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1、第7節(jié)拋物線,考試要求1.了解拋物線的實際背景，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質(zhì).,知 識 梳 理,1.拋物線的定義,(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(Fl)的距離_的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的_. (2)其數(shù)學表達式：M|MF|d(d為點M到準線l的距離).,相等,準線,2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì),微點提醒,1.通徑：過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p，通徑是過焦點最短的弦.,基 礎(chǔ) 自 測,1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),解析(1)當定點在定直線上時，軌跡為過定點
2、F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線.,(3)拋物線是只有一條對稱軸的軸對稱圖形. 答案(1)(2)(3)(4),2.(選修21P72A1改編)頂點在原點，且過點P(2，3)的拋物線的標準方程是_.,3. (選修21P67A3改編)拋物線y28x上到其焦點F距離為5的點的個數(shù)為_.,答案2,4.(2019黃岡聯(lián)考)已知方程y24x表示拋物線，且該拋物線的焦點到直線xm的距離為4，則m的值為() A.5 B.3或5 C.2或6 D.6 解析拋物線y24x的焦點為F(1，0)，它與直線xm的距離為d|m1|4， m3或5. 答案B,5.(2019北京海淀區(qū)檢測)設(shè)拋物線y28x上一點P到y(tǒng)軸的距
3、離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是() A.4 B.6 C.8 D.12,解析如圖所示，拋物線的準線l的方程為x2，F(xiàn)是拋物線的焦點，過點P作PAy軸，垂足是A，延長PA交直線l于點B，則|AB|2.由于點P到y(tǒng)軸的距離為4，則點P到準線l的距離|PB|426，所以點P到焦點的距離|PF|PB|6.故選B. 答案B,6.(2019寧波調(diào)研)已知拋物線方程為y28x，若過點Q(2，0)的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是_. 解析設(shè)直線l的方程為yk(x2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，當k0時，顯然滿足題意；當k0時，(4k28)24k24k2
4、64(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范圍是1，1. 答案1，1,考點一拋物線的定義及應(yīng)用,答案(1)B(2)A,【訓(xùn)練1】 (1)動圓過點(1，0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_. (2)(2017全國卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_.,解析(1)設(shè)動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1，0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.,(2)如圖，不妨設(shè)點M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準線交x軸于點A，過點M作準線的垂線，垂足為點B，交y軸于點P，
5、 PMOF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|AO|2. 點M為FN的中點，PMOF，,又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3. 由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6. 答案(1)y24x(2)6,考點二拋物線的標準方程及其性質(zhì),解析(1)過M作MP垂直于準線，垂足為P，,(2)由題意，知直線AB必過原點， 則設(shè)AB的方程為ykx(易知k0)，,答案(1)C(2)C,規(guī)律方法1.求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程. 2.在解決與拋物線的性
6、質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此.,【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為_.,(2)(2019濟寧調(diào)研)已知點A(3，0)，過拋物線y24x上一點P的直線與直線x1垂直相交于點B，若|PB|PA|，則P的橫坐標為(),解析(1)設(shè)A，B在準線上的射影分別為A1，B1，,故|AC|2|AA1|6，從而|BF|1，|AB|4，,答案(1)y23x(2)C,考點三直線與拋物線的綜合問題 【例3】 (2019武漢調(diào)研
7、)已知拋物線C：x22py(p0)和定點M(0，1)，設(shè)過點M的動直線交拋物線C于A，B兩點，拋物線C在A，B處的切線交點為N. (1)若N在以AB為直徑的圓上，求p的值； (2)若ABN面積的最小值為4，求拋物線C的方程.,解(1)可設(shè)AB：ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將AB的方程代入拋物線C，得x22pkx2p0，顯然方程有兩不等實根， 則x1x22pk，x1x22p.,故拋物線C的方程為x24y.,規(guī)律方法1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式. 2.涉及拋物線
8、的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.,【訓(xùn)練3】 (2017全國卷)已知F為拋物線C：y24x的焦點，過F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點，直線l2與C交于D，E兩點，則|AB|DE|的最小值為() A.16 B.14 C.12 D.10,同理得|DE|44k2，,故|AB|DE|的最小值為16. 答案A,思維升華 1.拋物線定義的實質(zhì)可歸結(jié)為“一動三定”：一個動點M，一個定點F(拋物線的焦點)，一條定直線l(拋物線的準線)，一個定值1(拋物線的離心率). 2.拋
9、物線的焦點弦：設(shè)過拋物線y22px (p0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：,易錯防范 1.認真區(qū)分四種形式的標準方程 (1)區(qū)分yax2(a0)與y22px(p0)，前者不是拋物線的標準方程. (2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設(shè)為y2mx或x2my(m0). 2.直線與拋物線結(jié)合的問題，不要忘記驗證判別式.,數(shù)學抽象活用拋物線焦點弦的四個結(jié)論,1.數(shù)學抽象素養(yǎng)水平表現(xiàn)為能夠在關(guān)聯(lián)的情境中抽象出一般的數(shù)學概念和規(guī)則，能夠?qū)⒁阎獢?shù)學命題推廣到更一般情形.本課時中研究直線方程時常用到直線系方程就是其具體表現(xiàn)之一. 2.設(shè)AB是過拋物
10、線y22px(p0)焦點F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則,【例1】 過拋物線y24x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|2|BF|，則|AB|等于(),一般解法易知直線l的斜率存在，設(shè)為k，則其方程為yk(x1).,得xAxB1， 因為|AF|2|BF|，由拋物線的定義得xA12(xB1)， 即xA2xB1，,應(yīng)用結(jié)論法一由對稱性不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖設(shè)A，B在準線上的射影分別為D，C，作BEAD于E， 設(shè)|BF|m，直線l的傾斜角為，則|AB|3m，由拋物線的定義知|AD|AF|2m，|BC|BF|m，,答案B,【例2】 設(shè)F為拋物線C：y23x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為(),答案D,【例3】 (2019益陽、湘潭調(diào)研)如圖，過拋物線y22px(p0)的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線l于點C，若F是AC的中點，且|AF|4，則線段AB的長為(),一般解法如圖，設(shè)l與x軸交于點M，過點A作ADl交l于點D，由拋物線的定義知，|AD|AF|4，由F是AC的中點，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以拋物線的方程為y24x.,答案C,
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