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1、第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù),1.二次函數(shù),2.冪函數(shù),教材研讀,考點(diǎn)一 冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),考點(diǎn)二 求二次函數(shù)的解析式,考點(diǎn)三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),考點(diǎn)突破,教材研讀,1.二次函數(shù) (1)二次函數(shù)的定義 形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù). (2)二次函數(shù)的三種表示形式 (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0); (ii)頂點(diǎn)式: f(x)=a(x-m)2+n(a0); (iii)兩根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象和性質(zhì),提醒注意二次項(xiàng)系數(shù)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響,經(jīng)常對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)分大于零與小于零兩種
2、情況討論.,2.冪函數(shù) (1)冪函數(shù)的定義 形如y=x的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,為常數(shù). (2)五種常見冪函數(shù)的圖象,(3)冪函數(shù)的性質(zhì) (i)當(dāng)0時(shí),冪函數(shù)y=x有下列性質(zhì): a.圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)、(1,1).,b.在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而增大. (ii)當(dāng)<0時(shí),冪函數(shù)y=x有下列性質(zhì): a.圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1). b.在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而減小. (4)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì),知識(shí)拓展 一元二次不等式恒成立的條件 (1)“ax2+bx+c0(a0)恒成立”的充要條件是“a0且<0”. (2)“ax2+bx+c<0(a0)恒成立”的充要條件是“a<0且<0”
3、.,1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)函數(shù)y=2是冪函數(shù).( ) (2)若冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).( ) (3)當(dāng)n<0時(shí),冪函數(shù)y=xn是定義域上的減函數(shù).( ) (4)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是.( ) (5)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0),xR不可能是偶函數(shù).( ),答案(1)(2)(3)(4)(5),,,,,,2.(教材習(xí)題改編)已知冪函數(shù)f(x)=kx的圖象過點(diǎn),則k+=() A.B.1C.D.2,答案C因?yàn)閒(x)=kx是冪函數(shù),所以k=1.又f(x)的圖象過點(diǎn), 所以=,所以=,所以k+=1+=.,C,3.
4、冪函數(shù)f(x)=x(是有理數(shù))的圖象過點(diǎn),則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū) 間是() A.0,+)B.(0,+) C.(-,0D.(-,0),答案B由題意得=2,解得=-2,所以f(x)=x-2,單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+ ).,B,4.(教材習(xí)題改編)下圖是y=xa;y=xb;y=xc在第一象限的圖象,則a,b,c的大小關(guān)系為() A.c
5、解析由g(x)=x2-2x=(x-1)2-1,x0,3,得g(x)在0,1上是減函數(shù),在1,3上是增函數(shù). 所以g(x)min=g(1)=-1,因?yàn)間(0)=0,g(3)=3. 所以g(x)在x0,3上的值域?yàn)?1,3.,冪函數(shù)的圖象和性質(zhì),考點(diǎn)突破,典例1(1)冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2),則冪函數(shù)y=f(x)的圖象是(),C,(2)當(dāng)x(0,+)時(shí),冪函數(shù)y=(m2+m-1)x-5m-3為減函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為 () A.-2B.1 C.1或-2D.m (3)若a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系是() A.a
6、(1)C(2)B(3)D,解析(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為y=f(x)=x, 冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2), 2=4,解得=. f(x)=,其定義域?yàn)?,+),且是增函數(shù), 當(dāng)0
7、)是偶函數(shù),則必為偶數(shù).當(dāng)是分?jǐn)?shù)時(shí),一般先將其化為根式,再判斷. (3)若冪函數(shù)y=x(R)在(0,+)上單調(diào)遞增,則0;若在(0,+)上單調(diào)遞減,則<0.,1-1冪函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(3,),則f(x)是() A.偶函數(shù),且在(0,+)上是增函數(shù) B.偶函數(shù),且在(0,+)上是減函數(shù) C.奇函數(shù),且在(0,+)上是增函數(shù) D.非奇非偶函數(shù),且在(0,+)上是減函數(shù),答案C設(shè)冪函數(shù)為f(x)=x,把點(diǎn)(3,)代入,得=3,解得=,所以f (x)=,可知函數(shù)為奇函數(shù),在(0,+)上單調(diào)遞增.,C,1-2若(a+1<(3-2a,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.,答案,解析易知函數(shù)y=的定義域?yàn)?,
8、+),在定義域內(nèi)為增函數(shù),所以 解得-1a<.,求二次函數(shù)的解析式,典例2(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,0)和(-2,0),且函數(shù)有最小值-1,則f(x)=. (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3),且圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2,并且對(duì)任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.,答案(1)x2+2x,解析(1)設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)=ax(x+2)(a0), 所以f(x)=ax2+2ax, 由題意得=-1, 解得a=1,所以f(x)=x2+2x. (2)f(2+x)=f(2-x)對(duì)任意xR恒成立, f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x
9、=2. 又f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2, f(x)=0的兩根為1和3.,設(shè)f(x)的解析式為f(x)=a(x-1)(x-3)(a0), f(x)的圖象過點(diǎn)(4,3), 3a=3,a=1, 所求函數(shù)的解析式為f(x)=(x-1)(x-3), 即f(x)=x2-4x+3.,方法技巧 求二次函數(shù)的解析式,一般用待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇二次函數(shù)解析式的形式,一般選擇規(guī)律如下:,2-1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,bR),xR,若函數(shù)f(x)的最小值為f(-1)=0,則f(x)=.,答案x2+2x+1,解析設(shè)函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=a(x+1)2=ax2+2
10、ax+a, 又f(x)=ax2+bx+1, a=1,b=2, 故f(x)=x2+2x+1.,2-2若函數(shù)f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,bR)是偶函數(shù),且它的值域?yàn)?-,4,則f(x)=.,答案-2x2+4,解析由f(x)是偶函數(shù)知, f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱, -a=-,即b=-2, f(x)=-2x2+2a2, 又f(x)的值域?yàn)?-,4,2a2=4, 故f(x)=-2x2+4.,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 命題方向一二次函數(shù)的圖象,典例3如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,圖象過點(diǎn)A(-3,0),對(duì)稱軸為x=-1,給出下面四個(gè)結(jié)論:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0
11、;5a
12、3的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-=-a, 要使f(x)在-4,6上為單調(diào)函數(shù),只需-a-4或-a6,解得a4或a-6. 故a的取值范圍是(-,-64,+).,(2)當(dāng)a=-1時(shí), f(|x|)=x2-2|x|+3 = 畫出f(|x|)的圖象(圖略). f(|x|)的減區(qū)間是-4,-1)和0,1),增區(qū)間為-1,0)和1,6.,探究1(變條件)若函數(shù)f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上為增函數(shù),求a的取值范圍.,解析f(x)=x2+2ax+3在-4,+)上為增函數(shù), -a-4,即a4.,探究2若函數(shù)f(x)=x2+2ax+3的單調(diào)增區(qū)間為-4,+),則a為何值?,解析f(x)=x2+2ax+3的
13、單調(diào)增區(qū)間為-4,+), -a=-4,即a=4.,命題方向三二次函數(shù)的最值問題 典例5設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2,xt,t+1,tR,求函數(shù)f(x)的最小值.,解析f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,xt,t+1,tR,函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=1. 當(dāng)t+1<1,即t<0時(shí),函數(shù)圖象如圖(1)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上為減函數(shù),所以最小值為f(t+1)=t2+1; 當(dāng)t1t+1,即0t1時(shí),函數(shù)圖象如圖(2)所示,在x=1處取得最小值,最小值為f(1)=1;,當(dāng)t1時(shí),函數(shù)圖象如圖(3)所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間t,t+1上為增函數(shù),所以最小值為f(t)=t2-2t+2. 綜
14、上可知, f(x)min=,規(guī)律總結(jié) 1.確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個(gè)要點(diǎn): 一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào),它決定二次函數(shù)圖象的開口方向; 二是看圖象的對(duì)稱軸,它決定二次函數(shù)圖象的具體位置; 三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn),如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn),函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等. 從這三個(gè)方向入手,能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象.反之,也可以從圖象中得到如上信息.,2.對(duì)于二次函數(shù)的單調(diào)性,關(guān)鍵看圖象的開口方向與對(duì)稱軸的位置,若圖象的開口方向或?qū)ΨQ軸的位置不確定,則需要分類討論求解. 3.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng).無論哪種類型,解題的關(guān)鍵都是圖
15、象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系,當(dāng)含有參數(shù)時(shí),要依據(jù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論.,3-1已知abc0,則二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象可能是(),D,答案DA項(xiàng),易知a0,c0,而f(0)=c0,b0. 又abc0,c0,故B錯(cuò). C項(xiàng),易知a0,-0.又abc0, c0,而f(0)=c0,-0,b0,c<0,而f(0)=c<0,故選D.,3-2已知函數(shù)f(x)=ax2+2ax+1在區(qū)間-1,2上有最大值4,求實(shí)數(shù)a的值.,解析f(x)=a(x+1)2+1-a. 當(dāng)a=0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上的值為常數(shù)1,不符合題意,舍去; 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上
16、是增函數(shù),最大值為f(2)=8a+1=4,解得a=; 當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上是減函數(shù),最大值為f(-1)=1-a=4,解得a=-3. 綜上可知,a的值為或-3.,三個(gè)“二次”間的轉(zhuǎn)化,典例6已知函數(shù)f(x)=x2-x+1,在區(qū)間-1,1上不等式f(x)2x+m恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,解析f(x)2x+m等價(jià)于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函數(shù)g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上的最小值大于0即可.,g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上單調(diào)遞減, g(x)m
17、in=g(1)=-m-1, 由-m-10得m<-1. 因此滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-,-1).,方法技巧 1.二次函數(shù)、二次方程與二次不等式常結(jié)合在一起,而二次函數(shù)又是三個(gè)“二次”的核心,通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此,解決此類問題首先采用轉(zhuǎn)化思想,把方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.借助函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(diǎn).,2.由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵 (1)一般有兩個(gè)解題思路:一是分離參數(shù);二是不分離參數(shù). (2)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值,至于用哪種思路解題,關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離.這兩個(gè)思路的依據(jù):af(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立af(x)min.,4-1已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在x-1,1上恒小于零,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.,答案,
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