人教版數學七年級下冊第五章 相交線與平行線——專題練習

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1、小專題（一）平行線中的“拐點”問題模型 1 M 型【例 1】 如圖，已知 ABCD，則B，BED，D 之間有何數量關系？請說明 理由【思路點撥】 由已知條件知，ABCD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質解決為此可構造第三條直線，即過點 E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了變式當點 E 運動到平行線的外側1已知 ABCD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點(1)如圖 1，探究BED 與B，D 的數量關系，并說明理由； (2)如圖 2，探究CDE 與B，BED 的數量關系，并說明理由拓展平行線間有多個拐點2(1)如圖 1 中，ABCD，則

2、EG 與BFD 有何關系？ (2)在圖 2 中，若 ABCD，又能得到什么結論？如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉化為一個拐點問 題來處理M 型最終的結論為：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2鉛筆型【例 2】 如圖，直線 ABCD，B，BED，D 之間有什么關系呢？為什么？拓展平行線間有多個拐點3(1)如圖 1，MA NA ，則A A 1 2 1 2如圖 2，MA NA ，則A A A 1 3 1 2 3度；度；如圖 3，MA NA ，則A A A A 1 4 1 2 3 4圖 4，MA NA ，則A A A A A 1 5 1 2 3 4 5從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)

3、律？(2)如圖 5，MA NA ，則A A A A 1 n 1 2 3 n度；度；度小專題(二)利用平行線的性質求角的度數類型 1直接利用平行線的性質與判定求角度1如圖，OC 是AOB 的平分線，lOB.若152，則2 的度數為( ) A52 B54 C64 D692如圖，CDAB，點 O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110，則AOF 的度數是( )A20 B25 C30 D353如圖，ABCD，CBDE，B50，則D 4如圖，已知 EFAD，12，BAC80，求AGD 的度數類型 2借助學具的特征求角度5如圖，將直尺與 30角的三角尺疊放在一起若140，則2 的大小是 ( )

4、A40 B60 C70 D806如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知C1 2是直角，則12 的度數等于( )A75 B90 C105 D120類型 3折疊問題中求角度7將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形若ABC26，則ACD 8如圖，一個四邊形紙片 ABCD，BD90，C130.把紙片按如圖 所示折疊，使點 B 落在 AD 邊上的 B點，AE 是折痕，則AEB 的度數是 類型 4抽象出平行線模型求角度 (建模思想)9如圖，AOB 的一邊 OA 為平面鏡，AOB38，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E

5、處，已知ADCODE.則DEB 的度數是度10 如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成如圖 2 所示的1 與2，則1 與2 的度數和是 小專題(三)平行線的性質與判定的綜合運用教材 P37T13 的變式與應用教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明(1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DEBA，DF CA.求證：FDEA.證明：DEBA，F(xiàn)DEDFCA，AFDEA.(2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，CCOA，DBOD.求證 A

6、CBD. 證明：CCOA，DBOD，又COABOD( )，C ACBD(內錯角相等，兩直線平行)(1)判定兩直線平行的方法有五種：平行線的定義；平行公理的推論；同 位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線 平行(2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式(3)由兩條直線平行得到同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，解題時應結 合圖形先確認所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內錯角 或同旁內角，同時要學會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據1如圖，已知 ADBC，EFBC，垂足分別為 D，F(xiàn)，23180.試說明： G

7、DCB.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補 充完整解：因為 ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB (垂直的定義)所以 (同位角相等，兩直線平行)所以12 (兩直線平行，同旁內角互補)又因為23180( )，所以13( )所以 ABDG( )所以GDCB( )2如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，AG 分別交于點 H，M.若 DFAB， B75，D105，求證：AMEAGC.3如圖，ABCD，AE 平分BAD，CD 與 AE 相交于點 F，CFEE.求證：AD BC.4如圖，E1，3ABC180，BE 是ABC 的平分線你能判斷 DF 與 AB

8、的位置關系嗎？請說明理由5如圖，ABBD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290.求證：CDBD.6如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點為 G，點 D， C 分別落在 D，C的位置上若EFG55，求1，2 的度數7如圖，已知 BCGE，AFG150.(1)求證：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于點 Q，且Q15，求ACQ 的度數參考答案：小專題（一）平行線中的“拐點”問題模型 1 M 型【例 1】 如圖，已知 ABCD，則B，BED，D 之間有何數量關系？請說明 理由【思路點撥】 由已知條件

9、知，ABCD，但圖形中沒有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質解決為此可構造第三條直線，即過點 E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了【解答】 BEDBD. 理由：過點 E 作 EFAB，則 EFCD. BBEF，DDEF. BEDBEFDEFBD.變式當點 E 運動到平行線的外側1已知 ABCD，點 E 為 AB，CD 之外任意一點(1)如圖 1，探究BED 與B，D 的數量關系，并說明理由； (2)如圖 2，探究CDE 與B，BED 的數量關系，并說明理由解：(1)BBEDD.理由如下： 過點 E 作 EFAB，則 ABCDEF. BEFB，DDEF

10、.BEFBEDDEF，BBEDD.(2)CDEBBED.理由如下： 過點 E 作 EFAB，則 ABCDEF.BBEF180，CDEDEF180. 又DEFBEFBED，CDEBEFBEDBBEF， 即CDEBBED.拓展平行線間有多個拐點2(1)如圖 1 中，ABCD，則EG 與BFD 有何關系？ (2)在圖 2 中，若 ABCD，又能得到什么結論？解：(1)BEFFGDBEFGD.理由：過點 E，F(xiàn)，G 分別作 EMAB，F(xiàn)NAB，GHAB，由 ABCD，得 ABEMFNGHCD.BEMB，MEFEFN，NFGFGH，HGDD.BEFFGDBEMMEFFGHHGDBEFNNFGD BEFG

11、D.(2)在圖 2 中，有E E E E BF F F1 2 3 n 1 2n1D.如果出現(xiàn)多個拐點時，可以作多條平行線，從而將多拐點問題轉化為一個拐點問 題來處理M 型最終的結論為：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2鉛筆型【例 2】 如圖，直線 ABCD，B，BED，D 之間有什么關系呢？為什么？【解答】 BBEDD360.理由：過點 E 作 EFAB.ABCD，ABCDEF.BBEF180，DDEF180. BBEFDDEF360， 即BBEDD360.拓展平行線間有多個拐點3(1)如圖 1，MA NA ，則A A 180 度；1 2 1 2如圖 2，MA NA ，則A A A 360

12、度；1 3 1 2 3如圖 3，MA NA ，則A A A A 540 度；1 4 1 2 3 4圖 4，MA NA ，則A A A A A 720 度； 1 5 1 2 3 4 5從上述結論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(2)如圖 5，MA NA ，則A A A A 180(n1)度1 n 1 2 3 n解：每增加一個角，度數增加 180.小專題(二)利用平行線的性質求角的度數類型 1直接利用平行線的性質與判定求角度1如圖，OC 是AOB 的平分線，lOB.若152，則2 的度數為( C ) A52 B54 C64 D692如圖，CDAB，點 O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110，則

13、AOF 的度數是( D )A20D35B25 C303如圖，ABCD，CBDE，B50，則D1304如圖，已知 EFAD，12，BAC80，求AGD 的度數解：EFAD，23(兩直線平行，同位角相等)12，13(等量代換)ABDG(內錯角相等，兩直線平行)BACAGD180(兩直線平行，同旁內角互補) BAC80，AGD100.類型 2借助學具的特征求角度5如圖，將直尺與 30角的三角尺疊放在一起若140，則2 的大小是 ( D )A40 B60 C70 D806如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點剛好落在平行線 l ，l 上，已知C1 2是直角，則12 的度數等于( B )A75 B90 C1

14、05 D120類型 3折疊問題中求角度7將一個長方形紙片折疊成如圖所示的圖形若ABC26，則ACD1288如圖，一個四邊形紙片 ABCD，BD90，C130.把紙片按如圖 所示折疊，使點 B 落在 AD 邊上的 B點，AE 是折痕，則AEB 的度數是 65類型 4抽象出平行線模型求角度 (建模思想)9如圖，AOB 的一邊 OA 為平面鏡，AOB38，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點 C 射入經平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點 E 處，已知ADC ODE.則DEB 的度數是 76 度10 如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個梯形挖去一個小半 圓，其中刀片的兩條

15、邊緣線可看成兩條平行的線段，轉動刀片時會形成如圖 2 所示的1 與2，則1 與2 的度數和是 90小專題(三)平行線的性質與判定的綜合運用教材 P37T13 的變式與應用教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明(1)如圖 1，點 D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點，DEBA，DF CA.求證：FDEA.證明：DEBA，F(xiàn)DEBFD(兩直線平行，內錯角相等)DFCA，ABFD(兩直線平行，同位角相等)FDEA.(2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點 O，CCOA，DBOD.求證 ACBD. 證明：CCOA，DBOD，又COABOD(對頂角相等)，CDAC

16、BD(內錯角相等，兩直線平行)(1)判定兩直線平行的方法有五種：平行線的定義；平行公理的推論；同 位角相等，兩直線平行；內錯角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線 平行(2)判定兩直線平行時，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運用，推理時要 注意書寫格式(3)由兩條直線平行得到同位角相等、內錯角相等或同旁內角互補，解題時應結 合圖形先確認所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內錯角 或同旁內角，同時要學會簡單的幾何說理，做到每一步有理有據1如圖，已知 ADBC，EFBC，垂足分別為 D，F(xiàn)，23180.試說明： GDCB.下面是不完整的說理過程，請你將橫線上的過程和括號里的理由補

17、 充完整解：因為 ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB90(垂直的定義)所以 ADEF(同位角相等，兩直線平行)所以12180(兩直線平行，同旁內角互補) 又因為23180(已知)，所以13(同角的補角相等)所以 ABDG(內錯角相等，兩直線平行)所以GDCB(兩直線平行，同位角相等)2如圖，點 G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，AG 分別交于點 H，M.若 DFAB， B75，D105，求證：AMEAGC.證明：DFAB(已知)，DBHM(兩直線平行，同位角相等) 又B75，D105(已知)， BBHM75105180. DEBC(同旁內角互補，兩直線平行) AMEAGC(

18、兩直線平行，同位角相等)3如圖，ABCD，AE 平分BAD，CD 與 AE 相交于點 F，CFEE.求證：AD BC.證明：AE 平分BAD(已知)，12(角平分線的定義)ABCD(已知)，1CFE(兩直線平行，同位角相等)又12(已證)，CFEE(已知)，2E(等量代換)ADBC(內錯角相等，兩直線平行)4如圖，E1，3ABC180，BE 是ABC 的平分線你能判斷 DF 與 AB 的位置關系嗎？請說明理由解：DFAB.理由：BE 是ABC 的平分線，12(角平分線的定義)E1(已知)，E2(等量代換)AEBC(內錯角相等，兩直線平行)AABC180(兩直線平行，同旁內角互補) 3ABC18

19、0(已知)，A3(等量代換)DFAB(同位角相等，兩直線平行)5如圖，ABBD 于點 B，點 E 是 BD 上的點，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290.求證：CDBD.證明：AE 平分BAC，CE 平分ACD(已知)，BAC21，ACD22(角平分線的性質)BACACD21222(12)1290(已知)，BACACD180.ABCD(同旁內角互補，兩直線平行)BD180(兩直線平行，同旁內角互補)D180B(等式的性質)ABBD(已知)，B90(垂直的定義)D90，即 CDBD.6如圖，把一張長方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點為 G，點 D， C

20、分別落在 D，C的位置上若EFG55，求1，2 的度數解：ADBC，EFG55，2GED，DEFEFG55(兩直線平行，內錯角相等) 由折疊，知GEFDEF55.GED110.2110.1180270(兩直線平行，同旁內角互補)7如圖，已知 BCGE，AFG150.(1)求證：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于點 Q，且Q15，求ACQ 的度數解：(1)證明：BCGE，E150.AFG150，EAFG50.AFDE.(2)過點 A 作 APGE，BCGE，APGEBC.FAPAFG50，PAQQ15. FAQFAPPAQ65.AQ 平分FAC，CAQFAQ65. CAP80.ACQ180CAP100.