《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題 三解析【哈工大版】》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題 三解析【哈工大版】(16頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、習(xí) 題 三 1擲一枚非均質(zhì)的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)時(shí)為止所需投擲次數(shù),求的分布列。 解 表示事件:前次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面,或前次出現(xiàn)反面,第次出現(xiàn)正面,所以 2袋中有個(gè)黑球個(gè)白球,從袋中任意取出個(gè)球,求個(gè)球中黑球個(gè)數(shù)的分布列。 解 從個(gè)球中任取個(gè)球共有種取法,個(gè)球中有個(gè)黑球的取法有,所以的分布列為 , 此乃因?yàn)?,如果,則個(gè)球中可以全是白球,沒有黑球,即;如果則個(gè)球中至少有個(gè)黑球,此時(shí)應(yīng)從開始。 3一實(shí)習(xí)生用一臺(tái)機(jī)器接連生產(chǎn)了三個(gè)同種零件,第個(gè)零件是不合格品的概率,以表示三個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù),求的分布列。 解 設(shè)第個(gè)零件是合格品。則 , , , .即的分布列
2、為 . 4一汽車沿一街道行駛,需通過三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且每一信號(hào)燈紅綠兩種信號(hào)顯示的概率均為,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個(gè)數(shù),求的概率分布。 解 (第一個(gè)路口即為紅燈), (第一個(gè)路口為綠燈,第二個(gè)路口為紅燈),依此類推,得的分布列為 . 5將一枚硬幣連擲次,以表示這次中出現(xiàn)正面的次數(shù),求的分布列。 解 為重貝努里試驗(yàn)中成功出現(xiàn)的次數(shù),故,的分布列為 6一電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求(1)每分鐘恰有8次呼叫的概率;(2)每分鐘的呼叫次數(shù)大于10的概率。 解 設(shè)為每分鐘接到的呼叫次數(shù),則 (1) (
3、2) 7某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為5的泊松分布,問在月初至少庫(kù)存多少此種商品,才能保證當(dāng)月不脫銷的概率為0.99977以上。 解 設(shè)為該商品的銷售量,為庫(kù)存量,由題意 即 查泊松分布表知,故月初要庫(kù)存14件以上,才能保證當(dāng)月不脫銷的概率在0.99977以上。 8已知離散型隨機(jī)變量的分布列為:,試寫出的分布函數(shù)。 解 的分布列為 所以的分布函數(shù)為 9設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求:(1)常數(shù);(2)使成立的. 解 (1),; (2), 可見 , 。 10設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 ,求:(1)系數(shù)與;(2);(3)的概率密度。 解 (1)由分布函數(shù)的性質(zhì) 于是 ,所以的分布函數(shù)為 , (2)
4、; (3)的概率密度為, . 11已知隨機(jī)變量的概率密度為,.求的分布函數(shù). 解 12設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的分布函數(shù). 解 的圖形為 的分布函數(shù)為 012x(1,1)f(x) 13 13設(shè)電子管壽命的概率密度為若一架收音機(jī)上裝有三個(gè)這種管子,求(1)使用的最初150小時(shí)內(nèi),至少有兩個(gè)電了管被燒壞的概率;(2)在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)的分布列;(3)的分布函數(shù)。 解 為在使用的最初150小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù),其中 , (1)所求概率為 ; (2)的分布列為,即 . (3)的分布函數(shù)為 14設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 現(xiàn)對(duì)進(jìn)行次獨(dú)立重復(fù)觀測(cè),以表示觀測(cè)值不大于0.1的觀測(cè)次數(shù),試求
5、隨機(jī)變量的概率分布。 解 ,其中 ,所以的概率分布列為 . 15設(shè)隨機(jī)變量,求方程有實(shí)根的概率. 解 設(shè)方程有實(shí)根,則 發(fā)生 即 ,因,所以 發(fā)生所以 . 16設(shè)隨機(jī)變量,現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè),試求至少有兩次觀測(cè)值大于3的概率. 解 設(shè)為三次觀測(cè)中,觀測(cè)值大于3的觀測(cè)次數(shù),則,其中 ,所求概率為. 17設(shè)顧客在某銀行窗口等待服務(wù)的時(shí)間(單位:分),服從參數(shù)為的指數(shù)分布。若等待時(shí)間超過10分鐘,則他就離開。設(shè)他一個(gè)月內(nèi)要來(lái)銀行5次,以表示一個(gè)月內(nèi)他沒有等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),求的分布列及。 解 由題意,其中 ,于是的分布為 . 18一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布
6、。(1)求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔的概率分布;(2)求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作了8小時(shí)的情況下,再無(wú)故障運(yùn)行8小時(shí)的概率。 解 (1)設(shè)的分布函數(shù)為,則 事件表示兩次故障的間隔時(shí)間超過,也就是說(shuō)在時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生故障,故,于是,可見,的分布函數(shù)為 即服從參數(shù)為的指數(shù)分布。 (2)所求概率為. 19設(shè)隨機(jī)變量。求 (1);(2)常數(shù),使; (3)常數(shù),使。 解 (1) ; (2),查表知 ,所以; (3) 所以 ,查正態(tài)分布表知 ,故 。 20設(shè)隨機(jī)變量,且,求。 解 ,所以 ,。 21某地抽樣結(jié)果表明,考生的外語(yǔ)成績(jī)(百分制)近似服從正態(tài)分布,平均成績(jī)(即參數(shù)之值)為72分,96分以上的占考生總數(shù)的
7、2.3%,試求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。 解 所求概率為 22假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差,試求在100次重復(fù)測(cè)量中,至少有三次測(cè)量誤差的絕對(duì)值大于19.6的概率,并利用泊松分布求出的近似值。 解 設(shè)為誤差的絕對(duì)值大于19.6的測(cè)量次數(shù),則,其中 ,所求概率為利用泊松定理. 23在電源電壓不超過,在和超過三種情況下,某種電子元件,損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布,試求:(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時(shí),電源電壓在200240的概率。 解 設(shè)電子元件損壞,電源電壓在第檔,則 (1) (2). 24假設(shè)隨機(jī)變量的絕對(duì)值不大于1;,在事件出
8、現(xiàn)的條件下,在內(nèi)任意子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求:(1)的分布函數(shù);(2)取負(fù)值的概率. 解1 設(shè)的分布函數(shù)為,則 當(dāng) 時(shí),且, 當(dāng) 時(shí), , 當(dāng) 時(shí),由題意 ,而 ,所以 。于是 此時(shí) ,故的分布函數(shù)為 (2). 解2 設(shè)的分布函數(shù)為,則 當(dāng) 時(shí), 且 當(dāng) 時(shí), 當(dāng)時(shí),設(shè),且,由題意 ,即 由此得 ,兩邊同除以得 令取極限得 兩邊積分得 ,由及得 解之得 故 ,綜上所述,的分布函數(shù)為 (2) 25已知離散型隨機(jī)變量的分布列為 求的分布列. 解 的分布列為 . 26設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度 解1 當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)增,反函數(shù)為,于是的概率密度為 解2 設(shè)的分布函數(shù)為,則
9、 27設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求隨機(jī)變量的概率密度 解1 函數(shù)嚴(yán)格單調(diào),反函數(shù)為,則 解2 設(shè)的分布函數(shù)為,則 ,所以。 28設(shè),求(1)的概率密度;(2)的概率密度。 解 的密度為 (1)在上單調(diào)增,反函數(shù)為,所以的密度為 (2)在上單調(diào)減,反函數(shù)為,所以的密度為 29設(shè),求的概率密度。 解1 函數(shù)在上單調(diào)減,反函數(shù)為, 在上單調(diào)增,反函數(shù)為,所以的密度為 即 30設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,試證在區(qū)間上服從均勻分布。 證 只須證明的分布函數(shù)為 31設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的概率密度. 解1 函數(shù)在上單調(diào)增,反函數(shù)為 在上單調(diào)減,反函數(shù)為.的概率密度為: 解2 設(shè)的分布函數(shù)為,則 所以 32設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù),且嚴(yán)格單調(diào)增加,求的概率密度. 解 設(shè)的分布函數(shù)為,則 ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故 于是的概率密度為 34