經(jīng)典《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測(cè)試題

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1、.. . . .. 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測(cè)試題 1．在極坐標(biāo)系中?，已知曲線?C：ρ=2cosθ，將曲線?C?上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單 位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的?2?倍，得到曲線?C1，又已知直線?l 過(guò)點(diǎn)?P（1,0），傾斜角為 ，且直線?l?與曲線?C1?交于?A，B?兩點(diǎn)． 3 （1）求曲線?C1?的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線； （2）求 +????．

2、 2．在直角坐標(biāo)系?xOy?中，圓?C?的參數(shù)方程 （φ?為參數(shù)），以?O?為 極點(diǎn)，x?軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）求圓?C?的極坐標(biāo)方程； （2）直線?l?的極坐標(biāo)方程是?2ρsin（θ+ ）=3 ，射線?OM：θ= 與圓?C?的 交點(diǎn)為?O、P，與直線?l?的交點(diǎn)為?Q，求線段?PQ?的長(zhǎng)． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 3．在極坐標(biāo)系中，圓?C?的極坐

3、標(biāo)方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點(diǎn) O?為原點(diǎn)，極軸所在直線為?x?軸建立平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求圓?C?的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?P（x，y）是圓?C?上動(dòng)點(diǎn)，試求?x+y?的最大值，并求 出此時(shí)點(diǎn)?P?的直角坐標(biāo)． 4．若以直角坐標(biāo)系?xOy?的?O?為極點(diǎn)，Ox?為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極 坐標(biāo)系，得曲線?C?的極坐標(biāo)方程是?ρ= ． （1）將曲

4、線?C?的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線； . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. （t?為參數(shù)），?P????3?,0??÷?，當(dāng)直線?l?與曲線?C （2）若直線?l?的參數(shù)方程為  è?2??? 相交于?A，B?兩點(diǎn)，求 AB?2 PA?×?PB  . 5．在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，以原點(diǎn)?O?為極點(diǎn)，x?軸的非負(fù)半軸為極軸，建立

5、 ì?x?=?3cos?q 極坐標(biāo)系，曲線?C1?的參數(shù)方程為?í (q?為參數(shù)），曲線?C2?的極坐標(biāo) ??y?=?2sin?q 方程為 ． （1）求曲線?C1?的普通方程和曲線?C2?的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)?P?為曲線?C1?上一點(diǎn)，Q?曲線?C2?上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)?P?點(diǎn)極 坐標(biāo)． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 6．在極坐標(biāo)系中，曲線?C?的方程為?ρ

6、2= ，點(diǎn)?R（2 ， ）． （Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為?x?軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線?C?的 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R?點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)?P?為曲線?C?上一動(dòng)點(diǎn)，以?PR?為對(duì)角線的矩形?PQRS?的一邊垂直于極 軸，求矩形?PQRS?周長(zhǎng)的最小值． 7．已知平面直角坐標(biāo)系中?，曲線?C1?的參數(shù)方程為 （φ?為參 數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲

7、線?C2?的極坐 標(biāo)方程為?ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲線?C1?的極坐標(biāo)方程與曲線?C2?的直角坐標(biāo)方程； . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. （Ⅱ）若直線?θ= （ρ∈R）與曲線?C1?交于?P，Q?兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度． 8．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位 建立極坐標(biāo)系，己知直線?l?的極坐標(biāo)方程為?ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲線?C?

8、的極坐 標(biāo)方程為?ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）． （1）設(shè)?t?為參數(shù)，若?x=﹣2+ t，求直線?l?的參數(shù)方程； （?2?）?已知直線?l?與曲線?C?交于?P?、?Q?，?設(shè)?M?（?﹣?2?，?﹣?4?），?且 |PQ|2=|MP|?|MQ|，求實(shí)數(shù)?p?的值． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 9．在極坐標(biāo)系中?，射線?l：θ= 與圓?C：ρ=2?交于

9、點(diǎn)?A，橢圓?Γ?的方程為 ρ2= ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)?，極軸為?x?軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 xOy （Ⅰ）求點(diǎn)?A?的直角坐標(biāo)和橢圓?Γ?的參數(shù)方程； （Ⅱ）若?E?為橢圓?Γ?的下頂點(diǎn)，F(xiàn)?為橢圓?Γ?上任意一點(diǎn)，求  ???的取值范圍． 10．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的?C?參數(shù)方程為 （φ?為參數(shù)），現(xiàn) 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)

10、系，直線?l?的極坐標(biāo)方程為 ρ= ． （1）求曲線?C?的普通方程和直線?l?的直角坐標(biāo)方程； （2）在曲線?C?上是否存在一點(diǎn)?P，使點(diǎn)?P?到直線?l?的距離最小？若存在，求出 距離的最小值及點(diǎn)?P?的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 11．已知曲線?C1?的參數(shù)方程為 （t?為參數(shù)），以原點(diǎn)?O?為極點(diǎn)，以?x 軸的正半軸

11、為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為 ． （?I）求曲線?C2?的直角坐標(biāo)系方程； （?II）設(shè)?M1?是曲線?C1?上的點(diǎn)，M2?是曲線?C2?上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 12．設(shè)點(diǎn)?A?為曲線?C：ρ=2cosθ?在極軸?Ox?上方的一點(diǎn)，且?0≤θ≤  ，以極點(diǎn) 為原點(diǎn)，極軸為?x?軸正半軸建立平面直角

12、坐標(biāo)系?xOy， （1）求曲線?C?的參數(shù)方程； （2）以?A?為直角頂點(diǎn)，AO?為一條直角邊作等腰直角三角形?OAB（B?在?A?的右 下方），求?B?點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 13．在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，曲線?C1： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?a＞ 0），曲線?C2： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?b＞0）．在以?O?為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)

13、系中，射線?l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤ ）與?C1?交 于?O、A?兩點(diǎn)，與?C2?交于?O、B?兩點(diǎn)．當(dāng)?α=0?時(shí)，|OA|=1；當(dāng)?α= |OB|=2． （Ⅰ）求?a，b?的值； . 學(xué)習(xí)參 考 . 時(shí)， .. . . .. （Ⅱ）求?2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值． 14．在平面直角坐標(biāo)系中?，曲線?C1： （a?為參數(shù)?）經(jīng)過(guò)伸縮變換

14、 后，曲線為?C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)?，x?軸正半軸為極軸建極坐標(biāo) 系． （Ⅰ）求?C2?的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)曲線?C3?的極坐標(biāo)方程為?ρsin（ 于?P，Q?兩點(diǎn)，求|PQ|的值． ﹣θ）=1，且曲線?C3?與曲線?C2?相交 . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 15．已知半圓?C?的參數(shù)方程為 ，a?為參數(shù)，a∈[﹣ ， ]． （Ⅰ）在直角坐標(biāo)系?xOy?中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的

15、非負(fù)半軸為極軸建立極 坐標(biāo)系，求半圓?C?的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)?T?是半圓?C?上一點(diǎn)，且?OT= 坐標(biāo)． ，試寫(xiě)出?T?點(diǎn)的極 16．已知曲線?C1?的參數(shù)方程為 （t?為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為?ρ=2sinθ． （Ⅰ）把?C1?的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）求?C1?與?C2?交點(diǎn)的極坐標(biāo)（

16、ρ≥0，0≤θ＜2π） . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 《極坐標(biāo)與參數(shù)方程》綜合測(cè)試題答案 一．解答題（共?16?小題） 1．在極坐標(biāo)系中?，已知曲線?C：ρ=2cosθ，將曲線?C?上的點(diǎn)向左平移一個(gè)單 位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的?2?倍，得到曲線?C1，又已知直線?l 過(guò)點(diǎn)?P（1,0），傾斜角為?p?，且直線?l?與曲線?C1?交于?A，B?兩點(diǎn)． 3 （1）求曲線?C1?的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它是什么曲線； （2）求 + ．

17、 【解答】解：（1）曲線?C?的直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣2x=0?即（x﹣1）2+y2=1． ∴曲線?C1?的直角坐標(biāo)方程為 ∴曲線?C?表示焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ =1， ，0），（??，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為?4?的橢圓 （2）將直線?l?的參數(shù)方程代入曲線?C?的方程 設(shè)?A、B?兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為?t1，t2， =1?中，得13t?2?+?4t?-?12?=?0?． ∴ + =?2?10?． 3 2．在直角坐標(biāo)系?xOy?中，圓?C?的參數(shù)方程

18、 極點(diǎn)，x?軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （1）求圓?C?的極坐標(biāo)方程； （2）直線?l?的極坐標(biāo)方程是?2ρsin（θ+ ）=3 （φ?為參數(shù)），以?O?為 ，射線?OM：θ=??與圓?C?的 交點(diǎn)為?O、P，與直線?l?的交點(diǎn)為?Q，求線段?PQ?的長(zhǎng)． 【解答】解：（I）利用?cos2φ+sin2φ=1，把圓?C?的參數(shù)方程 . 學(xué)習(xí)參 考 .  為參 .. . . .. 數(shù)）化為（x﹣1）2+y2=1， ∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即?ρ=2cos

19、θ． （II）設(shè)（ρ1，θ1）為點(diǎn)?P?的極坐標(biāo)，由 ，解得 ． 設(shè)?（ρ?2?，θ?2?）?為點(diǎn)?Q?的極坐標(biāo)?，?由 ，?解得 ． ∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2． ∴|PQ|=2． 3．在極坐標(biāo)系中，圓?C?的極坐標(biāo)方程為：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以極點(diǎn) O?為原點(diǎn)，極軸所在直線為?x?軸建立平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求圓?C?的參數(shù)方程； （Ⅱ）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)?P（x，y）是圓?C?上動(dòng)點(diǎn)，試求

20、?x+y?的最大值，并求 出此時(shí)點(diǎn)?P?的直角坐標(biāo)． 【解答】（本小題滿分?10?分）選修?4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解：（Ⅰ）因?yàn)?ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6， 所以?x2+y2=4x+4y﹣6， 所以?x2+y2﹣4x﹣4y+6=0， 即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2?為圓?C?的普通方程．…（4?分） 所以所求的圓?C?的參數(shù)方程為 （θ?為參數(shù)）．…（6?分） . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， …（7?分） 當(dāng) 時(shí)，即點(diǎn)?P?的直角

21、坐標(biāo)為（3，3）時(shí)，…（9?分）x+y?取到最大值為 6．…（10?分） 4．若以直角坐標(biāo)系?xOy?的?O?為極點(diǎn)，Ox?為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極 坐標(biāo)系，得曲線?C?的極坐標(biāo)方程是?ρ= ． （1）將曲線?C?的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線； （t?為參數(shù)），?P????3?,0??÷?，當(dāng)直線?l?與曲線?C （2）若直線?l?的參數(shù)方程為  è?2??? 相交于?A，B?兩點(diǎn)，求 AB?2 PA?×?PB .

22、 【解答】解：（1）∵ρ= ，∴ρ2sin2θ=6ρcosθ， ∴曲線?C?的直角坐標(biāo)方程為?y2=6x．曲線為以（?，0）為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋 物線． （2）直線?l?的參數(shù)方程可化為 ，代入?y2=6x?得?t2﹣4t﹣12=0． 解得?t1=﹣2，t2=6． |=|t1﹣t2|=8．? AB?2 ∴|  PA?×?PB?= 2 3 5．在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，以原點(diǎn)?O?為極點(diǎn)，x?軸的非負(fù)半軸為極軸，建立 ì?x?=?3cos?q 極坐標(biāo)系，曲線?C1

23、?的參數(shù)方程為?í (q?為參數(shù)），曲線?C2?的極坐標(biāo)方程 ??y?=?2sin?q . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 為 ． （1）求曲線?C1?的普通方程和曲線?C2?的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)?P?為曲線?C1?上一點(diǎn)，Q?曲線?C2?上一點(diǎn)，求|PQ|的最小值及此時(shí)?P?點(diǎn)極 坐標(biāo)． 【?解答?】?解?：?（?1?）?由 ． 消去參數(shù)?α?，?得曲線?C1?的普通方程為 由 （2）設(shè)?P（2 得，曲線?C2?的直角坐標(biāo)方程為 cosα，2sinα），則

24、． 點(diǎn) P 當(dāng) 到?????曲?????線??????C2????的????距????離 ． 時(shí)，d?有最小值??，所以|PQ|的最小值為??． 為 6．在極坐標(biāo)系中，曲線?C?的方程為?ρ2= ，點(diǎn)?R（2 ， ）． （Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為?x?軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，把曲線?C?的 極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，R?點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)； （Ⅱ）設(shè)?P?為曲線?C?上一動(dòng)點(diǎn)，以?PR?為對(duì)角線的矩形?PQRS?的一邊垂直于極 軸，求

25、矩形?PQRS?周長(zhǎng)的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由于?x=ρcosθ，y=ρsinθ， 則：曲線?C?的方程為?ρ2= ，轉(zhuǎn)化成 ． 點(diǎn)?R?的極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)為：R（2，2）． （Ⅱ）設(shè)?P（ ） . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 根據(jù)題意，得到?Q（2，sinθ）， 則：|PQ|= 所以：|PQ|+|QR|= ，|QR|=2﹣sinθ， ． 當(dāng) 時(shí)，（|PQ|+|QR|）min=2， 矩形的最小周長(zhǎng)為?4． 7．已

26、知平面直角坐標(biāo)系中?，曲線?C1?的參數(shù)方程為 （φ?為參 數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線?C2?的極坐標(biāo)方 程為?ρ=2cosθ． （Ⅰ）求曲線?C1?的極坐標(biāo)方程與曲線?C2?的直角坐標(biāo)方程； （Ⅱ）若直線?θ= （ρ∈R）與曲線?C1?交于?P，Q?兩點(diǎn)，求|PQ|的長(zhǎng)度． 【解答】解：（I）曲線?C1?的參數(shù)方程為 （φ?為參數(shù)），利用平方 關(guān)系消去?φ?可得： 可得極坐標(biāo)方程： +（y+1）2=9，展開(kāi)為：x2+y2﹣2 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0． x+2y

27、﹣5=0， 曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為 ρ=2cosθ，?即?ρ2=2ρcosθ，?可得直角坐標(biāo)方程?： x2+y2=2x． （II）把直線?θ= （ρ∈R）代入 ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0， 整理可得：ρ2﹣2ρ﹣5=0， ∴ρ1+ρ2=2，ρ1?ρ2=﹣5， ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|= =???????????=2??． 8．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸，以相同的長(zhǎng)度單位 . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 建立極坐標(biāo)系，己知直線?l

28、?的極坐標(biāo)方程為?ρcosθ﹣ρsinθ=2，曲線?C?的極坐標(biāo) 方程為?ρsin2θ=2pcosθ（p＞0）． （1）設(shè)?t?為參數(shù)，若?x=﹣2+ t，求直線?l?的參數(shù)方程； （?2?）?已知直線?l?與曲線?C?交于?P?、?Q?，?設(shè)?M?（?﹣?2?，?﹣?4?），?且 |PQ|2=|MP|?|MQ|，求實(shí)數(shù)?p?的值． 【解答?】解：（?1）直線?l?的極坐標(biāo)方程為?ρcosθ﹣ρsinθ=2，?化為直角坐標(biāo)方 程：x﹣y﹣2=0． ∵x=﹣2+ t，∴y=x﹣2=﹣4+ t，∴直線?l?的參數(shù)方程為： （t?

29、為 參數(shù)）． （2）曲線?C?的極坐標(biāo)方程為?ρsin2θ=2pcosθ（p＞0），即為?ρ2sin2θ=2pρcosθ （p＞0），可得直角坐標(biāo)方程：y2=2px． 把直線?l?的參數(shù)方程代入可得：t2﹣（8+2p） ∴t1+t2=（8+2p） ，t1t2=8p+32． 不妨設(shè)|MP|=t1，|MQ|=t2． t+8p+32=0． |PQ|=|t1﹣t2|= ∵|PQ|2=|MP|?|MQ|， ∴8p2+32p=8p+32， 化為：p2+3p﹣4=0， 解得?p=1．

30、 =???????????????????=?????????． 9．在極坐標(biāo)系中?，射線?l：θ= 與圓?C：ρ=2?交于點(diǎn)?A，橢圓?Γ?的方程為 . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. ρ2= ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為?x?軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系?xOy （Ⅰ）求點(diǎn)?A?的直角坐標(biāo)和橢圓?Γ?的參數(shù)方程； （Ⅱ）若?E?為橢圓?Γ?的下頂點(diǎn)，F(xiàn)?為橢圓?Γ?上任意一點(diǎn)，求 ???的取值范圍． 【解答】解：（Ⅰ）射線?l：θ= 坐標(biāo)（ ，1）； 與圓?C：ρ=2?交

31、于點(diǎn)?A（2， ），點(diǎn)?A?的直角 橢圓?Γ?的方程為?ρ2= （θ?為參數(shù)）； （Ⅱ）設(shè)?F（ cosθ，sinθ）， ∵E（0，﹣1）， ，?直角坐標(biāo)方程為???+y2=1?，?參數(shù)方程為 ∴ =（﹣ ，﹣2），??=（??cosθ﹣??，sinθ﹣1）， ∴ ? =﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）= sin（θ+α）+5， ∴ ? 的取值范圍是[5﹣???，5+ ]． 10．已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的?C?參數(shù)方程

32、為 （φ?為參數(shù)），現(xiàn) 以原點(diǎn)為極點(diǎn)?，x?軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系?，直線?l?的極坐標(biāo)方程為 ρ= ． （1）求曲線?C?的普通方程和直線?l?的直角坐標(biāo)方程； （2）在曲線?C?上是否存在一點(diǎn)?P，使點(diǎn)?P?到直線?l?的距離最??？若存在，求出 距離的最小值及點(diǎn)?P?的直角坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【解答】解：（1）曲線的?C?參數(shù)方程為 （x﹣1）2+（y﹣1）2=4， （φ?為參數(shù)），普通方程為 . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 直線?l?的極坐標(biāo)方程

33、為?ρ= ，直角坐標(biāo)方程為?x﹣y﹣4=0； （2）點(diǎn)?P?到直線?l?的距離?d= ∴φ﹣ =2kπ﹣ ，即?φ=2kπ﹣ 的直角坐標(biāo)（1+ ，1﹣ ）． = （k∈Z），距離的最小值為?2 ， ﹣2，點(diǎn)?P 11．已知曲線?C1?的參數(shù)方程為 （t?為參數(shù)），以原點(diǎn)?O?為極點(diǎn)，以?x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為 ． （?I）求曲線?C2?的直角坐標(biāo)系方程； （?II）設(shè)?M1?是曲線?C1?上的點(diǎn)，M2?是曲線?

34、C2?上的點(diǎn)，求|M1M2|的最小值． 【解答】解：（I）由 可得?ρ=x﹣2，∴ρ2=（x﹣2）2，即?y2=4（x﹣ 1）； （Ⅱ）曲線?C1?的參數(shù)方程為 （t?為參數(shù)），消去?t?得：2x+y+4=0． ∴曲線?C1?的直角坐標(biāo)方程為?2x+y+4=0． ∵M(jìn)1?是曲線?C1?上的點(diǎn)，M2?是曲線?C2?上的點(diǎn)， ∴|M1M2|的最小值等于?M2?到直線?2x+y+4=0?的距離的最小值． 設(shè)?M2（r2﹣1，2r），M2?到直線?2x+y+4=0?的距離為?d， 則?d= = ≥????．

35、 ∴|M1M2|的最小值為 ． 12．設(shè)點(diǎn)?A?為曲線?C：ρ=2cosθ?在極軸?Ox?上方的一點(diǎn)，且?0≤θ≤ 為原點(diǎn)，極軸為?x?軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系?xOy， . 學(xué)習(xí)參 考 . ，以極點(diǎn) .. . . .. （1）求曲線?C?的參數(shù)方程； （2）以?A?為直角頂點(diǎn)，AO?為一條直角邊作等腰直角三角形?OAB（B?在?A?的右 下方），求點(diǎn)?B?軌跡的極坐標(biāo)方程． í 【解答】（1）?ì ? θ x?=?1?+?cosq???????p (

36、0?￡?q?￡??，?為參數(shù)） y?=?sin?q?????????2 （2）：設(shè)?A（ρ0，θ0），且滿足?ρ0=2cosθ0，B（ρ，θ）， 依題意， 即 代入?ρ0=2cosθ0?并整理得， ， ， 所以點(diǎn)?B?的軌跡方程為 ， ． 13．在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，曲線?C1： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?a＞ 0），曲線?C2： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?b＞0）．在以?O?為極點(diǎn)，x?軸的 正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線?l：θ=α（ρ≥0

37、，0≤α≤ 兩點(diǎn)，與?C2?交于?O、B?兩點(diǎn)．當(dāng)?α=0?時(shí)，|OA|=1；當(dāng)?α= ）與?C1?交于?O、A 時(shí)，|OB|=2． （Ⅰ）求?a，b?的值； （Ⅱ）求?2|OA|2+|OA|?|OB|的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由曲線?C1： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?a＞0）， 化為普通方程為（x﹣a）2+y2=a2，展開(kāi)為：x2+y2﹣2ax=0， 其?極?坐?標(biāo)?方?程?為?ρ2=2aρcosθ?，?即?ρ=2acosθ?，?由?題?意?可?得?當(dāng)?θ=0?時(shí)?， |OA|=ρ=1，∴a=?． 曲線?

38、C2： （φ?為參數(shù)，實(shí)數(shù)?b＞0）， 化為普通方程為?x2+（y﹣b）2=b2，展開(kāi)可得極坐標(biāo)方程為?ρ=2bsinθ， . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. 由題意可得當(dāng) 時(shí)，|OB|=ρ=2，∴b=1． （Ⅱ）由（I）可得?C1，C2?的方程分別為?ρ=cosθ，ρ=2sinθ． ∴ 2|OA|2+|OA|?|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=  +1， ∵2θ+ 當(dāng)?2θ+ ∈ =??時(shí)，

39、θ= ，∴ 時(shí)取到最大值． +1?的最大值為??+1， 14．在平面直角坐標(biāo)系中?，曲線?C1： （a?為參數(shù)?）經(jīng)過(guò)伸縮變換 后的曲線為?C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． （Ⅰ）求?C2?的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）設(shè)曲線?C3?的極坐標(biāo)方程為?ρsin（ 于?P，Q?兩點(diǎn)，求|PQ|的值． 【解答?】解：（Ⅰ）?C2?的參數(shù)方程為 ﹣θ）=1，且曲線?C3?與曲線?C2?相交 （α?為參數(shù)?），?普通方程為 （x′﹣1）2+

40、y′2=1， ∴C2?的極坐標(biāo)方程為?ρ=2cosθ； （Ⅱ）C2?是以（1，0）為圓心，2?為半徑的圓，曲線?C3?的極坐標(biāo)方程為?ρsin （ ﹣θ）=1，直角坐標(biāo)方程為?x﹣ y﹣2=0， ∴圓心到直線的距離?d= =?， ∴|PQ|=2 =??． 15．已知半圓?C?的參數(shù)方程為 ，a?為參數(shù)，a∈[﹣??，??]． . 學(xué)習(xí)參 考 . .. . . .. （Ⅰ）在直角坐標(biāo)系?xOy?中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的非負(fù)半軸為極軸建立極

41、 坐標(biāo)系，求半圓?C?的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設(shè)?T?是半圓?C?上一點(diǎn)，且?OT= 坐標(biāo)． ，試寫(xiě)出?T?點(diǎn)的極 【解答】解：（Ⅰ）由半圓?C?的參數(shù)方程為 ，a?為參數(shù)，a∈[﹣??， ]， 則圓的普通方程為?x2+（y﹣1）2=1（0≤x≤1）， 由?x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2， 可得半圓?C?的極坐標(biāo)方程為?ρ=2sinθ，θ∈[0， ]； （Ⅱ）由題意可得半圓?C?的直徑為?2，設(shè)半圓的直徑為?OA， 則?sin∠TAO= ，

42、 由于∠TAO∈[0， ]，則∠TAO=??， 由于∠TAO=∠TOX， 所以∠TOX= ， T?點(diǎn)的極坐標(biāo)為（  ，??）． 16． 已知曲線?C1?的參數(shù)方程為 （t?為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x?軸的 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為?ρ=2sinθ． （Ⅰ）把?C1?的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）求?C1?與?C2?交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π） 【解答】解：（Ⅰ）曲線?C1?的參數(shù)方程式

43、 . 學(xué)習(xí)參 考 . （t?為參數(shù)）， .. . . .. 得（x﹣4）2+（y﹣5）2=25?即為圓?C1?的普通方程， 即?x2+y2﹣8x﹣10y+16=0． 將?x=ρcosθ，y=ρsinθ?代入上式，得． ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0，此即為?C1?的極坐標(biāo)方程； （Ⅱ）曲線?C2?的極坐標(biāo)方程為?ρ=2sinθ?化為直角坐標(biāo)方程為：x2+y2﹣2y=0， 由 ，解得 或 ． ∴C1?與?C2?交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為（ ， ），（2，??）． . 學(xué)習(xí)參 考 .