《2015年高三數(shù)學名校試題分類匯編（1月 第二期）G單元 立體幾何（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2015年高三數(shù)學名校試題分類匯編（1月 第二期）G單元 立體幾何（含解析）（100頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、G單元 立體幾何
目錄
G單元 立體幾何 1
G1 空間幾何體的結構 1
G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖 10
G3 平面的基本性質、空間兩條直線 24
G4 空間中的平行關系 24
G5 空間中的垂直關系 39
G6 三垂線定理 59
G7 棱柱與棱錐 60
G8 多面體與球 68
G9 空間向量及運算 69
G10 空間向量解決線面位置關系 72
G11 空間角與距離的求法 72
G12 單元綜合 91
G1 空間幾何體的結構
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（
2、201412）word版】(9)如圖的幾何體是長方體 的一部分，其中
則該幾何體的外接球的表面積為
(A (B)
(C) ( D)
【知識點】幾何體的結構. G1
【答案】【解析】B 解析：該幾何體的外接球即長方體的外接球，而若長方體 的外接球半徑為R ，則長方體的體對角線為2R，所以，所以該幾何體的外接球的表面積，故選 B.
【思路點撥】分析該幾何體的外接球與長方體的外接球的關系，進而得結論.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長為1，動點分別在棱上，過
3、點的平面截該正方體所得的截面記為，設其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號）
①當時，為矩形，其面積最大為1；
②當時，為等腰梯形；
③當時，設與棱的交點為，則；
④當時，以為頂點，為底面的棱錐的體積為定值。
【知識點】正方體的特征G1
【答案】【解析】②③④
解析：當時，為矩形，其最大面積為1，所以①錯誤；
當時，截面如圖所示，所以②正確；
當時，如圖，設S與棱C1D1的交點為R，延長DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確
4、；
當y=1時，以B1為頂點，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確．
綜上可知答案為②③④.
【思路點撥】可結合線面平行的性質作出其截面，結合其截面特征進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長為1，動點分別在棱上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號）
①當時，為矩形，其面積最大為1；
②當時，為等腰梯形；
③當時，設與棱的交點為，則；
④當時，以為頂點，為底面的棱錐的體積為定值。
5、
【知識點】正方體的特征G1
【答案】【解析】②③④
解析：當時，為矩形，其最大面積為1，所以①錯誤；
當時，截面如圖所示，所以②正確；
當時，如圖，設S與棱C1D1的交點為R，延長DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確；
當y=1時，以B1為頂點，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確．
綜上可知答案為②③④.
【思路點撥】可結合線面平行的性質作出其截面，結合其截面特征進行解答.
【【名校精品解析系列】
6、數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長為1，動點分別在棱上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設其中，下列命題正確的是________.（寫出所有正確命題的編號）
①當時，為矩形，其面積最大為1；
②當時，為等腰梯形；
③當時，設與棱的交點為，則；
④當時，以為頂點，為底面的棱錐的體積為定值。
【知識點】正方體的特征G1
【答案】【解析】②③④
解析：當時，為矩形，其最大面積為1，所以①錯誤；
當時，截面如圖所示，所以②正確；
當時，如圖，設S與棱C1D1的交點為R，延長DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交
7、A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴③正確；
當y=1時，以B1為頂點，S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示，該四棱錐的體積為,所以④正確．
綜上可知答案為②③④.
【思路點撥】可結合線面平行的性質作出其截面，結合其截面特征進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】15．正方體為棱長為1，動點分別在棱上，過點的平面截該正方體所得的截面記為，設其中，下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）
①當時，為矩形，其面積最大為1；
②
8、當時，為等腰梯形；
③當時，為六邊形；
④當時，設與棱的交點為，則。
【知識點】正方體的特征G1
【答案】【解析】②④
解析：當時，為矩形，其最大面積為1，所以①錯誤；當時，截面如圖所示，所以②正確；
當時，截面如圖，所以③錯誤；
當時，如圖，設S與棱C1D1的交點為R，延長DD1，使DD1∩QR=N，連接AN交A1D1于S，連接SR，可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正確；綜上可知正確的序號應為②④.
.
【思路點撥】可結合線面平行的性質作出其截面，結合其截面特征進行解答.
G2 空間幾何體的三
9、視圖和直觀圖
【數(shù)學理卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調考（201501）】4.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是一個腰長為2的等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積是( )
A. B.
C. D.
【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2
【答案】C
【解析】∵俯視圖是一個腰長為2的等腰直角三角形，故底面外接圓半徑r=，
由主視圖中棱錐的高h=1，故棱錐的外接球半徑R滿足：R==，
故該幾何體外接球的體積V=πR3=π.
【思路點撥】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個三棱錐，求出底面外
10、接圓半徑和棱錐的高，進而利用勾股定理，求出其外接球的半徑，代入球的體積公式，可得答案．
【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】4．某幾何體的三視圖如右上圖所示，則該幾何體的體積是（ ）
11、
A． B． C． D．
a
2a
a
正視圖
左視圖
俯視圖
【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2
【答案】C
【解析】由三視圖知幾何體為圓錐的，則V=Sh==
【思路點撥】根據(jù)三視圖得到為圓錐的，再根據(jù)體積公式求出體積。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】11．多面體的三視圖如圖所示，則該多面體表面積為（單位）
A． B．
C． D．
【知識點】三視圖求表面積.G2
【答案】【解析】A 解析：根據(jù)多
12、面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：
由題意得：,所以,
所以,,,在三角形ABD中，，,,所以該幾何體的表面積為這四個面的面積和，故選A。
【思路點撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后分別求出各個面的面積，再求和即可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7．一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為( )
A． B．
C． D．
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該幾何
13、體為正方體截取一個角之后剩余的部分，如圖，
所以其體積為，則選D.
【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎上進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7．一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為( )
A． B．
C． D．
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分，如圖，
所以其體積為，則
14、選D.
【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關鍵是判斷原幾何體形狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎上進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】7．一個幾何體的三視圖如圖示，則這個幾何體的體積為( )
A． B．
C． D．
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分，如圖，
所以其體積為，則選D.
【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積，關鍵是判斷原幾何體形
15、狀，可在熟悉的幾何體的三視圖基礎上進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） ．
【知識點】三視圖求幾何體體積.G2
【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：
由題意得：，且, ,故答案為。
【思路點撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】15.多面體的三
16、視圖如圖所示，則該多面體體積為（單位） ．
【知識點】三視圖求幾何體體積.G2
【答案】【解析】 解析：根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示：
由題意得：，且, ,故答案為。
【思路點撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀，然后利用錐體的體積公式即可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ）
A. B. C. D.
[]
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】A
解
17、析：由三視圖可知該幾何體為一個倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A.
【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積時，應先分析幾何體的特征在進行求值.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（ ）
A. B. C. D.
[]
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】A
解析：由三視圖可知該幾何體為一個倒放的三棱柱，其底面積為，高為3，所以其體積為，則選A.
【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積時，應先
18、分析幾何體的特征在進行求值.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】3．一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位：)如圖所示，則該幾何體的側面積為（ ▲ ）。
A． B．
C． D．
俯視圖
正(主)視圖
8
5
5
8
側(左)視圖
8
5
5
（第3題圖）
【知識點】三視圖 G2
【答案】D【解析】解析：由三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正
19、四棱錐的斜高為5，所以側面積為：，故選擇D.
【思路點撥】根據(jù)三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐，且正四棱錐的斜高為5，即可求得其側面積.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試（三）（201412）word版】(20)（本小題滿分12分）
如圖，在四棱錐P -ABCD中，ADDB，其中三棱錐P- BCD的三視圖如圖所示，且
(1)求證：AD PB
(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為 ，求AD的長
【知識點】幾何體的三視圖；垂直關系的判定；線面角的意義. G2 G5 G11
【答案】【解析】（1
20、）證明：見解析；（2）6. 解析：由三視圖可知
又，
又。
(2)由(1)可知，PD,AD,BD兩兩互相垂直，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系.
設AD= ,結合sin∠BDC= 可得.
所以
設為平面PCD 的法向量，由題意得即，令y=3,則x=4,z=0，得平面PCD的一個法向量.
設PA與平面PCD 所成角為，可得，
解之得，即AD=6.
【思路點撥】（1）由三視圖得此幾何體的結構特點，從而得AD⊥平面PBD，進而得結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量求解.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（2
21、01412）word版】6．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的側面積是（）
A． B． C. D.
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該四棱錐各側面都是直角三角形，因為底面正方形的邊長為，四個側棱長依次為，所以其側面積為，所以選D.
【思路點撥】由三視圖求面積或體積，關鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】6．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的側面積是（）
A． B． C.
22、D.
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該四棱錐各側面都是直角三角形，因為底面正方形的邊長為，四個側棱長依次為，所以其側面積為，所以選D.
【思路點撥】由三視圖求面積或體積，關鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】6．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的側面積是（）
A． B． C. D.
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】D
解析：由三視圖可知該四棱錐各側面都是直角三角形，因為底面正方形的邊長為
23、，四個側棱長依次為，所以其側面積為，所以選D.
【思路點撥】由三視圖求面積或體積，關鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】5．如圖，若一個空間幾何體的三視圖中，直角三角形的直角邊長均為1，則該幾何體的體積為( )
A． B． C． D．
【知識點】由三視圖求面積、體積．G2
【答案】【解析】B 解析：由三視圖知，此幾何體是一個有一個側枝垂直于底面且底面是邊長為1的正方形，其高也為1，故該幾何體的體積為，故選B
【思路點撥】由三視圖還原出實物圖的結構特征
24、及數(shù)據(jù)，由三視圖可以看出此物體是一個四棱錐，根據(jù)相關的體積公式求出其體積．
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶一中高三12月月考（201412）word版】13.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的的值是_____
【知識點】三視圖G2
【答案】【解析】3
解析：由三視圖可得出該幾何體為四棱錐，體積為V==3，解得x=3，故答案為3.
【思路點撥】關鍵在于看出該幾何體為四棱錐，再利用體積計算公式得到關于x的方程，即可解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆湖北省部分高中高三元月調考（201501）】5．已知某三棱
25、錐的三視圖均為腰長為 2的等腰直角三角形（如圖），則該棱錐的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2
【答案】A
【解析】由三視圖得，該幾何體為底面和兩個側面為直角邊邊長為2的等腰直角三角形，
另外一個側面是一個邊長為2的等邊三角形，
故該棱錐的表面積為S=3××2×2+×(2)2=.
【思路點撥】先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度，然后利用三棱錐的表面積公式求出該幾何體的表面積．
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（2015
26、01）word版】11．若某棱錐的三視圖(單位：)如圖所示，則該棱錐的體積等于 ▲ 。
正視圖
左視圖
俯視圖
5
3
4
3
（第11題圖）
【知識點】三視圖 G2
【答案】【解析】解析：由三視圖知幾何體為三角形削去一個三棱錐如圖：
棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長分別為3、4，
∴幾何體的體積故答案為.
【思路點撥】由三視圖知幾何體為直三削去一個三棱錐，畫出其直觀圖，根據(jù)棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長分別為3、4，計算三棱柱與三棱錐的體積，再求差可得答案．
G3 平面的基本性質、空間兩條直線
27、
G4 空間中的平行關系
【數(shù)學（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測（201412）word版】17．（本小題滿分12分）
如圖，為正三角形，平面，，為的中點，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【知識點】線面平行，空間向量解決線面位置關系 G4 G10
【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）
（Ⅰ）證明：作的中點，連結．
在中，，又據(jù)題意知，．
∴，∴四邊形為平行四邊形．
∴，又平面，平面．
∴平面．……………………………………4分
（Ⅱ）∵，∴平面．
28、 在正中，，∴三線兩兩垂直．
分別以為軸，建系如圖．
則，，．
∴，．
設平面的一個法向量為，
則，即，令，則．
∴平面的一個法向量為．
又平面的一個法向量為．
∴．
∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值．…………………………8分
【思路點撥】（Ⅰ）求證線面平行，可以利用線線平行，本題很容易找出；
（Ⅱ）分別求平面與平面的法向量，
∴，即可求出余弦值．
【數(shù)學（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測（201412）word版
29、】8．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同的平面，且，，則下列敘述正確的是
（A）若，則 （B）若，則
（C）若，則 （D）若，則
【知識點】線線關系，線面關系 G4 G5
【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D.
【思路點撥】熟悉空間中線線，線面關系的判斷，逐一排除即可.
【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】9．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變,
30、 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( )
A． B．
C． D．
【知識點】空間幾何體的結構G4
【答案】D
【解析】蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓直徑為1.
雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為.
而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.
【思路點撥】先求出球心到截面的距離為，
再求球心到底面的距離為。
【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽市八中高三上學期第六次月考（201501）】9．如圖，用一邊長為
31、的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將表面積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為( )
A． B．
C． D．
【知識點】空間幾何體的結構G4
【答案】D
【解析】蛋巢的底面是邊長為1的正方形，所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓直徑為1.
雞蛋的表面積為，所以球的半徑為1，所以球心到截面的距離為.
而截面到底面的距離即為三角形的高，所以球心到底面的距離為.
【思路點撥】先求出球心到截面的距離為，
再求球心到底面的
32、距離為。
【數(shù)學文卷·2015屆四川省綿陽中學高三上學期第五次月考（201412）】18．（本題滿分12分）
如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點。
（1）若，求證：平面平面；
（2）點在線段上，，試確定的值，使平面；
【知識點】平面與平面垂直的判定 直線與平面平行的性質及直線與直線平行的性質 G4 G5
【答案】（1）證明詳見解析;（2）.
【解析】解析：(1)連四邊形菱形,???，
正三角形,? 為中點,
的中點,
又平面平面
∴平面平面
(2)當時,平面?
下面證明,若平面,連交于?
由可得,,?
平面,平面,平面平面,?
?? 即
33、:???;??
【思路點撥】（1）由已知條件可證根據(jù)平面與平面垂直的判定定理即可求證平面平面
（2）連結交于，由可證,即得,由直線與平面平行的性質，可證,即得，所以即.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿分12分）
如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側棱⊥底面,,分別為上的動點，且．
（Ⅰ）若，求證：∥
（Ⅱ）求三棱錐體積最大值．
【知識點】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7
【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）分別取和中點、，連接、、，
34、
則,,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分
（Ⅱ）在平面內作,
因為側棱⊥底面,
所以平面⊥底面,且平面底面,
所以,所以．…………7分
（或平面中，所以）
因為,所以．
,,…………10分
…………12分
的最大值為
【思路點撥】（Ⅰ）分別取和中點、，連接、、，然后利用線面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結合已知條件把體積轉化成含的解析式，進而求出最大值即可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】19．（本小題滿分12分）
如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側棱⊥底面,,分別為上的動點，且
35、．
（Ⅰ）若，求證：∥
（Ⅱ）求三棱錐體積最大值．
【知識點】線面平行的判定定理；三棱錐的體積.G4 G7
【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）分別取和中點、，連接、、，
則,,所以,四邊形為平行四邊形．,又∥．……4分
（Ⅱ）在平面內作,
因為側棱⊥底面,
所以平面⊥底面,且平面底面,
所以,所以．…………7分
（或平面中，所以）
因為,所以．
,,…………10分
…………12分
的最大值為
【思路點撥】（Ⅰ）分別取和中點、，連接、、，然后利用線面平行的判定定理即可；（Ⅱ）結合已知條件把體積轉化成含的解析式，進而求出最大值即
36、可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分）
正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點M是EC中點。
（1）求證：BM//平面ADEF；
（2）求三棱錐的體積.
【知識點】平行關系 棱錐的體積G4 G7
【答案】【解析】（1）略；（2）
解析：(1)證明：取DE中點N，連接MN，AN，在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因為AN?平面A
37、DEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF；
（2）因為EC的中點，所以，
因為,且DE與CD相交于D
所以
因為,所以AB//平面CDE ，到面的距離,即為
.
【思路點撥】證明線面平行通常結合線面平行的判定定理進行證明，求三棱錐體積時，若以所給底面求體積不方便時，可考慮換底面求體積.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（文）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】19.（本小題滿分12分）
正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點M是EC中點。
（1）求證：BM//平面AD
38、EF；
（2）求三棱錐的體積.
【知識點】平行關系 棱錐的體積G4 G7
【答案】【解析】（1）略；（2）
解析：(1)證明：取DE中點N，連接MN，AN，在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN=CD．由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB，且MN=AB．所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，又因為AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，所以BM∥平面ADEF；
（2）因為EC的中點，所以，
因為,且DE與CD相交于D
所以
因為,所以AB//平面CDE ，到面的距離,即為
39、
.
【思路點撥】證明線面平行通常結合線面平行的判定定理進行證明，求三棱錐體積時，若以所給底面求體積不方便時，可考慮換底面求體積.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】20．（本小題滿分15分）
如圖，在幾何體中， 平面，
平面，，又，
。
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。
（第20題圖）
【知識點】空間平行、垂直，以及線面成角等知識 G4 G5 G11
【答案】（1）；（2）.
【解析】解析：
40、過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空間上角坐標系
,又,則點到軸的距離為1,到軸的距離 為。
則有,,,,。 （4分）
（1）設平面的法向量為，
．
則有，取，得，又，
設與平面所成角為，則，
故與平面所成角的正弦值為。 （5分）
（2）設平面的法向量為，
，
則有，取，得。
，
故平面與平面所成的銳二面角的余弦值是. （5分）
【思路點撥】過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空
41、間上角坐標系，求得點坐標，進而得到平面的法向量，利用線面角公式求得；求得平面的法向量，以及（1）中平面的法向量，利用二面角公式求得.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】4．在空間給出下面四個命題(其中、為不同的兩條直線,、為不同的兩個平面)
①,// ②//,////
③//,,// ④,//,//,//,////
其中正確的命題個數(shù)有（ ▲ ）。
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【知識點】空間中直線與平面的位置關系 G4 G5
【答案
42、】C【解析】解析：①由線面垂直及線面平行的性質，可知,//，故①正確；②，故②錯誤③根據(jù)線面垂直的性質；兩平行線中的一個垂直于平面，則另一個也垂直于平面可知：若，則，又，故③正確④由,可得平面都與直線確定的平面平行，則可得，故④正確綜上知，正確的有①③④，故選擇C.
【思路點撥】根據(jù)線面垂直、線面平行的性質，可判斷①；由可判斷②；③根據(jù)兩平行線中的一個垂直于平面，則另一個也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判斷③；④由已知可得平面都與直確定的平面平行，則可得，可判斷④.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，
43、是直線，則下列命題不正確的是（）
A．若則 B．若則
C．若則 D．若，則
【知識點】平行關系與垂直關系G4 G5
【答案】【解析】D
解析：由線面垂直的性質得A選項正確；由兩面平行的性質知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因為n不一定在平面β內，所以m與n不一定平行，則D錯誤，綜上可知選D.
【思路點撥】判斷空間線面位置關系時，可考慮反例法和直接推導相結合的方法進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）
44、
A．若則 B．若則
C．若則 D．若，則
【知識點】平行關系與垂直關系G4 G5
【答案】【解析】D
解析：由線面垂直的性質得A選項正確；由兩面平行的性質知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因為n不一定在平面β內，所以m與n不一定平行，則D錯誤，綜上可知選D.
【思路點撥】判斷空間線面位置關系時，可考慮反例法和直接推導相結合的方法進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】5．已知是平面，是直線，則下列命題不正確的是（）
A．若則 B．若則
45、
C．若則 D．若，則
【知識點】平行關系與垂直關系G4 G5
【答案】【解析】D
解析：由線面垂直的性質得A選項正確；由兩面平行的性質知B正確；若m⊥α,m∥β,則平面β必經(jīng)過平面α的一條垂線，所以C正確；因為n不一定在平面β內，所以m與n不一定平行，則D錯誤，綜上可知選D.
【思路點撥】判斷空間線面位置關系時，可考慮反例法和直接推導相結合的方法進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆重慶市巴蜀中學高三上學期第一次模擬考試（201501）】20．已知在如圖的多面體中，⊥底面，，
，,是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面[]
46、 （3）求此多面體的體積.
【知識點】線面平行的判定定理；線面垂直的判定定理；幾何體的體積.G4 G5G7
【答案】【解析】（1）見解析；（2）見解析；（3）
解析：（1）∵，
∴．
又∵,是的中點，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴ ．
∵平面，平面，
∴平面．
（2）連結，四邊形是矩形，
∵，⊥底面，
∴平面，平面， ∴
∵，
∴四邊形為菱形，∴，
又平面，平面，
∴平面．
,作于，平面平面，平面，,平面
47、
,,
【思路點撥】（1）先結合已知條件證明出四邊形是平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可；（2）直接利用線面垂直的判定定理即可；（3）先對原幾何體分解，再分別求出體積相加即可。
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】6．設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面．下列命題中，正確的是（ ▲ ）。
A．若與所成的角相等，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【知識點】空間中直線與平面的位置關系 G4 G5
【答案】C【解析】解析：當兩條直線與一個平面所成的角相
48、等時，這兩條直線的關系不能確定，故A不正確，當兩個平面垂直時，一條直線與一個平面垂直，則這條直線與另一個平面的關系都有可能，故B不正確，當一條直線與一個平面垂直，與另一個平面平行，
則這兩個平面之間的關系是垂直，故C正確，當兩條直線分別和兩個平面平行，這兩條直線之間沒有關系，故D不正確．故選擇C.
【思路點撥】當兩條直線與一個平面所成的角相等時，這兩條直線的關系不能確定，當兩個平面垂直時，一條直線與一個平面垂直，則這條直線與另一個平面的關系都有可能，當兩條直線分別和兩個平面平行，這兩條直線之間沒有關系，得到結論．
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆四川省石室中學高三一診模
49、擬（201412）word版】19．如圖1，在四棱錐中，底面，面為正方形，為側棱上一點，為上一點。該四棱錐的正（主）側圖和側（左）視圖如圖2所示。
（I）證明：∥平面；
（II）證明：平面平面。
【知識點】線面平行 面面垂直G4 G5
【答案】【解析】（I）略；（II）略．
解析：（I）證明：取PC中點Q，連結EQ，F(xiàn)Q．由正（主）視圖可得E為PD的中點，所以EQ∥CD,,又因為AF∥CD,AF=CD, 所以AFE∥Q,AF=EQ,所以四邊形AFEQ為平行四邊形，所以AE∥FQ．因為,所以 直線AE∥平面PFC;
（II）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD,因為
50、面ABCD為正方形，所以AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD，因為，所以CD⊥AE,因為PA=AD，E為PD中點，所以AE⊥PD,所以AE⊥平面PCD．因為AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD．因為， 所以平面PFC⊥平面PCD.
【思路點撥】證明線面平行及面面垂直問題，通常結合其判定定理進行證明.
【【名校精品解析系列】數(shù)學文卷·2015屆四川省石室中學高三一診模擬（201412）word版】6．已知是平面，是直線，則下列命題正確的是（）
A．若則 B．若則
C．若則 D．若，則
【知識點】平行關系與垂直關系G4 G5
【答案】【解析】 B
解析：選項A，直線n還可能
51、在平面α內，所以錯誤；選項B，因為n∥α,所以在α一定存在直線a∥n，而m⊥α,所以m⊥a,得m⊥n，所以B正確，因為只有一個正確選項，則答案只能為B..
【思路點撥】判斷空間線面位置關系時，可考慮反例法和直接推導相結合的方法進行解答.
G5 空間中的垂直關系
【數(shù)學（理）卷·2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測（201412）word版】8．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同的平面，且，，則下列敘述正確的是
（A）若，則 （B）若，則
（C）若，則 （D）若，則
【知識點】線線關系，線面關系 G4 G
52、5
【答案】【解析】D解析：A中m，n可能異面；B中，可能相交；C中可能或，故選D.
【思路點撥】熟悉空間中線線，線面關系的判斷，逐一排除即可.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆河北省唐山一中等五校高三上學期第二次聯(lián)考（201501）】19．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為的菱形，，．
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）設與交于點，為中點，若二面角的正切值為，求的值．
【知識點】平面與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．G5 G11
【答案】【解析】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ） 因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD………………2分
53、
又ABCD為菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC………………4分
從而平面PBD⊥平面PAC． ……………6分
（Ⅱ）方法1． 過O作OH⊥PM交PM于H，連HD
因為DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD為O-PM-D的平面角………………8分
又，且………………10分
從而………………11分
所以，即． ………………………12分
法二：如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標系，則,, …………8分
從而………………9分
因為BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為．……10分
設平面PMD的法
54、向量為,由得
取，即 ……………11分
設與的夾角為，則二面角大小與相等
從而，得
從而，即． ……………12分
【思路點撥】（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的判定，證明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，證明平面PBD⊥平面PAC;（Ⅱ）過O作OH⊥PM交PM于H，連HD，則∠OHD為A﹣PM﹣D的平面角，利用二面角O﹣PM﹣D的正切值為，即可求a：b的值．
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠B
55、AD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
【知識點】垂直關系 線面所成的角G5 G11
【答案】【解析】(1)略；(2)
解析：方法一 (1)證明 如圖，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)解 因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因為棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1
56、A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，
即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝.從而sin θ＝.
即直
57、線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
方法二 (1)證明 易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系. 設AB＝t，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).
從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).
因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，
因為·＝－3＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D
58、.
(2)解 由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).
設n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即
令x＝1，則n＝(1，－，).設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
【思路點撥】證明線線垂直，通常轉化為線面垂直進行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1
59、中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
【知識點】垂直關系 線面所成的角G5 G11
【答案】【解析】(1)略；(2)
解析：方法一 (1)證明 如圖，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)解 因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因為棱柱ABCD－A1B1C1D
60、1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，
即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(90°－θ)＝.從而s
61、in θ＝.
即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
方法二 (1)證明 易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系. 設AB＝t，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).
從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).
因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，
因為·＝－3＋3＋0＝0， 所
62、以⊥，即AC⊥B1D.
(2)解 由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).
設n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即
令x＝1，則n＝(1，－，).設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
【思路點撥】證明線線垂直，通常轉化為線面垂直進行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學（理）卷·2015屆吉林省實驗中學高三上學期第二次模擬考試（201501）】19.(本小題滿分12分)如圖，在直棱柱ABC
63、D－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.
（Ⅰ）證明：AC⊥B1D；
（Ⅱ）求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.
【知識點】垂直關系 線面所成的角G5 G11
【答案】【解析】(1)略；(2)
解析：方法一 (1)證明 如圖，因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1.又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D.
(2)解 因為B1C1∥AD，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為θ).如圖，連接A1D，因為棱柱AB
64、CD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，所以A1B1⊥平面ADD1A1，從而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.
由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，因為AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.從而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，
即AB＝＝.連接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，即cos(9
65、0°－θ)＝.從而sin θ＝.
即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.
方法二 (1)證明 易知，AB，AD，AA1兩兩垂直.如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系. 設AB＝t，則相關各點的坐標為A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).
從而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).
因為AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).
于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，
因為·＝－3
66、＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D.
(2)解 由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).
設n＝(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則，即
令x＝1，則n＝(1，－，).設直線B1C1與平面ACD1所成角為θ，則
sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.
【思路點撥】證明線線垂直，通常轉化為線面垂直進行證明，求線面所成角通常利用定義作出所成角，再利用三角形求值，本題也可以建立空間直角坐標系，利用空間向量進行解答.
【【名校精品解析系列】數(shù)學理卷·2015屆浙江省重點中學協(xié)作體高三上學期第二次適應性測試（201501）word版】20．（本小題滿分15分）
如圖，在幾何體中， 平面，
平面，，又，
。
（1）求與平面所成角的正弦值；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。
（第20題圖）
【知識點】空間平行、垂直，以及線面成角等知識 G4 G5 G11
【答案】（1）；（2）.
【解析】解析：過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空間上角坐標系
,又,則點到軸的距離為1
2015年高三數(shù)學名校試題分類匯編（1月 第二期）G單元 立體幾何（含解析）
