2015年高三數(shù)學(xué)名校試題分類匯編（1月 第二期）G單元 立體幾何（含解析）

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1、G單元 立體幾何 目錄 G單元 立體幾何 1 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 1 G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 10 G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線 24 G4 空間中的平行關(guān)系 24 G5 空間中的垂直關(guān)系 39 G6 三垂線定理 59 G7 棱柱與棱錐 60 G8 多面體與球 68 G9　空間向量及運(yùn)算 69 G10 空間向量解決線面位置關(guān)系 72 G11 空間角與距離的求法 72 G12 單元綜合 91 G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu) 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測(cè)試（三）（

2、201412）word版】(9)如圖的幾何體是長(zhǎng)方體 的一部分，其中 則該幾何體的外接球的表面積為 (A (B) (C) ( D) 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的結(jié)構(gòu). G1 【答案】【解析】B 解析：該幾何體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，而若長(zhǎng)方體 的外接球半徑為R ，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為2R，所以，所以該幾何體的外接球的表面積，故選 B. 【思路點(diǎn)撥】分析該幾何體的外接球與長(zhǎng)方體的外接球的關(guān)系，進(jìn)而得結(jié)論. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過

3、點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號(hào)） ①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1； ②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形； ③當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則； ④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值。 【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1 【答案】【解析】②③④ 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以①錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以②正確； 當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確

4、； 當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確． 綜上可知答案為②③④. 【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號(hào)） ①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1； ②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形； ③當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則； ④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值。

5、 【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1 【答案】【解析】②③④ 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以①錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以②正確； 當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確； 當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確． 綜上可知答案為②③④. 【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】

6、數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號(hào)） ①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1； ②當(dāng)時(shí)，為等腰梯形； ③當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則； ④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值。 【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1 【答案】【解析】②③④ 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以①錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以②正確； 當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交

7、A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確； 當(dāng)y=1時(shí)，以B1為頂點(diǎn)，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確． 綜上可知答案為②③④. 【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)分別在棱上，過點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)其中，下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)） ①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為1； ②

8、當(dāng)時(shí)，為等腰梯形； ③當(dāng)時(shí)，為六邊形； ④當(dāng)時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則。 【知識(shí)點(diǎn)】正方體的特征G1 【答案】【解析】②④ 解析：當(dāng)時(shí)，為矩形，其最大面積為1，所以①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，截面如圖所示，所以②正確； 當(dāng)時(shí)，截面如圖，所以③錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)S與棱C1D1的交點(diǎn)為R，延長(zhǎng)DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正確；綜上可知正確的序號(hào)應(yīng)為②④. . 【思路點(diǎn)撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面，結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答. G2 空間幾何體的三

9、視圖和直觀圖 【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考（201501）】4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案】C 【解析】∵俯視圖是一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，故底面外接圓半徑r=， 由主視圖中棱錐的高h(yuǎn)=1，故棱錐的外接球半徑R滿足：R==， 故該幾何體外接球的體積V=πR3=π. 【思路點(diǎn)撥】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個(gè)三棱錐，求出底面外

10、接圓半徑和棱錐的高，進(jìn)而利用勾股定理，求出其外接球的半徑，代入球的體積公式，可得答案． 【數(shù)學(xué)文卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】4．某幾何體的三視圖如右上圖所示，則該幾何體的體積是（ ）

11、 A． B． C． D． a 2a a 正視圖 左視圖 俯視圖 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案】C 【解析】由三視圖知幾何體為圓錐的，則V=Sh== 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖得到為圓錐的，再根據(jù)體積公式求出體積。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】11．多面體的三視圖如圖所示，則該多面體表面積為（單位） A． B． C． 　D． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求表面積.G2 【答案】【解析】A 解析：根據(jù)多

12、面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示： 由題意得：,所以, 所以,,,在三角形ABD中，，,,所以該幾何體的表面積為這四個(gè)面的面積和，故選A。 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后分別求出各個(gè)面的面積，再求和即可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何

13、體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖， 所以其體積為，則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖， 所以其體積為，則

14、選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】7．一個(gè)幾何體的三視圖如圖示，則這個(gè)幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個(gè)角之后剩余的部分，如圖， 所以其體積為，則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積，關(guān)鍵是判斷原幾何體形

15、狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） ． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體體積.G2 【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示： 由題意得：，且, ,故答案為。 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三

16、視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） ． 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖求幾何體體積.G2 【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示： 由題意得：，且, ,故答案為。 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. [] 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】A 解

17、析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先分析幾何體的特征在進(jìn)行求值. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ） A. B. C. D. [] 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】A 解析：由三視圖可知該幾何體為一個(gè)倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求幾何體的體積時(shí)，應(yīng)先

18、分析幾何體的特征在進(jìn)行求值. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】3．一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸(單位：)如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積為（ ▲ ）。 A． B． C． D． 俯視圖 正(主)視圖 8 5 5 8 側(cè)(左)視圖 8 5 5 （第3題圖） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 G2 【答案】D【解析】解析：由三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正

19、四棱錐的斜高為5，所以側(cè)面積為：，故選擇D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正四棱錐的斜高為5，即可求得其側(cè)面積. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測(cè)試（三）（201412）word版】(20)（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P -ABCD中，ADDB，其中三棱錐P- BCD的三視圖如圖所示，且 (1)求證：AD PB (2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為 ，求AD的長(zhǎng) 【知識(shí)點(diǎn)】幾何體的三視圖；垂直關(guān)系的判定；線面角的意義. G2 G5 G11 【答案】【解析】（1

20、）證明：見解析；（2）6. 解析：由三視圖可知 又， 又。 (2)由(1)可知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AD= ,結(jié)合sin∠BDC= 可得. 所以 設(shè)為平面PCD 的法向量，由題意得即，令y=3,則x=4,z=0，得平面PCD的一個(gè)法向量. 設(shè)PA與平面PCD 所成角為，可得， 解之得，即AD=6. 【思路點(diǎn)撥】（1）由三視圖得此幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從而得AD⊥平面PBD，進(jìn)而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（2

21、01412）word版】6．一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（） A． B． C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6．一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（） A． B． C.

22、D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6．一個(gè)四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個(gè)四棱錐的側(cè)面積是（） A． B． C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】D 解析：由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形，因?yàn)榈酌嬲叫蔚倪呴L(zhǎng)為

23、，四個(gè)側(cè)棱長(zhǎng)依次為，所以其側(cè)面積為，所以選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖求面積或體積，關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試（201501）】5．如圖，若一個(gè)空間幾何體的三視圖中，直角三角形的直角邊長(zhǎng)均為1，則該幾何體的體積為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．G2 【答案】【解析】B 解析：由三視圖知，此幾何體是一個(gè)有一個(gè)側(cè)枝垂直于底面且底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，其高也為1，故該幾何體的體積為，故選B 【思路點(diǎn)撥】由三視圖還原出實(shí)物圖的結(jié)構(gòu)特征

24、及數(shù)據(jù)，由三視圖可以看出此物體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)相關(guān)的體積公式求出其體積． 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】13.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是_____ 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖G2 【答案】【解析】3 解析：由三視圖可得出該幾何體為四棱錐，體積為V==3，解得x=3，故答案為3. 【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵在于看出該幾何體為四棱錐，再利用體積計(jì)算公式得到關(guān)于x的方程，即可解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考（201501）】5．已知某三棱

25、錐的三視圖均為腰長(zhǎng)為 2的等腰直角三角形（如圖），則該棱錐的表面積為（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案】A 【解析】由三視圖得，該幾何體為底面和兩個(gè)側(cè)面為直角邊邊長(zhǎng)為2的等腰直角三角形， 另外一個(gè)側(cè)面是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形， 故該棱錐的表面積為S=3××2×2+×(2)2=. 【思路點(diǎn)撥】先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長(zhǎng)度，然后利用三棱錐的表面積公式求出該幾何體的表面積． 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（2015

26、01）word版】11．若某棱錐的三視圖(單位：)如圖所示，則該棱錐的體積等于　　▲　　。 正視圖 左視圖 俯視圖 5 3 4 3 （第11題圖） 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 G2 【答案】【解析】解析：由三視圖知幾何體為三角形削去一個(gè)三棱錐如圖： 棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4， ∴幾何體的體積故答案為. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖知幾何體為直三削去一個(gè)三棱錐，畫出其直觀圖，根據(jù)棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長(zhǎng)分別為3、4，計(jì)算三棱柱與三棱錐的體積，再求差可得答案． G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線

27、 G4 空間中的平行關(guān)系 【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版】17．（本小題滿分12分） 如圖，為正三角形，平面，，為的中點(diǎn)，，． （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值． 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行，空間向量解決線面位置關(guān)系 G4 G10 【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ） （Ⅰ）證明：作的中點(diǎn)，連結(jié)． 在中，，又據(jù)題意知，． ∴，∴四邊形為平行四邊形． ∴，又平面，平面． ∴平面．……………………………………4分 （Ⅱ）∵，∴平面．

28、 在正中，，∴三線兩兩垂直． 分別以為軸，建系如圖． 則，，． ∴，． 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， 則，即，令，則． ∴平面的一個(gè)法向量為． 又平面的一個(gè)法向量為． ∴． ∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………………………8分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）求證線面平行，可以利用線線平行，本題很容易找出； （Ⅱ）分別求平面與平面的法向量， ∴，即可求出余弦值． 【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版

29、】8．已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則下列敘述正確的是 （A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則 【知識(shí)點(diǎn)】線線關(guān)系，線面關(guān)系 G4 G5 【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D. 【思路點(diǎn)撥】熟悉空間中線線，線面關(guān)系的判斷，逐一排除即可. 【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】9．如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變,

30、 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4 【答案】D 【解析】蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓直徑為1. 雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為. 而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為. 【思路點(diǎn)撥】先求出球心到截面的距離為， 再求球心到底面的距離為。 【數(shù)學(xué)理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考（201501）】9．如圖，用一邊長(zhǎng)為

31、的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4 【答案】D 【解析】蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，所以過四個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓直徑為1. 雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為. 而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為. 【思路點(diǎn)撥】先求出球心到截面的距離為， 再求球心到底面的

32、距離為。 【數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省綿陽中學(xué)高三上學(xué)期第五次月考（201412）】18．（本題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)。 （1）若，求證：平面平面； （2）點(diǎn)在線段上，，試確定的值，使平面； 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定 直線與平面平行的性質(zhì)及直線與直線平行的性質(zhì) G4 G5 【答案】（1）證明詳見解析;（2）. 【解析】解析：(1)連四邊形菱形,???， 正三角形,? 為中點(diǎn), 的中點(diǎn), 又平面平面 ∴平面平面 (2)當(dāng)時(shí),平面? 下面證明,若平面,連交于? 由可得,,? 平面,平面,平面平面,? ?? 即

33、:???;?? 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件可證根據(jù)平面與平面垂直的判定定理即可求證平面平面 （2）連結(jié)交于，由可證,即得,由直線與平面平行的性質(zhì)，可證,即得，所以即. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿分12分） 如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱⊥底面,,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且． （Ⅰ）若，求證：∥ （Ⅱ）求三棱錐體積最大值． 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7 【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、，連接、、，

34、 則,,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分 （Ⅱ）在平面內(nèi)作, 因?yàn)閭?cè)棱⊥底面, 所以平面⊥底面,且平面底面, 所以,所以．…………7分 （或平面中，所以） 因?yàn)?所以． ,,…………10分 …………12分 的最大值為 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、，連接、、，然后利用線面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿分12分） 如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱⊥底面,,分別為上的動(dòng)點(diǎn)，且

35、． （Ⅰ）若，求證：∥ （Ⅱ）求三棱錐體積最大值． 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7 【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、，連接、、， 則,,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分 （Ⅱ）在平面內(nèi)作, 因?yàn)閭?cè)棱⊥底面, 所以平面⊥底面,且平面底面, 所以,所以．…………7分 （或平面中，所以） 因?yàn)?所以． ,,…………10分 …………12分 的最大值為 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）分別取和中點(diǎn)、，連接、、，然后利用線面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式，進(jìn)而求出最大值即

36、可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分） 正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。 （1）求證：BM//平面ADEF； （2）求三棱錐的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7 【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因?yàn)锳N?平面A

37、DEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF； （2）因?yàn)镋C的中點(diǎn)，所以， 因?yàn)?且DE與CD相交于D 所以 因?yàn)?所以AB//平面CDE ，到面的距離,即為 . 【思路點(diǎn)撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明，求三棱錐體積時(shí)，若以所給底面求體積不方便時(shí)，可考慮換底面求體積. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（文）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分） 正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點(diǎn)M是EC中點(diǎn)。 （1）求證：BM//平面AD

38、EF； （2）求三棱錐的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7 【答案】【解析】（1）略；（2） 解析：(1)證明：取DE中點(diǎn)N，連接MN，AN，在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點(diǎn)，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因?yàn)锳N?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF； （2）因?yàn)镋C的中點(diǎn)，所以， 因?yàn)?且DE與CD相交于D 所以 因?yàn)?所以AB//平面CDE ，到面的距離,即為

39、 . 【思路點(diǎn)撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明，求三棱錐體積時(shí)，若以所給底面求體積不方便時(shí)，可考慮換底面求體積. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】20．（本小題滿分15分） 如圖，在幾何體中， 平面， 平面，，又， 。 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 （第20題圖） 【知識(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí) G4 G5 G11 【答案】（1）；（2）. 【解析】解析：

40、過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系 ,又,則點(diǎn)到軸的距離為1,到軸的距離 為。 則有,,,,。 （4分） （1）設(shè)平面的法向量為， ． 則有，取，得，又， 設(shè)與平面所成角為，則， 故與平面所成角的正弦值為。 （5分） （2）設(shè)平面的法向量為， ， 則有，取，得。 ， 故平面與平面所成的銳二面角的余弦值是. （5分） 【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空

41、間上角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到平面的法向量，利用線面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】4．在空間給出下面四個(gè)命題(其中、為不同的兩條直線,、為不同的兩個(gè)平面) ①,// ②//,//// ③//,,// ④,//,//,//,//// 其中正確的命題個(gè)數(shù)有（ ▲ ）。 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5 【答案

42、】C【解析】解析：①由線面垂直及線面平行的性質(zhì)，可知,//，故①正確；②，故②錯(cuò)誤③根據(jù)線面垂直的性質(zhì)；兩平行線中的一個(gè)垂直于平面，則另一個(gè)也垂直于平面可知：若，則，又，故③正確④由,可得平面都與直線確定的平面平行，則可得，故④正確綜上知，正確的有①③④，故選擇C. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線面垂直、線面平行的性質(zhì)，可判斷①；由可判斷②；③根據(jù)兩平行線中的一個(gè)垂直于平面，則另一個(gè)也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判斷③；④由已知可得平面都與直確定的平面平行，則可得，可判斷④. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，

43、是直線，則下列命題不正確的是（） A．若則 B．若則 C．若則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5 【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面β內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D. 【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）

44、 A．若則 B．若則 C．若則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5 【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面β內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D. 【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（） A．若則 B．若則

45、 C．若則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5 【答案】【解析】D 解析：由線面垂直的性質(zhì)得A選項(xiàng)正確；由兩面平行的性質(zhì)知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因?yàn)閚不一定在平面β內(nèi)，所以m與n不一定平行，則D錯(cuò)誤，綜上可知選D. 【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試（201501）】20．已知在如圖的多面體中，⊥底面，， ，,是的中點(diǎn)． （1）求證：平面； （2）求證：平面[]

46、 （3）求此多面體的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；幾何體的體積.G4 G5G7 【答案】【解析】（1）見解析；（2）見解析；（3） 解析：（1）∵， ∴． 又∵,是的中點(diǎn)， ∴， ∴四邊形是平行四邊形， ∴ ． ∵平面，平面， ∴平面． （2）連結(jié)，四邊形是矩形， ∵，⊥底面， ∴平面，平面， ∴ ∵， ∴四邊形為菱形，∴， 又平面，平面， ∴平面． ,作于，平面平面，平面，,平面

47、 ,, 【思路點(diǎn)撥】（1）先結(jié)合已知條件證明出四邊形是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可；（2）直接利用線面垂直的判定定理即可；（3）先對(duì)原幾何體分解，再分別求出體積相加即可。 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】6．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面．下列命題中，正確的是（ ▲ ）。 A．若與所成的角相等，則　B．若，，則 C．若，，則　　 D．若，，則 【知識(shí)點(diǎn)】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5 【答案】C【解析】解析：當(dāng)兩條直線與一個(gè)平面所成的角相

48、等時(shí)，這兩條直線的關(guān)系不能確定，故A不正確，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線與另一個(gè)平面的關(guān)系都有可能，故B不正確，當(dāng)一條直線與一個(gè)平面垂直，與另一個(gè)平面平行， 則這兩個(gè)平面之間的關(guān)系是垂直，故C正確，當(dāng)兩條直線分別和兩個(gè)平面平行，這兩條直線之間沒有關(guān)系，故D不正確．故選擇C. 【思路點(diǎn)撥】當(dāng)兩條直線與一個(gè)平面所成的角相等時(shí)，這兩條直線的關(guān)系不能確定，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線與另一個(gè)平面的關(guān)系都有可能，當(dāng)兩條直線分別和兩個(gè)平面平行，這兩條直線之間沒有關(guān)系，得到結(jié)論． 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模

49、擬（201412）word版】19．如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側(cè)棱上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)。該四棱錐的正（主）側(cè)圖和側(cè)（左）視圖如圖2所示。 （I）證明：∥平面； （II）證明：平面平面。 【知識(shí)點(diǎn)】線面平行 面面垂直G4 G5 【答案】【解析】（I）略；（II）略． 解析：（I）證明：取PC中點(diǎn)Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q．由正（主）視圖可得E為PD的中點(diǎn)，所以EQ∥CD,,又因?yàn)锳F∥CD,AF=CD, 所以AFE∥Q,AF=EQ,所以四邊形AFEQ為平行四邊形，所以AE∥FQ．因?yàn)?所以 直線AE∥平面PFC; （II）證明：因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD,因?yàn)?/p>

50、面ABCD為正方形，所以AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD，因?yàn)?，所以CD⊥AE,因?yàn)镻A=AD，E為PD中點(diǎn)，所以AE⊥PD,所以AE⊥平面PCD．因?yàn)锳E∥FQ，所以FQ⊥平面PCD．因?yàn)椋?所以平面PFC⊥平面PCD. 【思路點(diǎn)撥】證明線面平行及面面垂直問題，通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷·2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬（201412）word版】6．已知是平面，是直線，則下列命題正確的是（） A．若則 B．若則 C．若則 D．若，則 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5 【答案】【解析】 B 解析：選項(xiàng)A，直線n還可能

51、在平面α內(nèi)，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)閚∥α,所以在α一定存在直線a∥n，而m⊥α,所以m⊥a,得m⊥n，所以B正確，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)正確選項(xiàng)，則答案只能為B.. 【思路點(diǎn)撥】判斷空間線面位置關(guān)系時(shí)，可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答. G5 空間中的垂直關(guān)系 【數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(cè)（201412）word版】8．已知，是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同的平面，且，，則下列敘述正確的是 （A）若，則 （B）若，則 （C）若，則 （D）若，則 【知識(shí)點(diǎn)】線線關(guān)系，線面關(guān)系 G4 G

52、5 【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D. 【思路點(diǎn)撥】熟悉空間中線線，線面關(guān)系的判斷，逐一排除即可. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（201501）】19．已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的菱形，，． （Ⅰ）求證：平面平面； （Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，若二面角的正切值為，求的值． 【知識(shí)點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題．G5 G11 【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） 解析：（Ⅰ） 因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分

53、 又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分 從而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分 （Ⅱ）方法1． 過O作OH⊥PM交PM于H，連HD 因?yàn)镈O⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角………………8分 又，且………………10分 從而………………11分 所以，即． ………………………12分 法二：如圖,以為原點(diǎn),所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,, …………8分 從而………………9分 因?yàn)锽D⊥平面PAC,所以平面PMO的一個(gè)法向量為．……10分 設(shè)平面PMD的法

54、向量為,由得 取，即 ……………11分 設(shè)與的夾角為，則二面角大小與相等 從而，得 從而，即． ……………12分 【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC;（Ⅱ）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為，即可求a：b的值． 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠B

55、AD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. （Ⅰ）證明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11 【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一　(1)證明　如圖，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. (2)解　因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1

56、A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D. 由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，故＝， 即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝.從而sin θ＝. 即直

57、線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 方法二　(1)證明　易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3). 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0). 因?yàn)锳C⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去). 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)， 因?yàn)椤ぃ剑?＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D

58、. (2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0). 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即 令x＝1，則n＝(1，－，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1

59、中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. （Ⅰ）證明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11 【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一　(1)證明　如圖，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. (2)解　因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄BCD－A1B1C1D

60、1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D. 由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，故＝， 即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝.從而s

61、in θ＝. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 方法二　(1)證明　易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3). 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0). 因?yàn)锳C⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去). 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)， 因?yàn)椤ぃ剑?＋3＋0＝0， 所

62、以⊥，即AC⊥B1D. (2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0). 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即 令x＝1，則n＝(1，－，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)（理）卷·2015屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC

63、D－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. （Ⅰ）證明：AC⊥B1D； （Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值. 【知識(shí)點(diǎn)】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11 【答案】【解析】(1)略；(2) 解析：方法一　(1)證明　如圖，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. (2)解　因?yàn)锽1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因?yàn)槔庵鵄B

64、CD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D. 由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳C⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，故＝， 即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(9

65、0°－θ)＝.從而sin θ＝. 即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為. 方法二　(1)證明　易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)AB＝t，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3). 從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0). 因?yàn)锳C⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去). 于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)， 因?yàn)椤ぃ剑?

66、＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D. (2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0). 設(shè)n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個(gè)法向量，則，即 令x＝1，則n＝(1，－，).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則 sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝. 【思路點(diǎn)撥】證明線線垂直，通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行解答. 【【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷·2015屆浙江省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測(cè)試（201501）word版】20．（本小題滿分15分） 如圖，在幾何體中， 平面， 平面，，又， 。 （1）求與平面所成角的正弦值； （2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 （第20題圖） 【知識(shí)點(diǎn)】空間平行、垂直，以及線面成角等知識(shí) G4 G5 G11 【答案】（1）；（2）. 【解析】解析：過點(diǎn)作的垂線交于,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系 ,又,則點(diǎn)到軸的距離為1