人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_ 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題

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1、 人教版九上數(shù)學(xué) 專題訓(xùn)練_九_ 巧借旋轉(zhuǎn)妙解題 1. 請回答： (1) 如圖①，在等邊 ABC 中，點 P 在 △ABC 內(nèi)，且 PA=6，PC=8，∠APC=150°，求 PB 的長． 小敏在解決這個問題時，想到了以下思路：如圖①，把 △APC 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 60° 得到 △AP'B，連接 PP'，分別證明 △AP'P 和 △BP'P 是特殊三角形，從而得解．請在此思路提示下，求出 PB 的長． 解：把 △APC 繞著點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 60° 得到 △AP'B，連接 PP'． 接著寫下去： (2) 如圖②，點 P 在等邊 △ABC 外，且 PA=

2、4，PB=3，∠APB=120°，若 AB=210，求 ∠PBC 度數(shù)． 2. 如圖，在等腰 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，點 P 為 △ABC 外部的一點，且滿足 ∠APC+∠BPC=90°．求證：BP=3AP． 3. 如圖，在等腰 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，點 P 是 △ABC 內(nèi)一點，連接 PA，PB，PC，且 PA=2PC，設(shè) ∠APB=α，∠CPB=β． (1) 如圖①，若 ∠ACP=45°，將 △PBC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90° 至 △DAC，連接 DP，易證 △DAP 為等邊三角形，則 α= °，β= °；

3、 (2) 如圖②，若 PB=2PA，則 α= °，β= °； (3) 如圖③，猜想并寫出 α 與 β 之間的數(shù)量關(guān)系 ． 4. 請回答： (1) 【問題解決】 一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師提出了這樣一個問題：如圖①，點 P 是正方形 ABCD 內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出 ∠APB 的度數(shù)嗎？ 小明通過觀察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：將 △BPC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 △BP'A，連接 PP'，求出 ∠APB 的度數(shù)； 思路二：將 △APB 繞點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 △CP'B．連接 P

4、P'，求出 ∠APB 的度數(shù)． 請參考小明的思路，任選一種寫出完整的解答過程． (2) 【類比探究】 如圖②，若點 P 是正方形 ABCD 外一點，PA=3，PB=1，PC=11，求 ∠APB 的度數(shù)． 5. 閱讀下列材料： 小華遇到這樣一個問題，如圖①，△ABC 中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在 △ABC 內(nèi)部有一點 P，連接 PA，PB，PC，求 PA+PB+PC 的最小值． 小華是這樣思考的：要解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)”兩點之間，線段最短”，就可以求出這三

5、條線段和的最小值了．他先后嘗試了翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個問題．他的做法是：如圖②，將 △APC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 60°，得到 △EDC，連接 PD，BE，則 BE 的長即為所求． (1) 請你寫出圖②中，PA+PB+PC 的最小值為 ； (2) 參考小華思考問題的方法，解決下列問題： ①如圖③，菱形 ABCD 中，∠ABC=60°，在菱形 ABCD 內(nèi)部有一點 P，請在圖③中畫出并指明長度等于 PA+PB+PC 最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）； ②若①中菱形 ABCD 的邊長為 4，請直接寫出當(dāng) PA+PB+PC 值最小時 PB

6、的長． 答案 1. 【答案】 (1) 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，AP'=AP=6，BP'=PC=8，∠APC=∠AP'B=150°，∠P'AB=∠PAC， ∴∠P'AP=∠BAC=60°， ∴△AP'P 為等邊三角形， ∴P'P=PA=6，∠AP'P=60°， ∴∠PP'B=150°-60°=90°， 在 Rt△BP'P 中，P'P=6，BP'=8， ∴PB=PP'2+P'B2=62+82=10． (2) 如圖，把 △APB 繞著點 B 順時針旋轉(zhuǎn) 60° 得到 △BCD，連接 PD， ∵△ABC 是等邊三角形， ∴AB=BC=210，∠ABC=60°，

7、 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，AP=CD=4，BP=BD=3，∠APB=∠BDC=120°，∠PBA=∠DBC， ∴∠PBD=∠ABC=60°， ∴△PBD 為等邊三角形， ∴∠BDP=60°， ∴∠BDP+∠BDC=180°， ∴P，D，C 共線， ∵AB=BC=210，PB=3，PC=3+4=7， ∴PB2+BC2=PC2， ∴∠PBC=90°． 2. 【答案】如圖，將線段 AP 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn) 120° 得到線段 AF，連接 PF，BF，BF 交 PC 于點 H． ∴△APF 是頂角為 120° 的等腰三角形， 易證 △ABF≌△ACPSAS，

8、 ∴∠APC=∠AFB． 設(shè) ∠APC=α，則 ∠AFB=α，∠PFB=30°+α，∠BPC=90°-α， ∵∠PHB=∠HPF+∠PFH=30°-α+30°+α=60°， ∴∠PBH=180°-90°-α+60°=30°+α， ∴∠PBF=∠PFB， ∴PB=PF． 在 △PAF 中，易知 PF=3PA， ∴PB=3PA． 3. 【答案】 (1) 150；105 (2) 135；90 (3) α-β=45° 【解析】 (3) 如圖，將 △PBC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 90° 至 △DAC，連接 DP，延長 BP 交 AD 于點

9、 S， 由旋轉(zhuǎn)不變性可知 BP=AD，CD=CP，∠DCP=90°， ∴PD=2PC． ∵PA=2PC， ∴PA=PD． ∵∠BPC+∠CPS=180°，∠BPC=∠ADC， ∴∠ADC+∠CPS=180°， ∴∠PSD+∠PCD=180°， ∴∠PSD=90°， ∴PS⊥AD． ∵PA=PD， ∴SA=SD， ∴BA=BD． ∵BP=BP，PA=PD，BA=BD， ∴△BPA≌△BPDSSS， ∴∠APB=∠BPD． ∵∠BPD-∠BPC=∠CPD=45°， ∴α-β=45°． 4. 【答案】 (1) 選思路一

10、：如圖①，將 △BPC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn) 90°，得到 △BP'A，連接 PP'， ∴△ABP'≌△CBP， ∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3， 在 Rt△PBP' 中，BP=BP'=2， ∴∠BPP'=45°， 根據(jù)勾股定理得，PP'=2BP=22， ∵AP=1， ∴AP2+PP'2=1+8=9， ∵AP'2=32=9， ∴AP2+PP'2=AP'2， ∴△APP' 是直角三角形，且 ∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°． (2) 如圖②，將 △BPC 繞點 B 逆時針旋轉(zhuǎn)

11、90°，得到 △BP'A，連接 PP'， ∴△ABP'≌△CBP， ∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=11， 在 Rt△PBP' 中，BP=BP'=1， ∴∠BPP'=45°， 根據(jù)勾股定理得，PP'=2BP=2， ∵AP=3， ∴AP2+PP'2=9+2=11， ∵AP'2=112=11， ∴AP2+PP'2=AP'2， ∴△APP' 是直角三角形，且 ∠APP'=90°， ∴∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45°． 5. 【答案】 (1) 61 (2) ①如圖，將 △APC 繞點 C 順時針旋轉(zhuǎn) 60°，得到 △DEC，連接 PE，則線段 BD 即為 PA+PB+PC 最小值的線段． ② 433．