思想解決實(shí)際問題時(shí)，分割或拼補(bǔ)占有重要的地位。本節(jié)課，我們將重點(diǎn)研究如何對(duì)幾何體進(jìn)行分割和拼補(bǔ)，進(jìn)而達(dá)到求體積的目的。（幻燈片打出課題） 教師提供素材，學(xué)生探討研究 （三）教學(xué)內(nèi)容 練習(xí)一 題1：已知三棱柱ABC-A1B1C1的一個(gè)側(cè)面A1ABB1的面積為S，這個(gè)側(cè)面與它所對(duì)棱CC1的距離為a，求這個(gè)棱柱的體積。 A B C A1 B1 C1 P O . . 學(xué)生討論，求解。教師巡視（提示幫助 ）。 教師提問、引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)。 [此題中，拼補(bǔ)和切割都能達(dá)到求幾何體體積的目的，顯然

5、，方法一比方法二簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，而方法二，對(duì)我們拓展空間想象力有幫助。因此，從不同的 角度分析問題可開闊思路、發(fā)散思維，有利于提高我們分析問題和解決問題的能力。] 思考：除動(dòng)畫提示的拼補(bǔ)，切割方法外，還有其它方法嗎？ [引導(dǎo)學(xué)生采用不同的方法進(jìn)行割補(bǔ)，使他們體會(huì)割補(bǔ)是如何為轉(zhuǎn)作準(zhǔn)備的] 幻燈片演示學(xué)生的方法。 題2：已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,求三棱錐B1—AD1C的體積。 A B C D A1 B1 C1 D1 [此題不用切割的方法一樣可以達(dá)到求解的目的。部分學(xué)生會(huì)給出先求高，再求底面積的計(jì)算法。教師應(yīng)先給與鼓勵(lì)，再引導(dǎo)、啟發(fā)他們思考：是否有

6、更簡(jiǎn)單的方法可簡(jiǎn)化計(jì)算過程？] 動(dòng)畫給予幫助 題3： 如圖，長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，BB1=3，求三棱錐B1—AD1C的體積。（學(xué)生求解，總結(jié)。教師引導(dǎo)） A B C D A1 B1 C1 D1 [延續(xù)題2思路，本題的分析一帶而過。由學(xué)生給出計(jì)算結(jié)果。教師點(diǎn)撥學(xué)生理解拼補(bǔ)的重要性] 題4：四面體S--ABC中，三組對(duì)棱分別相等，且依次為2 5，13，5求該四面體的體積。 B S A C [此題的給出會(huì)進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)探討的積極性。此時(shí)，教師可加入討論，了解學(xué)生的思考過程] 教師啟發(fā)，由學(xué)生給出解題方法，并計(jì)算出結(jié)果。

7、 思考：（1）是否三組對(duì)棱相等的三棱錐都可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體？ （2）滿足什么條件可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體？ （3）三組對(duì)棱相等的 三棱錐可以補(bǔ)成什么圖形？ （四）課堂小結(jié) 1有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法直接運(yùn)用 2條件中的已知元素彼此離散 通 過 1斜棱柱割補(bǔ)成直棱柱； 2三棱柱補(bǔ)成平行六面體； 3三棱錐補(bǔ)成四棱錐或三棱柱或平行六面體； 4多面體切割成錐體特別是三棱錐。 達(dá) 到 1未知的轉(zhuǎn)化為已知; 2陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉; 3復(fù)雜的轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單; 4離散的轉(zhuǎn)化為集中; （五）把課件還給學(xué)生，給學(xué)生五分鐘時(shí)間，理解消化本節(jié)課內(nèi)容，做練習(xí)；對(duì)未掌握者，

8、教師單獨(dú)輔導(dǎo) 練習(xí)二 題1： 如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，EF//AB，EF=3/2，EF與面AC的距離為2，求該多面體的體積。 A B C D E F 題2： 設(shè)直三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P，Q分別是棱AA1和CC1上的點(diǎn)，且AP=1/3AA1，CQ=1/3CC1，求四棱柱B-APQC的體積。 B1 C11 A B C A1 P Q 題3：三棱錐P--ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=a ，ED⊥PA ，ED⊥BC ,ED=h, 求三棱錐的體積。 P A B C E D