極坐標(biāo)與參數(shù)方程 經(jīng)典練習(xí)題詳解

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1、? - ? ? ? ? ? ? ? 2 一、選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,共 60 分，在每個小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的． ì 1．曲線 í ?  x =-2+5t y =1 -2t  (t為參數(shù))  與坐標(biāo)軸的交點是(  ）． A． 2 1 (0, )、( ,0) 5 2  B． 1 1 (0, )、( ,0) 5 2  C．  (0, -4)、(8,0)  D． 5 (0, )、(8,0) 9 2．把方程 

2、xy =1  化為以  t  參數(shù)的參數(shù)方程是（  )． ì 1 ?x =t 2 A． í y =t  1 2  ìx =sin t ìx =cos t ìx =tan t ? ? ? B． í 1 C． í 1 D． í 1 y = y = y = ? sin t ? cos t ? tan t ì 3．若直線的參數(shù)方程為 í ?  x =1 +2t y =2 -3t  (t為參數(shù))  ,則直線的斜率為（ ）． A． 2 2 3 3 B． - C． D． - 3 3 2 2 ì

3、 4．點 (1,2) 在圓 í ? A．內(nèi)部  x =-1+8cos y =8sin q B．外部  q  ）． 的( C．圓上  D．與θ 的值有關(guān) ì ? 5．參數(shù)方程為 í  x =t +  1 t (t為參數(shù))  表示的曲線是（  )． ? ? y =2 A．一條直線  B．兩條直線  C．一條射線  D．兩條射線 ìx =-3+2 cos q ìx =3cos q 6．兩圓 í 與 í y =4 +2 sin q y =3sin q A．內(nèi)切 B．

4、外切  的位置關(guān)系是（ C．相離  )．  D．內(nèi)含 ì 7．與參數(shù)方程為 í ?? x = t y =2 1 -t  (t為參數(shù))  等價的普通方程為（ ）． A．  x  2  +  y 2 4  =1  B．  x  2  +  y 2 4  =1(0 ￡x ￡1) C．  x 2 +  y 2 y 2 =1(0 ￡y ￡2) D． x + 4 4  =1(0 ￡x ￡1,0 ￡y ￡2) 1 ? ?

5、? t - t ? ? ? ì 8．曲線 í ?  x =5cos q p ( ￡q￡p) y =5sin q 3  的長度是（  )． A．  5p  B．  10p  C． 5p 3  D． 10p 3 9．點  P ( x, y )  是橢圓  2 x 2 +3 y 2 =12  上的一個動點，則  x +2 y  的最大值為（ ）． A．  2 2  B．  2 3  C．  11  D． 

6、 22 ì 1 x =1 + t ? 2 10．直線 í 3 y =-3 3 + t ?? 2 AB 則 的中點坐標(biāo)為(  (t為參數(shù)) 和圓 x ）．  2  +y  2  =16 交于 A, B 兩點， A．  (3, -3)  B．  ( - 3,3)  C．  ( 3, -3)  D．  (3, - 3) 11．若點  P (3, m)  在以點  F  ìx =4t 為焦點的拋物線 í y =4t  2  (t為參數(shù)

7、)  上，則| PF | 等于（ ）． A．  2  B．  3  C．  4  D．  5 ì 12．直線 í ?  x =-2+t y =1 -t  (t為參數(shù))  被圓  ( x -3)2 +( y +1)2 =25  所截得的弦長為（  )． A．  98  B．  40 1 4  C．  82  D．  93 +4 3 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分,共 20 分，把答案填在題中橫線上． ì?x

8、=et+e-t 13．參數(shù)方程 í ??y=2(e -e )  (t為參數(shù))  的普通方程為__________________． ì 14．直線 í ??  x =-2- 2t y =3 + 2t  (t為參數(shù))  上與點  A( -2,3)  的距離等于 2 的點的坐標(biāo)是_______． 15．直線  ì í ?  x =t cos q ìx =4 +2cos a 與圓 í 相切，則 y =t sin q y =2sin a  q =  _______________． 16．設(shè)

9、 y =tx (t為參數(shù))  ，則圓  x 2 +y 2 -4 y =0  的參數(shù)方程為____________________． 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分 10 分） 求直線  l : 1  ì í ?? x =1 +t y =-5+ 3t  (t為參數(shù))  和直線  l : x -y -2 3 =0 2  的交點  P  的坐標(biāo)，及點  P 2 與  Q (1,-5)

10、  的距離． 18．（本小題滿分 12 分） 過點  P (  10 2  ,0)  作傾斜角為 a的直線與曲線  x  2  +12 y  2  =1 交于點 M , N ， 求  | PM | ×|PN |  的值及相應(yīng)的 a的值． 19．（本小題滿分 12 分) 已知 DABC 中, A( -2,0), B (0,2), C (cos DABC 求 面積的最大值．  q,-1+sin  q)  （ q 為變數(shù))， 20．（本小題滿分 1

11、2 分）已知直線 l 經(jīng)過點 P (1,1),傾斜角  a =  p 6  ， （1）寫出直線 l 的參數(shù)方程． （2）設(shè)  l  與圓  x 2 +y 2 =4  相交與兩點  A, B  ，求點  P  到  A, B  兩點的距離之積． 3 ? ? 2 21．（本小題滿分 12 分） ì 1 x = ( et +e -t ) cos q ? 2 分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程 í 1 y = ( e t -e-t )sin q ?? 2 

12、 化為普通方程: （1)  q  為參數(shù)，  t  為常數(shù)；（2）  t  為參數(shù)，  q  為常數(shù)． 22．（本小題滿分 12 分） 已知直線 l 過定點  3 ì P ( -3, - ) 與圓 C ： í ? x =5cos y =5sin q q  (q為參數(shù))  相交于 A 、 B 兩點． 求:（1)若  | AB |=8 ，求直線 l 的方程； （2）若點  3 P ( -3, - ) 2  為弦  AB  的中點，求弦

13、  AB  的方程． 4 2 ? ? ? ? 答案與解析: 1．B  當(dāng)  x =0  時,  t = 2 1 1 ，而 y =1 -2t ，即 y = ,得與 y 軸的交點為 (0, ) 5 5 5  ; 當(dāng)  y =0  時，  t = 1 2  ,而  x =-2+5t  ，即  x = 1 1 ，得與 x 軸的交點為 ( ,0) 2 2  ． 2．D  xy =1 ， x 取非零實數(shù),而 A,B，C 中

14、的 x 的范圍有各自的限制． 3．D  k =  y -2 -3t 3 = =- x -1 2t 2  ． 4．A  ∵點 (1,2) 到圓心 (-1,0) 的距離為  (1 +1)2  +2  2  =2 2 <8  (圓半徑) ∴點 (1,2) 在圓的內(nèi)部． 5．D  y =2  表示一條平行于 x 軸的直線，而  x 32, 或x ￡-2  ,所以表示兩條射線． 6．B 兩圓的圓心距為  ( -3-0)  2  +(4 -0)  2

15、 =5  ，兩圓半徑的和也是 5 ，因此兩圓外切． 7．D  x 2 =t ,  y 2 y 2 =1 -t =1 -x 2 , x 2 + =1,而t 30,0 ￡1 -t ￡1, 得0 ￡y ￡2 4 4  ． 8．D  曲線是圓  x  2  +y  2  =25  的一段圓弧，它所對圓心角為  p-  p 2p = 3 3  ． 所以曲線的長度為 10p 3  ． 9．D  橢圓為  x 2 y 2 + =1 6 4 

16、，設(shè)  P ( 6 cos  q,2sin  q)  ， x +2 y = 6 cos  q+4sin  q= 22 sin(q+j)￡ 22  ． 10．D  (1+  1 3 t ) 2 +( -3 3 + t ) 2 2  2  =16 ，得 t  2  t +t -8t -8 =0 ， t +t =8, 1 2 =4 1 2  ， 中點為  ì 1 x =1 + ′4 ? 2 í 3 y =-3 3 + ′4 ?? 2  ì T í ??

17、 x =3 y =- 3  ． 11．C 拋物線為  y 2 =4 x  ，準(zhǔn)線為  x =-1  ,  | PF |  為  P (3, m)  到準(zhǔn)線  x =-1  的距離，即為  4  ． 12．C  ì í ?  x =-2+t y =1 -t  ì ? ? T í ? ?  2 x =-2+ 2t ′ 2 2 y =1 - 2t ′ 2  ì ，把直線 í ?  x =-2+t y =1 -t 5

18、 ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 代入  ( x -3)2  +( y +1)2  =25 ,得 ( -5+t )  2  +(2 -t )  2  =25, t  2  -7t +2 =0  ， | t -t |= (t +t ) 1 2 1 2  2  -4t t = 41 1 2  ，弦長為  2 | t -t |= 82 1 2  ． 13．  x 2 y 2 - =1,( x 32) 4 16  ìx =e

19、t ? íy =e ?2  t  +e-t -e-t  ì y x + =2e t ? 2 y y T í T ( x + )( x - ) =4 y 2 2 x - =2e -t ?? 2  ． 14．  ( -3,4) ,或 ( -1,2)  ( - 2t )  2 +( 2t ) 2 =( 2) 2 , t 2  =  1 2 , t =± 2 2  ． 15．  p 6  ，或  5p 6  直線為  y =x tan  q  ，圓為

20、  ( x -4)  2  +y  2  =4  ，作出圖形，相切時， 易知傾斜角為 p 6  ,或 5p 6  ． ì 4t x = ? 1 +t 2 16． í 4t 2 y = ?? 1 +t 2  x  2  +(tx)  2  -4tx =0  ,當(dāng) x =0 時， y =0 ，或 x =  4t 1 +t  2  ； ì 4t x = 4t ? 1 +t 2 而 y =tx ，即 y = ,得 í 1 +t 4t 2 y

21、 = ?? 1 +t 2  ． 17．解：將  ì í ??  x =1 +t y =-5+ 3t  ,代入  x -y -2 3 =0  ,得  t =2 3  , 得  P (1+2 3,1) ,而 Q (1,-5)  ， 得  | PQ |=  (2 3)  2  +6  2  =4 3  ． ì ?x = 18．解:設(shè)直線為 í  10 2  +t cos  a  (t為參數(shù))  ，代入曲線

22、? ? y =t sin a 并整理得  (1+sin  2 a)t 2  +( 10 cos  a)t + 3 2  =0  ， 3 則  | PM | ×|PN |=|t t |= 1 2 2 1 +sin  2  a  ， 所以當(dāng)  sin 2 a =1 時，即 a = p 2  ，  | PM | ×|PN |  的最小值為 3 4  ，此時  a  = p 2  ． 6 ? 6

23、 ? ? ? ? 19．解：設(shè)  C  點的坐標(biāo)為  ( x , y )  ì ,則 í ?  x =cos q y =-1+sin  q  ， 即  x 2 +( y +1)2 =1  為以  (0, -1)  為圓心,以  1  為半徑的圓． ∵  A( -2,0), B (0,2)  ， ∴  | AB |=  4 +4 =2 2  ， 且  AB  的方程為  x y + =1 -2 2

24、 ， 即  x -y +2 =0  ， 則圓心  (0, -1)  到直線  AB  的距離為  | -(-1) +2 | 12 +( -1)2  3 = 2 2  ． ∴點  C  到直線  AB  的最大距離為  1 +  3 2  2  ， ∴  S  DABC  的最大值是 1 3 ′2 2 ′(1+ 2 2  2) =3 + 2  ． ì ? 20．解：（1)直線的參數(shù)方程為 í ?

25、 ??  x =1 +t cos y =1 +t sin  p ì 3 ?x =1 + t 2 ,即 í p 1 y =1 + t 6 ?? 2  , （2）把直線  ì 3 ?x =1 + t 2 í 1 y =1 + t ?? 2  ,代入  x  2  +y  2  =4  ， 得  (1+  3 1 t ) 2 +(1+ t ) 2 2  2  =4, t  2  +( 3 +1)t -2 =0  ， t t =-2 1 2

26、  ，則點  P  到  A, B  兩點的距離之積為  2  ． 21．解：（1）當(dāng)  t =0  時，  y =0, x =cos q  ，即  x ￡1, 且y =0  ； 當(dāng)  t 10  時，  cos  q=  1 2  (e  t  x +e-t )  ,sin  q=  1 2  (e  t  y -e-t )  ， 而  x  2 +y 2  =1

27、  , 7 - t ? ? ? l 即  1 4  ( e  t  x 2 +e  -t  )  2  +  1 4  ( e  t  y 2 -e  -t  )  2  =1  ； （2)當(dāng)  q=kp, k ?Z  時，  y =0 ， x =±  1 2  (e  t  +e  -t  ) ,即 x 31, 且y =0  ; 當(dāng)  q=k

28、  p+ p 2  , k ?Z 時, x =0 ， y =± 1 2  (e  t  -e ) ，即 x =0 ; 當(dāng)  kp q1 , k ?Z 2  ì 2 x et +e-t = ? cos q 時,得 í 2 y et -e-t = ?? sin q  , ì ? 即 í ? ??  2e 2e  t -t  2 x 2 y = + cos q sin q 2 x 2 y = - cos q sin q  ，得  2e t ×2e-t

29、 =(  2 x 2 y 2 x 2 y + )( - ) cos q sin q cos q sin q  , 即  x 2 y 2 - =1 cos 2 q sin 2 q  ． 22．解：（1)由圓  C  ì 的參數(shù)方程 í ?  x =5cos y =5sin  q q  T x2 +y 2 =25  ， ì ? 設(shè)直線 的參數(shù)方程為① í ? ?  x =-3+t cos a 3 y =- +t sin a 2  (t為參數(shù))  , 將參數(shù)方程①

30、代入圓的方程  x  2  +y  2  =25 得  4t 2 -12(2cosa+sina)t -55 =0  , ∴△  =16[9(2cosa+sina)2  +55]>0  ， 所以方程有兩相異實數(shù)根  t  1  、  t  2  ， ∴  | AB |=|t 1  -t  2  |=  9(2cos  a+sin  a)  2  +55 =8  , 化簡有  3cos

31、  2 a+4sin  acos  a =0  ， 解之  cos  a =0 或 tan  a =-  3 4  , 從而求出直線  l  的方程為  x +3 =0  或  3 x +4 y +15 =0  ． 8 ? ? 1 2 ? （2）若  P  為  AB  的中點，所以  t +t =0 1 2  ， 由(1）知 2cos a+sin a=0  ，得 tan a =

32、-2  , 故所求弦  AB  的方程為  4 x +2 y +15 =0( x 2 +y 2 ￡25)  ． 備用題： 1．已知點  P ( x , y ) 0 0  ìx =3 +8cos q 在圓 í 上,則 y =-2+8sin q  x 、 y 0 0  的取值范圍是（ ）． A． B． C．  -3 ￡x ￡3, -2 ￡y ￡2 0 0 3 ￡x ￡8, -2 ￡y ￡8 0 0 -5 ￡x ￡11, -10 ￡y ￡6 0 0 D．以上都不

33、對 1．C 由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域知選 C． ì 2．直線 í ? x =1 +2t y =2 +t  (t為參數(shù)) 被圓 x  2  +y  2  =9  截得的弦長為（ ）． A． 12 12 9 9 B． 5 C． 5 D． 5 5 5 5  10 2．B  ì í ?  x =1 +2t y =2 +t  ì ? ? T í ? ?  x =1 + 5t ′ y =1 + 5t ′  2 5 1 5  ì ,把直線 í ? 

34、 x =1 +2t y =2 +t  代入 x  2  +y  2  =9 得 (1+2t )  2  +(2 +t )  2  =9,5 t  2  +8t -4 =0  ， | t -t |= (t +t ) 1 2 1 2  2  8 16 12 -4t t = ( - ) 2 + = 5 5 5  ，弦長為  5 | t -t |= 1 2  12 5  5  ． ìx =2 pt 3 ． 已 知 曲 線 í y =2 pt 

35、2  (t為參數(shù),p為正常數(shù))  上 的 兩 點 M , N 對 應(yīng) 的 參 數(shù) 分 別 為 t 和t , 且t +t =0 1 2, 1 2  ,那么  | MN |=  _______________． 3．4 p | t | 1  顯然線段 MN 垂直于拋物線的對稱軸,即 x 軸，| MN |=2 p | t -t |=2 p | 2t | 1 2 1  ． ì 4．參數(shù)方程 í ?  x =cos q(sin q+cos q) y =sin q(sin q+cos q)  (q為參數(shù)) 

36、表示什么曲線？ 9 x x y 4．解：顯然 =tan q ,則 x  y 2 1 +1 = x 2 cos 2  q  ,cos  2  q=  y x  1 2 +1 2  ， x =cos  2  q+sin  qcos  q=  1 1 2 tan q sin 2q+cos 2 q= ′ +cos 2 2 1 +tan 2 q  2  q  ， 即 y 2 1 x = ′ 2 y 1 + x  2

37、 2 y +1 1 + = y 2 y 2 1 + 1 + x 2 x 2  ,  y 2 y x(1+ ) = +1 x 2 x  ， 得  x +  y 2 y = +1 x x  ， 即  x  2  +y  2  -x -y =0  ． 5．已知點  P ( x, y )  是圓  x  2  +y  2  =2 y  上的動點， （1）求  2 x +y  的取值范圍； (2）若

38、 x +y +a 30  恒成立,求實數(shù) a 的取值范圍． ì 5．解：（1）設(shè)圓的參數(shù)方程為 í ?  x =cos q y =1 +sin  q  ， 2 x +y =2cos  q+sin  q+1= 5sin(  q+j)+1  ， ∴  - 5 +1 ￡2 x +y ￡ 5 +1  ． （2)  x +y +a =cos  q+sin  q+1+a 30  ， ∴  a 3-(cos q+sin q) -1 =- 2 sin(q+ a 3 2 -1 即 ．  p 4  ) -1  恒成立, 10