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1、二、函數(shù)的間斷點,一、函數(shù)連續(xù)性的定義,第八節(jié)函數(shù)的連續(xù)性與間斷點,第一章函數(shù)與極限,引入,連續(xù)函數(shù)具有很強的幾何直觀，且在生活中有許多現(xiàn)實的例子.比如,隨著時間的微小變化，我們的身高也進行微小的改變，氣溫也進行微小的變化，開著的汽車的行程也作了微小的變化?？偟谜f來，可以抽象為隨著自變量的微小變化，相應的函數(shù)值也只有微小的變化。來刻畫這種相互依賴的微小變化用到的工具就是函數(shù)的連續(xù)性。,自變量與應變量的變化描述,,x,,y,O,,y=f(x),,,,,,,,,一、函數(shù)在點x0連續(xù)的定義,記,于是，上述定義可以轉化為,確切地，有以下定義：,一、函數(shù)在點x0連續(xù)的定義（續(xù)）,用極限的“???”語言來
2、描述：,單側連續(xù)的定義,(1)左連續(xù):,(2)右連續(xù):,區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,直觀上，連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,在閉區(qū)間[a,b]上的全體連續(xù)函數(shù)的集合記作,在(??,??)上連續(xù).,例1.,證:,,由x0的任意性知函數(shù)y=sinx在(??,??)內連續(xù).,同樣可證:函數(shù)y=cosx在(??,??)內連續(xù).,即,可見,函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)必須具備下列條件:,(3),二、函數(shù)的間斷點,(1)函數(shù)f(x)在點x0,但,設f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義,,則有下列情,形之一的函數(shù)f(x)在點x0不
3、連續(xù):,這樣的點x0稱為間斷點或不連續(xù)點.,無定義;,間斷點的分類:,第一類間斷點:,第二類間斷點:,為其無窮間斷點.,為其振蕩間斷點.,為可去間斷點.,例如,,在處無定義.,在x=0處無定義.,在x=1處無定義.,x=0,x=1,補充定義f(1)=？,則函數(shù)在x=1連續(xù).,顯然,x=1為其可去間斷點.,(5),x=0為其跳躍間斷點.,(4),修改定義f(1)=？時可使函數(shù)在x=1處連續(xù).,小結,左連續(xù),,,右連續(xù),第一類間斷點,,可去間斷點,跳躍間斷點,(左右極限都存在),第二類間斷點,,無窮間斷點,振蕩間斷點,(左右極限至少有一個不存在),2.f(x)在點x0間斷的類型,1.f(x)在點x0連續(xù)的幾種等價形式,,,可補充或修改定義使之成為連續(xù)點!,,,課堂練習,x=2是第二類無窮間斷點.,提示:,答案:x=1是第一類可去間斷點,,可補充定義f(1)=?2則函數(shù)就在x=1處連續(xù).,3.確定函數(shù),間斷點的類型.,解:間斷點,為無窮間斷點;,故x=1為跳躍間斷點.,作業(yè),P64-652(別忘了畫圖)3/(2)(3)(4)(需要詳細說明理由)4,
高等數(shù)學1-8同濟第六版.ppt
