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1、第三分冊(cè) 結(jié)構(gòu)力學(xué),第4章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 Calculation of Statically Displacement Structures,4-1 結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念 4-2 變形體系的虛功原理和單位荷載法 4-3 靜定結(jié)構(gòu)由荷載所引起的位移 4-4 圖乘法 4-5 互等定理,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),目 錄,產(chǎn)生位移的原因：（1）荷載,,,,（2）溫度變化、材料脹縮,（3）支座沉降、制造誤差,以上都是絕對(duì)位移,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),4-1 結(jié)構(gòu)位移和虛功的概念,計(jì)算位移的目的：(1)剛度驗(yàn)算，(2)超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)。,位移計(jì)算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便。,,以上都是相對(duì)位移,廣義位
2、移,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),=AV+BV,,,,W=F,2、廣義力與廣義位移： 作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力F。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移。 廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是功。即：W=F 1）廣義力是單個(gè)力，則廣義位移是該力的作用點(diǎn)的位移在力作用方向上的分量。 2）廣義力是一個(gè)力偶，則廣義位移是它所作用的截面的轉(zhuǎn)角。,3）若廣義力是等值、反向、共線的一對(duì)力P,這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。 表示AB兩點(diǎn)間距的改變，即AB兩點(diǎn)的相對(duì)位移。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),1、功：,這里是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。,表示AB兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角,3、實(shí)功與虛功,實(shí)功是力在自身引起的
3、位移上所作的功。 實(shí)功恒為正。 虛功是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如力與位移同向，虛功為正，反向時(shí)，虛功為負(fù)。,4）若廣義力是一對(duì)等值、反向的力偶 m,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),5）若廣義力是一對(duì)等值、反向、不共線的力 P,內(nèi)力虛功：,位移狀態(tài),力狀態(tài),,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),4-2 變形體系的虛功原理和單位荷載法,一、變形體系虛功原理： 設(shè)變形體系在力系作用下處于平衡狀態(tài)（力狀態(tài)），又設(shè)該變形體系由于別的原因產(chǎn)生符合約束條件的連續(xù)變形（位移狀態(tài)），則力狀態(tài)的外力在變形狀態(tài)的位移上所作的虛功，恒等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上所作虛功（虛應(yīng)變能）。,外力虛功虛應(yīng)變能,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),虛功原理兩種應(yīng)用：
4、1、虛位移原理 :實(shí)際力+虛設(shè)位移 2、虛力原理：實(shí)際位移+虛設(shè)力,二、利用虛功原理，用單位荷載法求結(jié)構(gòu)位移一般公式：,,,K,外虛功：,內(nèi)虛功：,實(shí)際狀態(tài) （位移狀態(tài)）,虛擬狀態(tài) （力狀態(tài)）,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),適用范圍與特點(diǎn)：,2） 形式上是虛功方程，實(shí)質(zhì)是幾何方程。,關(guān)于公式普遍性的討論：,（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。,（2）變形原因：荷載與非荷載。,（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。,（4）材料種類：各種變形固體材料。,1） 適于小變形，可用疊加原理。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),三、位移計(jì)算的一般步驟:,實(shí)際變形狀態(tài),虛力狀態(tài),(1) 建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；,(3)
5、用位移公式計(jì)算所求位移，注意正負(fù)號(hào)問題。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。,,,,,,,AB桿的轉(zhuǎn)角,AB連線的轉(zhuǎn)角,AB桿和AC桿的 相對(duì)轉(zhuǎn)角,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),研究對(duì)象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。,重點(diǎn)在于解決荷載作用下應(yīng)變 的表達(dá)式。,一、計(jì)算步驟,（1）在荷載作用下建立 的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變 過程推導(dǎo)應(yīng)變表達(dá)式。,（2）由上面的內(nèi)力計(jì)算應(yīng)變，其表達(dá)式由材料力學(xué)知,k--為截面形狀系數(shù),,(3) 荷載作用下的位移計(jì)算公式,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),4-3 靜定結(jié)構(gòu)由荷載引起的位移,二、各類結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式,（1）梁與剛架,（2）桁架,（3）拱,（4）
6、桁，梁混合結(jié)構(gòu),梁式桿,,鏈?zhǔn)綏U,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,(a) 實(shí)際狀態(tài),(b) 虛設(shè)狀態(tài),AC段,1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),CB段,2) 將上面各式代入位移公式分段積分計(jì)算,CB段,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),設(shè)為矩形截面 k=1.2,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),3）討論:比較剪切變形與彎曲變形對(duì)位移的影響。,設(shè)材料的泊松比 , 由材料力學(xué)公式 。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,P,P,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,例2 計(jì)算屋架頂點(diǎn)的豎向位移。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),AD,DC,DE,CE,AE,EG
7、,A,B,C,D,E,F,G,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,例3：求圖示曲桿（1/4圓?。╉旤c(diǎn)的豎向位移。,解：1）虛擬單位荷載,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),虛擬荷載,3）位移公式為,,2）實(shí)際荷載,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),可見剪切變形和軸向變形引起的位移與彎曲變形引起的位移相比可以忽略不計(jì)。但對(duì)于深梁剪切變形引起的位移不可忽略。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,例4：求圖示等截面梁B端轉(zhuǎn)角。 解：1）虛擬單位荷載,2）MP 須分段寫,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,Px,試用單位荷載法求出梁的撓曲線。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,Mi=xtg,y0=x0tg,4-4 圖乘法,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué), 表
8、示對(duì)各桿和各桿段分別圖乘再相加。 圖乘法的應(yīng)用條件： a）EI=常數(shù)； b）直桿； c）兩個(gè)彎矩圖至少有一個(gè)是直線。 豎標(biāo)y0取在直線圖形中，對(duì)應(yīng)另一圖形的形心處。 面積與豎標(biāo)y0在桿的同側(cè)， y0 取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),積分常可用圖形相乘來(lái)代替,幾種常見圖形的面積和形心的位置：,=hl/2,二次拋物線=2hl/3,,二次拋物線=hl/3,二次拋物線=2hl/3,三次拋物線=hl/4,n次拋物線=hl/(n+1),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),頂點(diǎn),,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,,ql2/2,,,例5：求梁B點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移。,例6：求梁B點(diǎn)豎向線位移。,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,,3a/4,,例7：求
9、圖示梁中點(diǎn)的撓度。,？,,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例8：求圖示梁C點(diǎn)的撓度。,,,,l/6,,,？,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形 a）直線形乘直線形,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,b)非標(biāo)準(zhǔn)拋物線乘直線形,,,h1,h2,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),各種曲線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標(biāo)在基線同側(cè)乘積取正，否則取負(fù)。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折減抗彎剛度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2,例9：預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土墻板單點(diǎn)起吊過程
10、中的計(jì)算簡(jiǎn)圖。 已知：板寬1m，厚2.5cm，混凝土容重為25000N/m3，求C點(diǎn)的撓度。,解：q=2500010.025625 N/ m,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,,P=1,,,0.8,,,,,,2,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例10、求AB兩點(diǎn)的相對(duì)水平位移。,,,,,6,3,,,,,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),),,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例11、求B點(diǎn)豎向位移。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例12、求B端轉(zhuǎn)角。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例13、求A點(diǎn)水平位移。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),m,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,例14、求B點(diǎn)的豎向位移。,？,ql2/8,l/2,,？,,,,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,ql2/8,l/2,,,,,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例15、
11、求D點(diǎn)的豎向位移。,5P,8P,1,3P,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例16 試求等截面簡(jiǎn)支梁C截面的轉(zhuǎn)角。,,,1,,=,,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),應(yīng)用條件： 1)應(yīng)力與應(yīng)變成正比; 2)變形是微小的。 即:線性變形體系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,一、功的互等定理,4-5 互等定理,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),二、位移互等定理,,稱為位移影響系數(shù)，等于Pj=1所引起的與Pi相應(yīng)的位移。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),功的互等定理：在任一線性變形體系中，狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W12等于狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上作的功W21。即： W12= W21,,位移互等定理：在任一線性變形體系中，由荷載P1所引起的與荷載P2相應(yīng)的
12、位移影響系數(shù)21 等于由荷載P2所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移影響系數(shù)12 ?；蛘哒f(shuō),由單位荷載P1=1所引起的與荷載P2相應(yīng)的位移21等于由單位荷載P2=1所引起的與荷載P1相應(yīng)的位移12 。,注意： 1）這里荷載可以是廣義荷載，位移是相應(yīng)的廣義位移。 2）12與21不僅數(shù)值相等，量綱也相同。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),三、反力互等定理,,,稱為反力影響系數(shù)，等于cj=1所引起的與ci相應(yīng)的反力。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,,反力互等定理：在任一線性變形體系中，由位移c1所引起的與位移c2相應(yīng)的反力影響系數(shù)r21 等于由位移c2所引起的與位移c1相應(yīng)的反力影響系數(shù)r12 ?；蛘哒f(shuō),由單位位移c1=1所引起的與位
13、移c2相應(yīng)的反力r21等于由單位位移c2=1所引起的與位移c1相應(yīng)的反力r12 。,注意： 1）這里支座位移可以是廣義位移，反力是相應(yīng)的廣義力。 2）反力互等定理僅用于超靜定結(jié)構(gòu)。,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,例17：已知圖結(jié)構(gòu)的彎矩圖 求同一結(jié)構(gòu)由于支座A的轉(zhuǎn)動(dòng) 引起C點(diǎn)的撓度。 解：W12=W21 W21=0 W12=PC3Pl/16 0 C=3l /16,,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),例18、已知圖a梁支座C上升0.02m引起的D=0.03m/16，試?yán)L圖b的M圖。,(b),Wab=0=,Wba=PD+RC C,RC=3P/32,,,3Pa/32,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),小 結(jié),,虛力原理（求未知位移） 虛功方程等價(jià)于位移條件,二、=,剛架、梁,桁架,支座移動(dòng),各項(xiàng)含義 虛設(shè)廣義單位荷載的方法,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),標(biāo)準(zhǔn)圖形的面積和形心位置 非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形的處理方法,四、互等定理 適用條件內(nèi)容,W12= W21,r12=r21,,三、圖乘法求位移,圖乘法求位移的適用條件 y0的取法,,,,結(jié)構(gòu)力學(xué),,本章結(jié)束,,
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