《平方差公式》教案 (公開課獲獎)教案 2022青島版

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1、 平方差公式 一、內(nèi)容和內(nèi)容解析 1、教學(xué)內(nèi)容 乘法公式的第一課時，兩數(shù)的和乘以這兩數(shù)的差，等于這兩個數(shù)的平方差。（即平方差公 式）。把某些具有特殊形式的多項式相乘的式子及其結(jié)果寫成公式的形式，就是乘法公式。 本節(jié)學(xué)習(xí)平方差公式。是本章的重點內(nèi)容。 2、內(nèi)容解析 從多項式乘法到乘法公式是一個一般到特殊的認識過程，從一些特殊形式的多項式乘法 到乘法公式，又是特殊到一般的過程，對平方差公式的學(xué)習(xí)和研究，既為符合公式特征的整 式乘法運算帶來簡便；又為后續(xù)學(xué)習(xí)利用公式法分解因式奠定基礎(chǔ)；同時，平方差公式在“正 與逆”兩方面的靈活運用有助于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。為此，它在初中代數(shù)教學(xué)中占有

2、重要 地位。 二、目標(biāo)和目標(biāo)解析 1、目標(biāo) 知識與技能目標(biāo)： （1）掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征； （2）理解公式中字母的廣泛含義； （2）會運用此公式進行運算。 過程與方法目標(biāo)： （1）學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般的過程，歸納出平方差公式，從中體會歸納的思想； （2）通過變式練習(xí)，理解公式中字母的含義，領(lǐng)會代數(shù)思想，提高觀察、分析和總結(jié)能 力； 情感態(tài)度價值觀目標(biāo)： 通過自主學(xué)習(xí)、合作探究、展示交流等環(huán)節(jié)，積累成功的心理體驗。 2、目標(biāo)解析 平方差公式的結(jié)構(gòu)，呈現(xiàn)出一種對稱美，其特點還可以通過面積圖得到解釋。 公式中的字母既可以代表一個數(shù)或字母，又可以代表一個復(fù)雜的代數(shù)式。

3、并且，這種代 表（實際是一種代數(shù)思想），還要靠適當(dāng)?shù)淖冃尾拍芸闯鰜恚兪骄毩?xí)在這方面，恰恰能發(fā) 揮積極地作用，因此，設(shè)計合理的變式練習(xí)，就顯得非常重要。于是，理解公式中字母的廣 泛含義，掌握平方差公式及其結(jié)構(gòu)特征且會運用此公式進行計算是本節(jié)的教學(xué)重點。 在教學(xué)過程中，主要引導(dǎo)學(xué)生開展“獨立探究與合作性學(xué)習(xí)有機結(jié)合”。堅持以“學(xué)生 發(fā)展為本”，引導(dǎo)、學(xué)生鼓勵學(xué)生對同一個問題積極尋求不同的思路、依靠他們自己的活動 去探索數(shù)學(xué)，以便培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識。 三、教學(xué)問題診斷 “平方差公式”的得出過程，是一個由特殊到一般的歸納過程，在這個過程中，學(xué)生對 公式的理解和掌握往往停留在簡單的數(shù)字

4、和字母上，對公式的變形以及靈活應(yīng)用會有困難或 錯誤，所以在重視學(xué)生對過程歸納的同時也要重視用文字語言正確的表述以及對公式中字母 廣泛含義的理解。使學(xué)生能在理解的基礎(chǔ)上加以記憶，在鞏固的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用。例如：對 于 （a+b+c）(a+b-c); (a+b-c)(a-b-c); (a+b+c)(a-b-c)的計算學(xué)生就往往難于領(lǐng)會到它 的思想和方法。 一般情況，對于平方差公式幾何意義的了解有部分學(xué)生也會感到困難。 揭示公式的特征和公式的靈活運用是本節(jié)的難點。 四、教學(xué)支持條件 學(xué)生有前面多項式乘法的基礎(chǔ)知識，所以對于平方差公式的推導(dǎo)以及這個知識的發(fā)生過 程比較清晰明確，為此

5、可以在學(xué)生自己得出公式之后，層層遞進。 對于平方差幾何意義的了解以及問題的提出和學(xué)生各種解答可以借助于多媒體。 五、課堂教學(xué)模式 以小組為核心的任務(wù)型課堂教學(xué)模式 六、教學(xué)過程設(shè)計 第一次循環(huán) （一）創(chuàng)設(shè)情境，明確任務(wù) 師：從前有一個狡猾的地主，他把一塊長為 x 米的正方形的土地租給張老漢種植，有一 天，他對張老漢說：“我把這塊的一邊減少5 米，另一邊增加 5 米，繼續(xù)租給你，你也沒有 吃虧，你看如何？”張老漢一聽覺得沒有吃虧，就答應(yīng)了，回到家中，他把這件事對鄰居講 了，鄰居一聽，說：“張老漢你吃虧了！”，張老漢非常吃驚。同學(xué)們，你能告訴張老漢這 是為什么嗎？ 如圖，張老漢原

6、來的土地面積和現(xiàn)在的土地面積各是多 少？他為什么吃虧了？（借助多媒體演示） 5米  (X+5)米 x  米  (X-5)  米 5米 任務(wù) 1、計算下列各題,看誰做的又快又準(zhǔn)確: (1)(a+b)(a-b) (2)(x+y)(x-y) (3)(2a+b)(2a-b) (4)(2m+3)(2m-3) 任務(wù) 2、觀察、分析其特征結(jié)構(gòu). ①等式左邊的兩個多項式有什么特點？ ②等式右邊的多項式有什么規(guī)律？ 任務(wù) 3、你能用一句話歸納出上述等式的規(guī)律嗎？ 任務(wù) 4、舉兩道例題說明什么情況下可用這一規(guī)律？怎樣用？

7、 （組內(nèi)交叉完成） （設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過自己動手，發(fā)現(xiàn)把具有特殊形式的多項式相乘會有特殊的規(guī)律，同 時培養(yǎng)他們實踐、觀察、猜想、歸納、再實踐的能力。） （二）自主學(xué)習(xí)，合作探究 （活動方式：學(xué)生學(xué)習(xí)，教師巡視。在活動中教師重點關(guān)注學(xué)生，能否正確的計算、分析， 積極的思考討論。對出現(xiàn)的問題讓其展示出來，發(fā)動學(xué)生進行評價，以增強教學(xué)的有效性。） （預(yù)設(shè)的情況：任務(wù) 1 和 2 會比較快的達成一致意見，任務(wù) 3 教師需要對一些小組加以引導(dǎo) 和規(guī)范，并要一個組把其結(jié)果展示在中間黑板上。任務(wù) 4 教師若發(fā)現(xiàn)需要展示的可以用實物 投影儀。） （三）展示反饋，評價提升 （任務(wù) 1 和 2 可以

8、讓一個小組口頭展示，正常情況可以達成共識，不需再講解。） （教師就學(xué)生展示在黑板上的任務(wù) 3 進行總結(jié)。） 師：我們把這個規(guī)律稱之為“平方差公式”（教師板書課題同時要求學(xué)生讀出其展示的內(nèi)容） 生：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。 師：能用字母表示嗎？ 生：(a+b)(a-b)=a-b2 2（教師板書在課題下面） 師：在完成任務(wù) 4 的時候，哪個組內(nèi)出現(xiàn)了形式不滿足此公式的情況，請實物展示給大家以 期借鑒。 （設(shè)計意圖：通過從一般到特殊的認識過程，讓學(xué)生自己實現(xiàn)知識的建構(gòu)，通過歸納得到“平 方差公式”，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法在知識建構(gòu)中的作用，同時讓學(xué)生大膽猜想，

9、增強學(xué) 生的探究意識。） 第二次循環(huán) （一）應(yīng)用理解，明確任務(wù)（借助投影儀） 任務(wù) 1、按要求填寫下面的表格 算式 (x+y)(x-y) (2x+1)(2x-1)  與平方差公式中 a 與平方差公式中 寫 成 “a2-b2” 的 形 對應(yīng)的項 b 對應(yīng)的項 式  計算結(jié)果 (2a-3b)(2a+3b) 任務(wù) 2、計算： 1、（2x+y)(2x-y)= 2、(9x+5y)(9x-5y)= 任務(wù) 3、思考:你能計算嗎？ (1)（-4a-0.1）(-4a+0.1) (2) (2x+y)(y-2x) 上面各式能不能用平方差公

10、式進行計算？如果能的話，每一式可以看作是哪兩式（或數(shù)） 的和與差的積？ 任務(wù) 4、應(yīng)用探究 給（a+b)乘上一個什么樣的多項式能構(gòu)成一個平方差公式的形式任務(wù) 5、計算下列各題：（選 做） (1)1002×998 (轉(zhuǎn)化思想) (2) (x+y)(x-y)(x2+y2) (靈活運用) (3) (a+b)2-(a-b)2 (逆向思維訓(xùn)練) （設(shè)計意圖：由于學(xué)生的能力有一個發(fā)展過程，理解公式的特征與字母的廣泛含義以及對于 公式的靈活應(yīng)用這個難點的突破都需要由易到難逐步安排，不能操之過急。所以任務(wù) 5 的三 種類型題的設(shè)置，只供學(xué)有余力的學(xué)生選做。） （二）自主學(xué)習(xí)，合作探究 （活動方

11、式：1 到 3 組的 C 類學(xué)生把任務(wù) 1 完成在黑板上，2 到 6 組的 C 類學(xué)生把任務(wù) 2 完 成在黑板上，7 到 9 組的 B 類學(xué)生把任務(wù) 3 完成在黑板上，10 到 12 組的 B 類學(xué)生把任務(wù) 4 完成在黑板上，下面的學(xué)生在把 4 個任務(wù)完成之后要關(guān)注自己組上面展示的代表是否需要幫 助，可以即時給以指正。同時四個任務(wù)都解決了或都思考過之后可以交流討論，有能力的學(xué) 生爭取完成任務(wù) 5。） （操作意圖：下要包底，上不封頂。） （三）展示反饋，評價提升 （活動方式：競爭組的 A 類學(xué)生去評價對方已經(jīng)展示在黑板上的內(nèi)容，其他組可以補充，必 要時教師要做出評判與提升。時間許可時可以讓

12、學(xué)生用實物投影展示任務(wù) 5。） 七、目標(biāo)檢測設(shè)計 1、計算： （1）(m+n)(n-m)= （2）(-2y+3)(2y+3)= 2、判斷正誤：如果錯誤，應(yīng)怎樣改正？ ( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2-b2 ( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x-9 ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3、根據(jù)平方差公式的特點，編 4 個能利用平方差公式計算的題目。 有理數(shù)的乘法和除法 教學(xué)目標(biāo)： 1、了解有理數(shù)除法的意義，理解有理數(shù)的除法法則，

13、會進行有理數(shù)的除法運算，會求有理 數(shù)的倒數(shù)。 2、通過實例，探究出有理數(shù)除法法則。會把有理數(shù)除法轉(zhuǎn)化為有理數(shù)乘法，培養(yǎng)學(xué)生的化 歸思想。 重點：有理數(shù)除法法則的運用及倒數(shù)的概念 難點：怎樣根據(jù)不同的情況來選取適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笊蹋? 不能作除數(shù)以及 0 沒有倒數(shù)的理解。 教學(xué)過程： 一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課 1、有理數(shù)乘法法則 兩數(shù)相乘，同號得正,異號得負，并把絕對值相乘. 幾個數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定.當(dāng)負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當(dāng)負因數(shù)有偶 數(shù)個時，積為正。有一個因數(shù)是 0，積就為 0. 2、有理數(shù)乘法運算律： a×b = b×a (a ×b)× c =

14、a ×(b ×c). a×(b+c)=a × b + a×c 3、計算（分組練習(xí)，然后交流）（見 ppt） 二、合作交流，解讀探究 1、（1）6 個同樣大小的蘋果平均分給 3 個小孩，每個小孩分到幾個蘋果？ （2）怎樣計算下列各式？（－6）÷3 6÷（－3） （－6）÷（－3） 學(xué)生：獨立思考后，再將結(jié)果與同桌交流。 教師：引導(dǎo)學(xué)生回顧小學(xué)知識，根據(jù)除法是乘法的逆運算完成上例，要求 6÷3 即要求 3×？ ＝6，由 3×2＝6 可知 6÷3＝2。 同理（－6）÷3＝－2，6÷（－3）＝－2，（－6）÷（－3）＝2。 根據(jù)以上運算，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？對于兩個有理數(shù) a,b，其中

15、b≠0，如果有一個有理數(shù) c 使得 c×b=a，那么我們規(guī)定 a÷b=c，稱 c 叫做 a 除以 b 的商。 2、從有理數(shù)的除法是通過乘法來規(guī)定，引導(dǎo)學(xué)生對比乘法法則，自己總結(jié)有理數(shù)除法法則， 經(jīng)討論后，板書有理數(shù)除法法則。 同號兩數(shù)相除得正數(shù)，異號兩數(shù)相除得負數(shù)，并且把它們的絕對值相除。 0 除以以何一個為等于 0 的數(shù)都得 0 教師指出：為了使商存在且唯一，要求除數(shù)不等于 0，即 0 不能作除數(shù)。 三、應(yīng)用遷移，鞏固提高 例 1 計算 （1） （－24）÷4 （2）（－18）÷（－9） （3） 10÷（－5） 引導(dǎo)學(xué)生按照有理數(shù)除法法則進行計算，既先確定商的符號，再計算絕對

16、值。請四位同學(xué)到 黑板做，完成后，師生共同訂正。 四、合作交流，解讀探究 1、小學(xué)里學(xué)過有關(guān)倒數(shù)的概念是什么？怎么求一個數(shù)的倒數(shù)？（用 1 除以這個數(shù)） 4 和+ 2 3 的倒數(shù)是多少？0 有倒數(shù)嗎？為什么沒有？ 1 2、小學(xué)里學(xué)過的除法與乘法有何關(guān)系？例如 10÷0.5=10×2；0÷5=0×（ ），你能總結(jié)總 5 結(jié)出一句話嗎？（除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)） 我們已經(jīng)知道 10÷（-5）= -2 ，又 10×（- 1 5  ）=-2 所以就有：10 ÷（-5）=10×（- 1 5  ） 引入倒數(shù)的概念。如

17、果兩個數(shù)的乘積等于 1，那么把其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù)，也稱 這兩個數(shù)互為倒數(shù)。 這里(-5)×(- 1 1 )=1，我們把- 5 5  叫作-5 的倒數(shù)。 3、5÷0=？，0÷0=？呢？（這些式子無意義）也就是說 0 是沒有倒數(shù)的。 1 2 5 提問：（1）以上兩組數(shù)的計算結(jié)果怎樣？（2）5 與 ， - 與 - 5 5 2  是一對什么數(shù)？ 由上面的計算，你能得出什么結(jié)論？除以一個非零數(shù)等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)。 上述結(jié)論稱之為有理數(shù)除法的第二個法則。 例 2（1）寫出 9， - 2 7 1 ， ，-1，1，-2 的倒數(shù)。 3 8 4 （2）計算：(1) (-12)÷ 1 3  ； (2) 15÷(- 3 2 2 ) (3) (- )÷(- ) 7 15 3 3、課堂練習(xí)：P36 練習(xí)第 1、2、3 題 四、總結(jié)反思 （1）有理數(shù)的除法法則是什么？ （2）如何運用除法法則進行有理數(shù)的除法運算？ 五、作業(yè)：P41 習(xí)題 1.5A 組第 6、7、8 題