（福建專用）2019高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式、推理與證明 7.5 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt

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1、7.5數(shù)學(xué)歸納法,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),1.數(shù)學(xué)歸納法的定義 一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行: (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0N*)時(shí)命題成立; (2)(歸納遞推)假設(shè)n=k(kn0,kN*)時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=_時(shí)命題也成立. 只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.,k+1,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2.數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立.() (2)所有與正

2、整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明.() (3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng).() (4)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí),必須用上歸納假設(shè).() (5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.(),答案,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n-3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于() A.1B.2C.3D.0,答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,3.在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 (n2,nN* )的過程中,由n=k

3、到n=k+1時(shí),左邊增加了() A.1項(xiàng)B.k項(xiàng) C.2k-1項(xiàng)D.2k項(xiàng),答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明34n+1+52n+1(nN+)能被8整除時(shí),當(dāng)n=k+1時(shí),對(duì)于34(k+1)+1+52(k+1)+1可變形為() A.5634k+1+25(34k+1+52k+1) B.3434k+1+5252k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1),答案,解析,知識(shí)梳理,考點(diǎn)自測(cè),2,3,4,1,5,5.用數(shù)學(xué)歸納法證明 1),第一步要證的不等式是.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例1求證:(n+1)(n+2)(n+n

4、)=2n135(2n-1)(n N* ).,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn)有哪些? 解題心得用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的注意點(diǎn): (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少. (2)由n=k時(shí)等式成立,推出n=k+1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過程. (3)不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例2若函數(shù)f(x)=x2-2x-3,定義數(shù)列xn如下:

5、x1=2,xn+1是過點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),其中nN* ,試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2xnxn+13.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考具有怎樣特征的不等式可用數(shù)學(xué)歸納法證明?證明的關(guān)鍵是什么? 解題心得1.當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),若用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法. 2.證明的關(guān)鍵是:由n=k時(shí)命題成立證n=k+1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來加以證明,充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問題得以簡(jiǎn)化.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,答案

6、,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例3用數(shù)學(xué)歸納法證明:42n+1+3n+2能被13整除,其中nN* .,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的基本思路是什么? 解題心得證明整除問題的關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”,即采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段,將n=k+1時(shí)的式子湊出n=k時(shí)的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2017陜西西安模擬)試證:當(dāng)n N* 時(shí),f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,例4設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,滿足 ,n N* ,且S3=15. (1)求a1,a2,

7、a3的值; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.,解: (1)由Sn= -3n2-4n,得 S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8. S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 綜上知a1=3,a2=5,a3=7.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(2)由(1)猜想an=2n+1(n N*),以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n=1時(shí),猜想顯然成立; 假設(shè)當(dāng)n=k(k N*,且k2)時(shí),有ak=2k+1成立, 則Sk=3+5+7+(2k+1) 即當(dāng)n=k+1時(shí),猜想成立. 由知,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為

8、an=2n+1(n N*).,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,思考解決“歸納猜想證明”問題的一般思路是什么?哪些問題常用該模式解決? 解題心得解決“歸納猜想證明”問題的一般思路是:通過觀察有限個(gè)特例,先猜想出一般性的結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問題、存在性問題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系; (2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,考點(diǎn)4,1.數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題. 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵在于兩個(gè)步驟,要做到“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉”. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí),以下幾點(diǎn)容易造成失分: (1)把初始值搞錯(cuò); (2)在推證當(dāng)n=k+1時(shí),沒有用上歸納假設(shè); (3)對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤,特別是尋找n=k與n=k+1的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)生的變化易被弄錯(cuò).,