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1、習(xí)題八8-1 電量都是的三個(gè)點(diǎn)電荷，分別放在正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)試問：(1)在這三角形的中心放一個(gè)什么樣的電荷，就可以使這四個(gè)電荷都達(dá)到平衡(即每個(gè)電荷受其他三個(gè)電荷的庫(kù)侖力之和都為零)?(2)這種平衡與三角形的邊長(zhǎng)有無關(guān)系?解: 如題8-1圖示(1) 以處點(diǎn)電荷為研究對(duì)象，由力平衡知：為負(fù)電荷解得 (2)與三角形邊長(zhǎng)無關(guān)題8-1圖 題8-2圖8-2 兩小球的質(zhì)量都是，都用長(zhǎng)為的細(xì)繩掛在同一點(diǎn)，它們帶有相同電量，靜止時(shí)兩線夾角為2,如題8-2圖所示設(shè)小球的半徑和線的質(zhì)量都可以忽略不計(jì)，求每個(gè)小球所帶的電量解: 如題8-2圖示解得 8-3 根據(jù)點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式，當(dāng)被考察的場(chǎng)點(diǎn)距源點(diǎn)電荷很近(r0)時(shí)
2、，則場(chǎng)強(qiáng)，這是沒有物理意義的，對(duì)此應(yīng)如何理解?解: 僅對(duì)點(diǎn)電荷成立，當(dāng)時(shí)，帶電體不能再視為點(diǎn)電荷，再用上式求場(chǎng)強(qiáng)是錯(cuò)誤的，實(shí)際帶電體有一定形狀大小，考慮電荷在帶電體上的分布求出的場(chǎng)強(qiáng)不會(huì)是無限大8-4 在真空中有，兩平行板，相對(duì)距離為，板面積為，其帶電量分別為+和-則這兩板之間有相互作用力，有人說=,又有人說，因?yàn)?,，所以=試問這兩種說法對(duì)嗎?為什么? 到底應(yīng)等于多少?解: 題中的兩種說法均不對(duì)第一種說法中把兩帶電板視為點(diǎn)電荷是不對(duì)的，第二種說法把合場(chǎng)強(qiáng)看成是一個(gè)帶電板在另一帶電板處的場(chǎng)強(qiáng)也是不對(duì)的正確解答應(yīng)為一個(gè)板的電場(chǎng)為，另一板受它的作用力，這是兩板間相互作用的電場(chǎng)力8-5 一電偶極子的
3、電矩為，場(chǎng)點(diǎn)到偶極子中心O點(diǎn)的距離為,矢量與的夾角為,(見題8-5圖)，且試證P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)在方向上的分量和垂直于的分量分別為=, =證: 如題8-5所示，將分解為與平行的分量和垂直于的分量 場(chǎng)點(diǎn)在方向場(chǎng)強(qiáng)分量垂直于方向，即方向場(chǎng)強(qiáng)分量題8-5圖 題8-6圖8-6 長(zhǎng)=15.0cm的直導(dǎo)線AB上均勻地分布著線密度=5.0x10-9Cm-1的正電荷試求：(1)在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線B端相距=5.0cm處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)；(2)在導(dǎo)線的垂直平分線上與導(dǎo)線中點(diǎn)相距=5.0cm 處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解： 如題8-6圖所示(1)在帶電直線上取線元，其上電量在點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)為用，, 代入得方向水平向右(2)同理 方向如題8-6圖所
4、示由于對(duì)稱性，即只有分量， 以, ,代入得，方向沿軸正向8-7 一個(gè)半徑為的均勻帶電半圓環(huán)，電荷線密度為,求環(huán)心處點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解: 如8-7圖在圓上取題8-7圖，它在點(diǎn)產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)大小為方向沿半徑向外則 積分 ，方向沿軸正向8-8 均勻帶電的細(xì)線彎成正方形，邊長(zhǎng)為，總電量為(1)求這正方形軸線上離中心為處的場(chǎng)強(qiáng)；(2)證明：在處，它相當(dāng)于點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)解: 如8-8圖示，正方形一條邊上電荷在點(diǎn)產(chǎn)生物強(qiáng)方向如圖，大小為 在垂直于平面上的分量 題8-8圖由于對(duì)稱性，點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿方向，大小為 方向沿8-9 (1)點(diǎn)電荷位于一邊長(zhǎng)為a的立方體中心，試求在該點(diǎn)電荷電場(chǎng)中穿過立方體的一個(gè)面的電通量；(2)如果該場(chǎng)源
5、點(diǎn)電荷移動(dòng)到該立方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，這時(shí)穿過立方體各面的電通量是多少?*(3)如題8-9(3)圖所示，在點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中取半徑為R的圓平面在該平面軸線上的點(diǎn)處，求：通過圓平面的電通量()解: (1)由高斯定理立方體六個(gè)面，當(dāng)在立方體中心時(shí)，每個(gè)面上電通量相等 各面電通量(2)電荷在頂點(diǎn)時(shí)，將立方體延伸為邊長(zhǎng)的立方體，使處于邊長(zhǎng)的立方體中心，則邊長(zhǎng)的正方形上電通量對(duì)于邊長(zhǎng)的正方形，如果它不包含所在的頂點(diǎn)，則，如果它包含所在頂點(diǎn)則如題8-9(a)圖所示題8-9(3)圖題8-9(a)圖 題8-9(b)圖 題8-9(c)圖(3)通過半徑為的圓平面的電通量等于通過半徑為的球冠面的電通量，球冠面積* *關(guān)于球
6、冠面積的計(jì)算：見題8-9(c)圖8-10 均勻帶電球殼內(nèi)半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2Cm-3求距球心5cm，8cm ,12cm 各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解: 高斯定理,當(dāng)時(shí)，,時(shí)， ， 方向沿半徑向外cm時(shí), 沿半徑向外.8-11 半徑為和()的兩無限長(zhǎng)同軸圓柱面，單位長(zhǎng)度上分別帶有電量和-,試求:(1)；(2) ；(3) 處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)解: 高斯定理 取同軸圓柱形高斯面，側(cè)面積則 對(duì)(1) (2) 沿徑向向外(3) 題8-12圖8-12 兩個(gè)無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為和，試求空間各處場(chǎng)強(qiáng)解: 如題8-12圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為與，兩面間， 面外， 面外，
7、 ：垂直于兩平面由面指為面8-13 半徑為的均勻帶電球體內(nèi)的電荷體密度為,若在球內(nèi)挖去一塊半徑為的小球體，如題8-13圖所示試求：兩球心與點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，并證明小球空腔內(nèi)的電場(chǎng)是均勻的解: 將此帶電體看作帶正電的均勻球與帶電的均勻小球的組合，見題8-13圖(a)(1) 球在點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng)，球在點(diǎn)產(chǎn)生電場(chǎng) 點(diǎn)電場(chǎng)；(2) 在產(chǎn)生電場(chǎng)球在產(chǎn)生電場(chǎng) 點(diǎn)電場(chǎng) 題8-13圖(a) 題8-13圖(b)(3)設(shè)空腔任一點(diǎn)相對(duì)的位矢為，相對(duì)點(diǎn)位矢為(如題8-13(b)圖)則 ，, 腔內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)是均勻的8-14 一電偶極子由=1.010-6C的兩個(gè)異號(hào)點(diǎn)電荷組成，兩電荷距離d=0.2cm，把這電偶極子放在1.0105NC-1
8、的外電場(chǎng)中，求外電場(chǎng)作用于電偶極子上的最大力矩解: 電偶極子在外場(chǎng)中受力矩 代入數(shù)字8-15 兩點(diǎn)電荷=1.510-8C，=3.010-8C，相距=42cm，要把它們之間的距離變?yōu)?25cm，需作多少功?解: 外力需作的功 題8-16圖8-16 如題8-16圖所示，在，兩點(diǎn)處放有電量分別為+,-的點(diǎn)電荷，間距離為2，現(xiàn)將另一正試驗(yàn)點(diǎn)電荷從點(diǎn)經(jīng)過半圓弧移到點(diǎn)，求移動(dòng)過程中電場(chǎng)力作的功解: 如題8-16圖示 8-17 如題8-17圖所示的絕緣細(xì)線上均勻分布著線密度為的正電荷,兩直導(dǎo)線的長(zhǎng)度和半圓環(huán)的半徑都等于試求環(huán)中心點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)解: (1)由于電荷均勻分布與對(duì)稱性，和段電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)互相
9、抵消，取則產(chǎn)生點(diǎn)如圖，由于對(duì)稱性，點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)沿軸負(fù)方向題8-17圖(2) 電荷在點(diǎn)產(chǎn)生電勢(shì)，以同理產(chǎn)生 半圓環(huán)產(chǎn)生 8-18 一電子繞一帶均勻電荷的長(zhǎng)直導(dǎo)線以2104ms-1的勻速率作圓周運(yùn)動(dòng)求帶電直線上的線電荷密度(電子質(zhì)量=9.110-31kg，電子電量=1.6010-19C)解: 設(shè)均勻帶電直線電荷密度為，在電子軌道處場(chǎng)強(qiáng)電子受力大小 得 8-19 空氣可以承受的場(chǎng)強(qiáng)的最大值為=30kVcm-1，超過這個(gè)數(shù)值時(shí)空氣要發(fā)生火花放電今有一高壓平行板電容器，極板間距離為=0.5cm，求此電容器可承受的最高電壓解: 平行板電容器內(nèi)部近似為均勻電場(chǎng) 8-20 根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系，求下列電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)：(
10、1)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)；(2)總電量為，半徑為的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)；*(3)偶極子的處(見題8-20圖)解: (1)點(diǎn)電荷 題 8-20 圖 為方向單位矢量(2)總電量，半徑為的均勻帶電圓環(huán)軸上一點(diǎn)電勢(shì) (3)偶極子在處的一點(diǎn)電勢(shì) 8-21 證明：對(duì)于兩個(gè)無限大的平行平面帶電導(dǎo)體板(題8-21圖)來說，(1)相向的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相反；(2)相背的兩面上，電荷的面密度總是大小相等而符號(hào)相同證: 如題8-21圖所示，設(shè)兩導(dǎo)體、的四個(gè)平面均勻帶電的電荷面密度依次為，題8-21圖(1)則取與平面垂直且底面分別在、內(nèi)部的閉合柱面為高斯面時(shí)，有 說明相向兩面上電荷面密度大小相等、符號(hào)相
11、反；(2)在內(nèi)部任取一點(diǎn)，則其場(chǎng)強(qiáng)為零，并且它是由四個(gè)均勻帶電平面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)疊加而成的，即又 說明相背兩面上電荷面密度總是大小相等，符號(hào)相同8-22 三個(gè)平行金屬板，和的面積都是200cm2，和相距4.0mm，與相距2.0 mm，都接地，如題8-22圖所示如果使板帶正電3.010-7C，略去邊緣效應(yīng)，問板和板上的感應(yīng)電荷各是多少?以地的電勢(shì)為零，則板的電勢(shì)是多少?解: 如題8-22圖示，令板左側(cè)面電荷面密度為，右側(cè)面電荷面密度為題8-22圖(1) ，即 且 +得 而 (2) 8-23 兩個(gè)半徑分別為和（)的同心薄金屬球殼，現(xiàn)給內(nèi)球殼帶電+，試計(jì)算：(1)外球殼上的電荷分布及電勢(shì)大??；(2)先把
12、外球殼接地，然后斷開接地線重新絕緣，此時(shí)外球殼的電荷分布及電勢(shì)；*(3)再使內(nèi)球殼接地，此時(shí)內(nèi)球殼上的電荷以及外球殼上的電勢(shì)的改變量解: (1)內(nèi)球帶電；球殼內(nèi)表面帶電則為,外表面帶電為，且均勻分布，其電勢(shì)題8-23圖(2)外殼接地時(shí)，外表面電荷入地，外表面不帶電，內(nèi)表面電荷仍為所以球殼電勢(shì)由內(nèi)球與內(nèi)表面產(chǎn)生：(3)設(shè)此時(shí)內(nèi)球殼帶電量為；則外殼內(nèi)表面帶電量為，外殼外表面帶電量為(電荷守恒)，此時(shí)內(nèi)球殼電勢(shì)為零，且得 外球殼上電勢(shì)8-24 半徑為的金屬球離地面很遠(yuǎn)，并用導(dǎo)線與地相聯(lián)，在與球心相距為處有一點(diǎn)電荷+，試求：金屬球上的感應(yīng)電荷的電量解: 如題8-24圖所示，設(shè)金屬球感應(yīng)電荷為，則球接地
13、時(shí)電勢(shì)8-24圖由電勢(shì)疊加原理有：得 8-25 有三個(gè)大小相同的金屬小球，小球1，2帶有等量同號(hào)電荷，相距甚遠(yuǎn)，其間的庫(kù)侖力為試求：(1)用帶絕緣柄的不帶電小球3先后分別接觸1，2后移去，小球1，2之間的庫(kù)侖力；(2)小球3依次交替接觸小球1，2很多次后移去，小球1，2之間的庫(kù)侖力解: 由題意知 (1)小球接觸小球后，小球和小球均帶電,小球再與小球接觸后，小球與小球均帶電 此時(shí)小球與小球間相互作用力(2)小球依次交替接觸小球、很多次后，每個(gè)小球帶電量均為. 小球、間的作用力*8-26 如題8-26圖所示，一平行板電容器兩極板面積都是S，相距為，分別維持電勢(shì)=，=0不變現(xiàn)把一塊帶有電量的導(dǎo)體薄片
14、平行地放在兩極板正中間，片的面積也是S，片的厚度略去不計(jì)求導(dǎo)體薄片的電勢(shì)解: 依次設(shè),從上到下的個(gè)表面的面電荷密度分別為，,如圖所示由靜電平衡條件，電荷守恒定律及維持可得以下個(gè)方程題8-26圖解得 所以間電場(chǎng) 注意：因?yàn)槠瑤щ姡?，若片不帶電，顯然8-27 在半徑為的金屬球之外包有一層外半徑為的均勻電介質(zhì)球殼，介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)為，金屬球帶電試求：(1)電介質(zhì)內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)；(2)電介質(zhì)層內(nèi)、外的電勢(shì)；(3)金屬球的電勢(shì)解: 利用有介質(zhì)時(shí)的高斯定理(1)介質(zhì)內(nèi)場(chǎng)強(qiáng);介質(zhì)外場(chǎng)強(qiáng)(2)介質(zhì)外電勢(shì)介質(zhì)內(nèi)電勢(shì)(3)金屬球的電勢(shì)8-28 如題8-28圖所示，在平行板電容器的一半容積內(nèi)充入相對(duì)介電常數(shù)為的電
15、介質(zhì)試求：在有電介質(zhì)部分和無電介質(zhì)部分極板上自由電荷面密度的比值解: 如題8-28圖所示，充滿電介質(zhì)部分場(chǎng)強(qiáng)為，真空部分場(chǎng)強(qiáng)為，自由電荷面密度分別為與由得，而 , 題8-28圖 題8-29圖8-29 兩個(gè)同軸的圓柱面，長(zhǎng)度均為，半徑分別為和()，且-，兩柱面之間充有介電常數(shù)的均勻電介質(zhì).當(dāng)兩圓柱面分別帶等量異號(hào)電荷和-時(shí)，求：(1)在半徑處(，厚度為dr，長(zhǎng)為的圓柱薄殼中任一點(diǎn)的電場(chǎng)能量密度和整個(gè)薄殼中的電場(chǎng)能量；(2)電介質(zhì)中的總電場(chǎng)能量；(3)圓柱形電容器的電容解: 取半徑為的同軸圓柱面則 當(dāng)時(shí)， (1)電場(chǎng)能量密度 薄殼中 (2)電介質(zhì)中總電場(chǎng)能量(3)電容： *8-30 金屬球殼和的中
16、心相距為，和原來都不帶電現(xiàn)在的中心放一點(diǎn)電荷，在的中心放一點(diǎn)電荷，如題8-30圖所示試求：(1) 對(duì)作用的庫(kù)侖力，有無加速度；(2)去掉金屬殼，求作用在上的庫(kù)侖力，此時(shí)有無加速度解: (1)作用在的庫(kù)侖力仍滿足庫(kù)侖定律，即但處于金屬球殼中心，它受合力為零，沒有加速度(2)去掉金屬殼，作用在上的庫(kù)侖力仍是，但此時(shí)受合力不為零，有加速度題8-30圖 題8-31圖8-31 如題8-31圖所示，=0.25F，=0.15F，=0.20F 上電壓為50V求：解: 電容上電量電容與并聯(lián)其上電荷 8-32 和兩電容器分別標(biāo)明“200 pF、500 V”和“300 pF、900 V”，把它們串聯(lián)起來后等值電容是
17、多少?如果兩端加上1000 V的電壓，是否會(huì)擊穿?解: (1) 與串聯(lián)后電容(2)串聯(lián)后電壓比，而 ,即電容電壓超過耐壓值會(huì)擊穿，然后也擊穿8-33 將兩個(gè)電容器和充電到相等的電壓以后切斷電源，再將每一電容器的正極板與另一電容器的負(fù)極板相聯(lián)試求：(1)每個(gè)電容器的最終電荷；(2)電場(chǎng)能量的損失解: 如題8-33圖所示，設(shè)聯(lián)接后兩電容器帶電分別為,題8-33圖則解得 (1) (2)電場(chǎng)能量損失8-34 半徑為=2.0cm 的導(dǎo)體球，外套有一同心的導(dǎo)體球殼，殼的內(nèi)、外半徑分別為=4.0cm和=5.0cm，當(dāng)內(nèi)球帶電荷=3.010-8C時(shí)，求：(1)整個(gè)電場(chǎng)儲(chǔ)存的能量；(2)如果將導(dǎo)體殼接地，計(jì)算儲(chǔ)存的能量；(3)此電容器的電容值解: 如圖，內(nèi)球帶電，外球殼內(nèi)表面帶電，外表面帶電題8-34圖(1)在和區(qū)域在時(shí) 時(shí) 在區(qū)域在區(qū)域 總能量 (2)導(dǎo)體殼接地時(shí)，只有時(shí), (3)電容器電容
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