2018-2019學年高中數學 第一章 三角函數 1.2 任意角的三角函數2課件 新人教A版必修4.ppt

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1、1.2.2 同角三角函數的基本關系,同角三角函數基本關系 問題思考 1.填寫下表,你能從中發(fā)現同一個角的三角函數值之間有什么關系?,2.填空:同角的三角函數基本關系 (1)平方關系:同一個角的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2+cos2=1.,3.做一做:(1)sin22 019+cos22 019=( ) A.0 B.1 C.2 019 D.2 019 (2)若sin +cos =0,則tan = . 解析(1)由平方關系知sin22 019+cos22 019=1.,答案(1)B (2)-1 4.已知sin (cos )的值,能否求出cos (sin ),tan 的值?已知sin cos

2、 的值,怎樣求出sin cos 的值? 提示利用兩種關系式的變形可以解決上述問題.,5.填空:同角三角函數基本關系式的變形 (1)平方關系sin2+cos2=1的變形 sin2=1-cos2;cos2=1-sin2;1=sin2+cos2; (sin +cos )2=1+2sin cos ;(sin -cos )2=1-2sin cos .,sin =tan cos ;,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“”,錯誤的打“”.,答案(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8),探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,利用同角三角函數關系求值 角度1

3、已知某個三角函數值,求其余三角函數值,分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函數值,應先判斷三角函數值的符號,然后根據平方關系求出該角的正弦值或余弦值,再利用商數關系求解該角的正切值即可.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,已知某個三角函數值求其余三角函數值的步驟 第一步:由已知三角函數的符號,確定其角終邊所在的象限; 第二步:依據角的終邊所在象限分類討論; 第三步:利用同角三角函數關系及其變形公式,求出其余三角函數值.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,角度2 已知tan ,求關于sin 和cos 齊次式的值 【例2

4、】 已知tan =2,則,分析在這里,注意到所求式子都是關于sin 、cos 的分式齊次式(或可化為分式齊次式),將其分子、分母同除以cos 的整數次冪,就把所求值的式子用tan 表示,將tan =2整體代入,就能快速求其值.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,解析(1)注意到分式的分子和分母均是關于sin ,cos 的一次齊次式,可將分子分母同除以cos (cos 0),然后整體代入tan =2的值.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,已知tan ,求關于sin 和cos 齊次式的值的基本方法 已知角的正切值,求由s

5、in 和cos 構成的齊次式(次數相同).,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,角度3 利用sin +cos ,sin -cos 與sin cos 三者之間的關系求值,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,1.由(sin +cos )2=1+2sin cos ,(sin -cos )2=1-2sin cos 可知如果已知sin +cos ,sin -cos ,sin cos 三個式子中任何一個的值,那么就可以利用平方關系求出其余的兩個.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,2.sin cos 的符號的判定方法:

6、(1)sin -cos 的符號的判定方法:由三角函數的定義知,當的終邊落在直線y=x上時,sin =cos ,即sin -cos =0;當的終邊落在直線y=x的上半平面區(qū)域內時,sin cos ,即sin -cos 0;當的終邊落在直線y=x的下半平面區(qū)域內時,sin -cos ,即sin +cos 0;當的終邊落在直線y=-x的下半平面區(qū)域內時,sin -cos ,即sin +cos 0.如圖所示.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探

7、究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,利用同角三角函數關系化簡 【例4】 化簡下列各式:,分析(1)對分子利用誘導公式一化簡,對分母利用平方關系的變形化簡;(2)先對被開方式通分化簡,再化簡根式.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,三角函數式的化簡過程中常用的方法 (1)化切為弦,即把非正弦、非余弦的函數都化成正弦、余弦函數,從而減少函數名稱,達到化簡的目的. (2)對于含有根號的,常把根號下式子化成完全平方式,去根號,達到化簡的目的. (3)對于化簡含高次的三角函數式,往往借助于因式分解,或構造sin2+cos2=1,以降

8、低函數次數,達到化簡的目的.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,(3)原式=(cos2+sin2)(cos4-cos2sin2+sin4)+3sin2cos2 =cos4+2sin2cos2+sin4=(sin2+cos2)2=1. 因為180270,所以sin 0,cos 0,因此解是唯一的.,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,探究一,探究二,探究三,核心素養(yǎng)提升,思維辨析,在利用sin cos ,sin cos 之間的關系解題時,往往易忽略角的取值范圍造成增根或丟根,在已知sin cos 的值求sin +cos 或

9、sin -cos 的值時,需開方,因此要由角的范圍確定取“+”還是“-”.,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案C,1,2,3,4,5,答案sin ,1,2,3,4,5,5.求證:2(1-sin )(1+cos )=(1-sin +cos )2. 證法一左邊=2-2sin +2cos -2sin cos =1+sin2+cos2-2sin cos +2(cos -sin )=1+2(cos -sin )+(cos -sin )2=(1-sin +cos )2=右邊. 所以原式成立. 證法二左邊=2-2sin +2cos -2sin cos , 右邊=1+sin2+cos2-2sin +2cos -2sin cos =2-2sin +2cos -2sin cos . 故左邊=右邊.所以原式成立. 證法三令1-sin =x,cos =y,則(x-1)2+y2=1,即x2+y2=2x. 故左邊=2x(1+y)=2x+2xy=x2+y2+2xy=(x+y)2=右邊.所以原式成立.,