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1、第三分冊 結(jié)構(gòu)力學(xué),第4章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算 Calculation of Statically Displacement Structures,4-1 結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念 4-2 變形體系的虛功原理和單位荷載法 4-3 靜定結(jié)構(gòu)由荷載所引起的位移 4-4 圖乘法 4-5 互等定理,結(jié)構(gòu)力學(xué),目 錄,產(chǎn)生位移的原因：（1）荷載,（2）溫度變化、材料脹縮,（3）支座沉降、制造誤差,以上都是絕對位移,結(jié)構(gòu)力學(xué),4-1 結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念,計算位移的目的：(1)剛度驗(yàn)算，(2)超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。,位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便。,以上都是相對位移,廣義位移,結(jié)構(gòu)力學(xué),=AV
2、+BV,W=F,2、廣義力與廣義位移： 作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力F。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移。 廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是功。即：W=F 1）廣義力是單個力，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)的位移在力作用方向上的分量。 2）廣義力是一個力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角。,3）若廣義力是等值、反向、共線的一對力P,這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。 表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),1、功：,這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。,表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角,3、實(shí)功與虛功,實(shí)功是力在自身引起的位移上所作的功。 實(shí)功恒為正。 虛功是力在其它
3、原因產(chǎn)生的位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負(fù)。,4）若廣義力是一對等值、反向的力偶 m,結(jié)構(gòu)力學(xué),5）若廣義力是一對等值、反向、不共線的力 P,內(nèi)力虛功：,位移狀態(tài),力狀態(tài),結(jié)構(gòu)力學(xué),4-2 變形體系的虛功原理和單位荷載法,一、變形體系虛功原理： 設(shè)變形體系在力系作用下處于平衡狀態(tài)（力狀態(tài)），又設(shè)該變形體系由于別的原因產(chǎn)生符合約束條件的連續(xù)變形（位移狀態(tài)），則力狀態(tài)的外力在變形狀態(tài)的位移上所作的虛功，恒等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上所作虛功（虛應(yīng)變能）。,外力虛功虛應(yīng)變能,結(jié)構(gòu)力學(xué),虛功原理兩種應(yīng)用： 1、虛位移原理 :實(shí)際力+虛設(shè)位移 2、虛力原理：實(shí)際位移+虛設(shè)力
4、,二、利用虛功原理，用單位荷載法求結(jié)構(gòu)位移一般公式：,K,外虛功：,內(nèi)虛功：,實(shí)際狀態(tài) （位移狀態(tài)）,虛擬狀態(tài) （力狀態(tài)）,結(jié)構(gòu)力學(xué),適用范圍與特點(diǎn)：,2） 形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。,關(guān)于公式普遍性的討論：,（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。,（2）變形原因：荷載與非荷載。,（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。,（4）材料種類：各種變形固體材料。,1） 適于小變形，可用疊加原理。,結(jié)構(gòu)力學(xué),三、位移計算的一般步驟:,實(shí)際變形狀態(tài),虛力狀態(tài),(1) 建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；,(3) 用位移公式計算所求位移，注意正負(fù)號問題。,結(jié)構(gòu)力學(xué),圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求
5、什么位移。,AB桿的轉(zhuǎn)角,AB連線的轉(zhuǎn)角,AB桿和AC桿的 相對轉(zhuǎn)角,結(jié)構(gòu)力學(xué),研究對象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。,重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變 的表達(dá)式。,一、計算步驟,（1）在荷載作用下建立 的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變 過程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。,（2）由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知,k-為截面形狀系數(shù),(3) 荷載作用下的位移計算公式,結(jié)構(gòu)力學(xué),4-3 靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移,二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式,（1）梁與剛架,（2）桁架,（3）拱,（4）桁，梁混合結(jié)構(gòu),梁式桿,鏈?zhǔn)綏U,結(jié)構(gòu)力學(xué),(a) 實(shí)際狀態(tài),(b) 虛設(shè)狀態(tài),AC段,1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：,結(jié)構(gòu)力學(xué),CB段
6、,2) 將上面各式代入位移公式分段積分計算,CB段,結(jié)構(gòu)力學(xué),設(shè)為矩形截面 k=1.2,結(jié)構(gòu)力學(xué),3）討論:比較剪切變形與彎曲變形對位移的影響。,設(shè)材料的泊松比 , 由材料力學(xué)公式 。,結(jié)構(gòu)力學(xué),P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例2 計算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),AD,DC,DE,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,結(jié)構(gòu)力學(xué),例3：求圖示曲桿（1/4圓弧）頂點(diǎn)的豎向位移。,解：1）虛擬單位荷載,結(jié)構(gòu)力學(xué),虛擬荷載,3）位移公式為,2）實(shí)際荷載,結(jié)構(gòu)力學(xué),可見剪切變形和軸向變形
7、引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計。但對于深梁剪切變形引起的位移不可忽略。,結(jié)構(gòu)力學(xué),鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,例4：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。 解：1）虛擬單位荷載,2）MP 須分段寫,結(jié)構(gòu)力學(xué),Px,試用單位荷載法求出梁的撓曲線。,結(jié)構(gòu)力學(xué),Mi=xtg,y0=x0tg,4-4 圖乘法,結(jié)構(gòu)力學(xué), 表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。 圖乘法的應(yīng)用條件： a）EI=常數(shù)； b）直桿； c）兩個彎矩圖至少有一個是直線。 豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對應(yīng)另一圖形的形心處。 面積與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)， y0 取正號，否則取負(fù)號。,結(jié)構(gòu)力學(xué),積分?？捎?/p>
8、圖形相乘來代替,幾種常見圖形的面積和形心的位置：,=hl/2,二次拋物線=2hl/3,二次拋物線=hl/3,二次拋物線=2hl/3,三次拋物線=hl/4,n次拋物線=hl/(n+1),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),結(jié)構(gòu)力學(xué),ql2/2,例5：求梁B點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。,例6：求梁B點(diǎn)豎向線位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),3a/4,例7：求圖示梁中點(diǎn)的撓度。,？,結(jié)構(gòu)力學(xué),例8：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。,l/6,？,結(jié)構(gòu)力學(xué),非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形 a）直線形乘直線形,結(jié)構(gòu)力學(xué),b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線乘直線形,h1,h2,結(jié)構(gòu)力學(xué),各種曲線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。,結(jié)構(gòu)力學(xué),結(jié)構(gòu)力學(xué),E
9、=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折減抗彎剛度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2,例9：預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土墻板單點(diǎn)起吊過程中的計算簡圖。 已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點(diǎn)的撓度。,解：q=2500010.025625 N/ m,結(jié)構(gòu)力學(xué),P=1,0.8,2,結(jié)構(gòu)力學(xué),例10、求AB兩點(diǎn)的相對水平位移。,6,3,結(jié)構(gòu)力學(xué),),結(jié)構(gòu)力學(xué),例11、求B點(diǎn)豎向位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),例12、求B端轉(zhuǎn)角。,結(jié)構(gòu)力學(xué),例13、求A點(diǎn)水平位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),m,結(jié)構(gòu)力
10、學(xué),例14、求B點(diǎn)的豎向位移。,？,ql2/8,l/2,？,結(jié)構(gòu)力學(xué),ql2/8,l/2,結(jié)構(gòu)力學(xué),例15、求D點(diǎn)的豎向位移。,5P,8P,1,3P,結(jié)構(gòu)力學(xué),例16 試求等截面簡支梁C截面的轉(zhuǎn)角。,1,=,結(jié)構(gòu)力學(xué),應(yīng)用條件： 1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比; 2)變形是微小的。 即:線性變形體系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,一、功的互等定理,4-5 互等定理,結(jié)構(gòu)力學(xué),二、位移互等定理,稱為位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應(yīng)的位移。,結(jié)構(gòu)力學(xué),功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W12等于狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W21。即： W12= W21,
11、位移互等定理：在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移影響系數(shù)21 等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)12 。或者說,由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移12 。,注意： 1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。 2）12與21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。,結(jié)構(gòu)力學(xué),三、反力互等定理,稱為反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應(yīng)的反力。,結(jié)構(gòu)力學(xué),反力互等定理：在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21 等于由位移c2所引起的與位移c1相應(yīng)的反力影響系
12、數(shù)r12 ?；蛘哒f,由單位位移c1=1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移c2=1所引起的與位移c1相應(yīng)的反力r12 。,注意： 1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應(yīng)的廣義力。 2）反力互等定理僅用于超靜定結(jié)構(gòu)。,結(jié)構(gòu)力學(xué),例17：已知圖結(jié)構(gòu)的彎矩圖 求同一結(jié)構(gòu)由于支座A的轉(zhuǎn)動 引起C點(diǎn)的撓度。 解：W12=W21 W21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16,結(jié)構(gòu)力學(xué),例18、已知圖a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，試?yán)L圖b的M圖。,(b),Wab=0=,Wba=PD+RC C,RC=3P/32,3Pa/32,結(jié)構(gòu)力學(xué),小 結(jié),虛力原理（求未知位移） 虛功方程等價于位移條件,二、=,剛架、梁,桁架,支座移動,各項(xiàng)含義 虛設(shè)廣義單位荷載的方法,結(jié)構(gòu)力學(xué),標(biāo)準(zhǔn)圖形的面積和形心位置 非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形的處理方法,四、互等定理 適用條件內(nèi)容,W12= W21,r12=r21,三、圖乘法求位移,圖乘法求位移的適用條件 y0的取法,結(jié)構(gòu)力學(xué),本章結(jié)束,
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