《工程力學第11章(彎曲應力).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《工程力學第11章(彎曲應力).ppt（80頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、,,第十一章 彎曲應力,11-1 引言, 橫力彎曲, 純彎曲,梁橫截面上既有正應力又有切應力。,梁橫截面上只有正應力無切應力。,常數(shù),11-2 截面（平面圖形）的幾何性質,一、截面的靜矩與形心,截面對z軸的靜矩,,,注意：截面對某軸的靜矩為零，則該軸過截面形心；反之，軸過截面形心，則截面對該軸的靜矩為零。所以截面對形心軸的靜矩恒等于零。,截面對y軸的靜矩,二、慣性積,截面對y、z軸的慣性積,若y、z軸中有一軸為截面的 對稱軸，則 Iyz = 0,主慣性軸：Iyz0的一對y、z軸。 形心主（慣性）軸：Iyz0且都過形心 的一對y、z軸,三、慣性矩,1.截面對軸的慣性矩,截面對z軸
2、的慣性矩,慣性矩與極慣性矩的關系,截面對y軸的慣性矩,2.慣性半徑,分別稱為圖形對y、z軸的慣性半徑。,3.常見截面對形心主軸慣性矩的計算, 矩形截面,（矩形截面高h ，寬b ，z軸過截面形心平行矩形底邊）,,類似地：, 圓形截面,（直徑為d ，y、z軸過圓心）,,,,,類似地：, 圓環(huán)截面,（內徑為d ，外徑為D ，y、z軸過圓心）, 組合截面,截面對軸的慣性矩等于該截面各部分對同一軸的慣性矩之和。, 型鋼截面,可以查閱有關工程手冊（型鋼表）得到。,四、平行移軸定理,截面對任一坐標軸的慣性矩，等于對與其平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。,類似地：,（yC軸過形心）,例：
3、計算圖示T 形截面對其形心軸yC 的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標系如圖,截面對形心軸yC的慣性矩,11-3 對稱彎曲正應力,在梁的縱向對稱面內作用一對等值反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。,一、純彎曲時的正應力,1.變形幾何關系,實驗現(xiàn)象,(1)縱向線由直線變成曲線，且ab伸長、cd縮短。 (2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對 其原方位有一微小的偏轉。,,,平面假設,變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉一個小角度。,中性層：在彎曲變形時梁中既 不伸長也不縮短的一層 纖維,中性軸：中性層與橫截面的交線。,由于載荷作用于
4、縱向對稱面內，故中性軸z與橫截面對稱軸y垂直。,距離中性層為y處的纖維ab變形前長度,纖維縱向線應變?yōu)?距離中性層為y處的纖維ab變形后長度,變形規(guī)律,設中性層的曲率半徑為,變形規(guī)律：,2.物理關系,,,,公式中中性層的曲率半徑未知，其與內力、材料、截面的尺寸、形狀有關。,時,橫截面上正應力分布規(guī)律圖,中性軸z必過截面形心，同時中性軸z與截面縱向對稱軸y垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之交點為形心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內。,,,,,,,,,3.靜力關系,(1),,,,,,,,,y、z軸為截面的形心主慣性軸.,(2),,,,,,,,,抗彎剛度：截面抵抗彎曲變形的能力,,(3),純彎曲時
5、正應力計算公式,,,,橫截面上的彎矩,橫截面對于中性軸的慣性矩,所求應力的點距中性軸的垂直距離,,,,上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。,梁彎曲變形凸出一側為拉應力 凹入一側為壓應力,二、橫力彎曲時的正應力,彎曲平面假設不成立,應用時肯定有誤差，但誤差在允許范圍內。 特別是對于細長梁，誤差更小。,橫力彎曲時正應力計算公式：,三、最大彎曲正應力,同一橫截面上距離中性軸最遠處正應力最大。,,, 矩形截面, 實心圓截面, 空心圓截面,抗彎截面系數(shù),,例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量E = 200GPa。計算梁內的最大彎曲
6、正應力與梁軸的曲率半徑。,解：截面的彎矩,查型鋼表,梁內的最大彎曲正應力,梁軸的曲率半徑,例：寬度b = 6mm、厚度= 2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑D = 1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E = 200GPa。試求鋼帶內的最大彎曲正應力與鋼帶承受的彎矩。,解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑,橫截面離中性軸最遠距離,11-4 對稱彎曲切應力,一、矩形截面梁的彎曲切應力,,假設 (1)橫截面上各點切應力方向平行于剪力. (2)切應力沿截面寬度均勻分布。,左右兩個面上由正應力引起的軸力：,頂面有切向力,由切應力互等定理, 矩形截面,,切應力沿截面高度拋物線分布,,最外緣處切應力等于零
7、,中性軸處切應力最大,,,,,,二、工字形截面梁的彎曲切應力,1.腹板的切應力,,最大切應力在中性軸上,腹板內切應力沿高度拋物線分布,最小切應力在腹板與翼緣的交界處,,,,2.翼緣的切應力,翼緣部分切應力分布復雜且數(shù)值很小，一般不作計算，認為翼緣主要承受截面的彎矩。,腹板的面積,,腹板厚度 遠小于翼緣寬度 b 時， ， ，可認為腹板上的切應力均勻分布,三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應力,圓形截面：,環(huán)形截面：,例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比較梁的最大正應力與最大切應力。,解：梁的最大剪力、最大彎矩為,,,,11-5 梁的彎曲強度條件,一、彎曲正應力強度條件,對于塑性材料
8、的等直梁：,對于塑性材料的變截面梁：,對于脆性材料的梁：,, 確定危險截面：充分考慮彎矩、截面尺寸 、材料。,, 當材料抗拉、抗壓強度不同（如脆性材料）時，應分別進行抗拉、抗壓的強度計算。, 對于等直梁，當中性軸為截面對稱軸時，危險截面在,當中性軸不為截面對稱軸時，,危險截面在,處；,處（兩個截面）。,根據(jù)梁的正應力強度條件可討論三類強度問題（強度校核、截面尺寸設計、許可載荷確定）。具體計算時應注意以下幾點：,例：圖示圓截面軸AD，中段BC承受均布載荷q = 10kN/m作用，材料許用應力=140MPa。試確定軸徑。,解： 確定支座約束力，作彎矩圖,,, 確定軸徑,AB、CD段最大彎矩,,,,
9、確定AB、CD段軸徑,,,確定BC段軸徑,BC段最大彎矩,例：T 形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗拉許用應力為 t = 30MPa，抗壓許用應力為 c = 160MPa，試校核梁的強度。,解： 求支座約束力，作彎矩圖,解得：,, 截面幾何性質,形心位置,,截面對中性軸的慣性矩,, 強度校核,最大拉應力校核，B截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應 力發(fā)生位置,C截面,B截面,,,,C截面應 力分布圖,,B截面應 力分布圖,,最大壓應力校核，最大壓應力發(fā)生在B截面下邊緣各點,B截面,所以此梁的強度滿足要求。,B截面應 力分布圖,,例：單梁吊車跨度l = 10.5m，由No.45a工字
10、鋼制成，材料的=140MPa 。 試計算能否起吊F = 85kN的重物； 若不能，則在上下翼緣各焊接一塊10010的鋼板，鋼板長a = 7m，再校核其強度； 求加固鋼板的經濟安全長度。,解： 校核未加固梁的強度,當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大,查型鋼表,所以此梁不能起吊F = 85kN的重物。, 校核加固梁的強度,加固處截面強度校核,,,當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大,,未加固處截面強度校核,設加固鋼板長度為a，當小車作用在梁中點位置處，未加固截面的最大彎矩,當小車作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面的最大彎矩,所以未加固截面的最大彎矩,未加固截面,,,所以加固以后
11、該梁是安全的。, 計算加固鋼板的經濟安全長度，設加固鋼板為x,,,二、彎曲切應力強度條件,不同截面形式的等直梁，其最大切應力計算公式：,矩形截面：,工字型截面：,圓形截面：,環(huán)形截面：,注意：若為變截面梁，則還要考慮截面尺寸對最大切應力的影響,,一般情況下，梁的強度主要由正應力控制，切應力一般會滿足要求，但以下情況必須復核切應力強度：,1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。,3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪強度計算）。,2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應比值。,例：圖示起重機梁用工字鋼制成，
12、已知荷載F = 20kN，并可沿梁軸移動，梁的跨度l = 6m，許用正應力 = 100MPa，許用切應力 = 60MPa。試選擇工字鋼型號。,解： 按梁彎曲正應力強度條件初步選擇工字鋼型號,當小車位于梁的中點時，在梁的中點位置處彎矩最大,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,查型鋼表選擇No.22a工字鋼,, 按梁彎曲切應力強度條件復核初步選擇的工字鋼型號,當小車位于支座位置時，在此位置剪力最大,,,所以選擇工字鋼滿足彎曲正應力和彎曲切應力強度條件。,例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結的懸臂梁，在自由端作用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。,解：螺栓聯(lián)結后，兩根梁看成一個整體（高2a
13、，寬b）在F作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當于整個梁的中性層,各橫截面中性軸處切應力,中性層面上切應力,中性層面上的剪力,實際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力,中性層面上切應力,11-6 梁的合理強度設計,一、梁的合理截面形狀,1. 合理的截面形狀應該是截面面積較小，抗彎截面系數(shù)較大。, 定量分析,矩形,矩形比方形合理,方形比圓形合理,方形,圓形,,,假設矩形、方形和圓形的面積相同，即：, 定性分析,Wz 與截面面積對于中性軸的分布有關。材料分布越遠離中性軸，截面的Wz 越大。,梁橫截面上正應力沿高度線性分布，中性軸附近正應力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將材料移置距中性軸較
14、遠處，使之充分利用。,2.考慮材料的特性來選擇截面的合理形狀, 抗拉和抗壓強度相等的材料，宜采用中性軸為對稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。, 抗拉和抗壓強度不相等的材料，宜采用中性軸偏向一側（許用應力較小的一側）的截面，使 y1 和 y2 之比接近于下列關系,,例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應力 t=45MPa，許用壓應力 c=80MPa ，為使梁重量最輕，試確定截面的頂邊寬度a 與底邊寬度b 的最佳比值。,解：截面形心距底邊距離是,為使截面合理，滿足下列條件,解得：,二、變截面梁和等強度梁,1.變截面梁,2.等強度梁,,改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。,變截
15、面梁各橫截面的最大正應力都等于許用應力。,例：圖示集中力F 作用下的簡支梁，截面為矩形，設寬度b 不變，設計等強度梁。,解：,,,在支座附近，按切應力強度條件確定截面最小高度,,三、梁的合理受力,1.合理布置梁的支座,2.盡量將載荷分散作用,,,11-7 平面彎曲組合, 斜彎曲,彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。,外力都作用在通過梁軸線的兩個不同的主軸平面內,外力作用在通過軸線的非慣性主軸平面內,斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形,,,一、內力與應力的計算,,,xy平面內的彎曲，中性軸為z,xz平面內的彎曲，中性軸為y,,任意截面x上的內力,,,,,( xy平面內的彎曲 ),( xz平面內的
16、彎曲）,任取截面x上任意點，坐標為( y ,z ),,,,,,中性軸方程,,,二、最大正應力與強度條件,設危險截面上危險點（正應力最大點）的坐標為( y0 ,z0),,,,,1.矩形截面,,,2.圓截面,,,正應力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠的點應力最大。對于圓形截面兩個最大正應力值的位置不重合在一點，但圓截面對于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一樣的，同時有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面的最大正應力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計算。,,,例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b = 90mm ，高度h = 180mm ，兩在兩個不同的截面處分別承受水平力F1和鉛垂力F2。已知F1 = 800N
17、 ，F(xiàn)2 = 1650N ，l = 1m ，求梁內的最大正應力并指出其作用位置。,解：經分析固定端處A 點拉 應力最大，B 點壓應力最大,,,例：圖示吊車梁，跨度l = 4m ，用No.20a 工字鋼制成。當起吊時，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對稱軸。若載荷F = 20kN ，偏斜角=5o，試計算梁內的最大彎曲正應力。,,,解：當載荷位于梁中點時，梁截面的彎矩My 、Mz 在中點位置同時有最大值,,,查型鋼表,,,,,,11-8 彎拉（壓）組合,軸向力與橫向力同時作用, 拉（壓）與彎曲的組合,不通過截面形心的縱向力，即偏心拉伸與壓縮,,,一、軸向力與橫向力同時作用引起的彎拉（
18、壓）組合,1.內力與應力的計算,軸向力,橫向力,（對實心截面引起切應力很小，忽略）,,,,,,,,,2.最大正應力與強度條件,軸力為拉力,軸力為壓力,危險點為單向應力狀態(tài)（忽略彎曲切應力），強度條件：,,,二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合,1.內力與應力的計算,偏心力F 向截面形心平移,,,,,,,,2.最大正應力與強度條件, 矩形截面,軸力為拉力,,,軸力為壓力,危險點為單向應力狀態(tài)，強度條件：,,,例：小型壓力機的鑄鐵框架如圖，已知材料的許用拉應力t = 30MPa ，許用壓應力c = 160MPa 。試按立柱的強度確定壓力機的最大許用壓力F 。,解： 計算截面的幾何性質,,,,,, 求截
19、面內力,由平衡條件可得截面的軸力和彎矩分別為, 求截面最大拉、壓應力，以抗拉、壓強度條件求最大許用壓力,解得：,解得：,所以壓力機的最大許用壓力 F = 45.1kN 。,,,例：圖示梁承受集中載荷F 作用，已知載荷F = 10kN ，梁長l = 2m ，載荷作用點與梁軸的距離e = l / 10 ，方位角=30o ，許用應力=160MPa 。試選擇合適的工字鋼型號。,解： 計算簡圖確定,,,,軸向拉伸,xy 平面內彎曲,,,,,, 作各變形對應的內力圖,由內力圖及強度公式可判斷A 截面為危險截面,FN 圖,M 圖,,, 根據(jù)彎曲強度條件初步選擇工字鋼型號,查型鋼表初步選擇No.12.6 工字鋼,按彎拉組合受力校核強度,所以選擇No.12.6 工字鋼滿足強度要求。,例：單臂液壓機機架的橫截面尺寸如圖，計算該截面對形心軸yC的慣性矩。,解：確定形心軸的位置，坐標系如圖,截面對形心軸yC的慣性矩,
工程力學第11章(彎曲應力).ppt
