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1、高數(shù)知識點總結(jié)(上冊)函數(shù):絕對值得性質(zhì):(1)|a+b|a|+|b|(2)|a-b|a|-|b|(3)|ab|=|a|b|(4)|=函數(shù)的表示方法:(1)表格法(2)圖示法(3)公式法(解析法)函數(shù)的幾種性質(zhì):(1)函數(shù)的有界性 (2)函數(shù)的單調(diào)性(3)函數(shù)的奇偶性 (4)函數(shù)的周期性反函數(shù):定理:如果函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的,則它的反函數(shù)存在,且是單值、單調(diào)的?;境醯群瘮?shù):(1)冪函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)對數(shù)函數(shù)(4)三角函數(shù)(5)反三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用極限與連續(xù)性:數(shù)列的極限:定義:設(shè)是一個數(shù)列,a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)(不管它多么小),總存在正整數(shù)N,使得對于nN的一
2、切,不等式都成立,則稱數(shù)a是數(shù)列的極限,或稱數(shù)列收斂于a,記做,或()收斂數(shù)列的有界性:定理:如果數(shù)列收斂,則數(shù)列一定有界推論:(1)無界一定發(fā)散(2)收斂一定有界 (3)有界命題不一定收斂函數(shù)的極限:定義及幾何定義函數(shù)極限的性質(zhì):(1)同號性定理:如果,而且A0(或AN時,與都存在且(3)存在(或為),則極限存在(或為),且=未定式1、情形如果 (1)時,與都趨于無窮大 (2)在點a的某領(lǐng)域(點a可除外)內(nèi),與都存在且 (3)存在(或為) ,則則極限存在(或為),且=2、情形推論:如果 (1)時,與都趨于無窮大 (2)當(dāng)|x|N時,與都存在且 (3)存在(或為) ,則則極限存在(或為),且=
3、注意:1、洛必達法則僅適用于型及型未定式 2、當(dāng)不存在時,不能斷定不存在,此時不能應(yīng)用洛必達法則泰勒公式(略)邁克勞林公式(略)函數(shù)單調(diào)性的判別法:必要條件:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù),如果在上單調(diào)增加(減少),則在內(nèi),()充分條件:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù),(1)如果在內(nèi),則在上單調(diào)增加(2)如果在內(nèi),則在上單調(diào)減少函數(shù)的極值及其求法極值定義(見書176頁)極值存在的充分必要條件必要條件:設(shè)函數(shù)在點處具有導(dǎo)數(shù),且在點處取得極值,則函數(shù)的極值點一定是駐點導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點駐點:使的點,稱為函數(shù)的駐點充分條件(第一):設(shè)連續(xù)函數(shù)在點的一個鄰域(點可除外)內(nèi)具有導(dǎo)數(shù),當(dāng)x由小增大經(jīng)過
4、時,如果(1)由正變負,則是極大點(2)由負變正,則是極小點(3)不變號,則不是極值點充分條件(第二):設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù),且,(1)如果,則在點處取得極大值(2)如果,則在點處取得極小值函數(shù)的最大值和最小值(略)曲線的凹凸性與拐點:定義:設(shè)在上連續(xù),如果對于上的任意兩點、恒有,則稱在上的圖形是(向上)凹的,反之,圖形是(向上)凸的。判別法:定理:設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)(1)如果在內(nèi),那么的圖形在上是凹的(2)如果在內(nèi),那么的圖形在上是凸的拐點:凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。不定積分原函數(shù):如果在某一區(qū)間上,函數(shù)與滿足關(guān)系式:或,則稱在這個區(qū)間上,函數(shù)是函數(shù)的一個原函數(shù)結(jié)
5、論:如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù),則在這個區(qū)間上必有原函數(shù)定理:如果函數(shù)是的原函數(shù),則(C為任意常數(shù))也是的原函數(shù),且的任一個原函數(shù)與相差為一個常數(shù)不定積分的定義:定義:函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分,記做不定積分的性質(zhì):性質(zhì)一:或及或性質(zhì)二:有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即性質(zhì)三:被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,即(k為常數(shù),且k0基本積分表: (1)(k是常數(shù))(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)第一類換元法(湊微分法)第二類換元法:變量代換被積函數(shù)若函數(shù)有無理式,一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無理式化為有理式基本
6、積分表添加公式:結(jié)論:如果被積函數(shù)含有,則進行變量代換化去根式如果被積函數(shù)含有,則進行變量代換化去根式如果被積函數(shù)含有,則進行變量代換化去根式分部積分法:對應(yīng)于兩個函數(shù)乘積的微分法,可推另一種基本微分法-分部積分法分部積分公式1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積,可以利用分部積分法令u等于冪函數(shù)2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積,可使用分部積分法令u=3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積,也可用分部積分法。定積分定積分的定義定理:如果函數(shù)在上連續(xù),則在上可積定理:如果函數(shù)在上只有有限個第一類間斷點,則在上可積定積分的幾何意義:1、在上,這時的值在幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲
7、邊梯形的面積2、在上,其表示曲邊梯形面積的負值3、在上,既取得正值又取得負值幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質(zhì):性質(zhì)一、函數(shù)和(差)的定積分等于他們的定積分的和(差),即性質(zhì)二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面,即(k是常數(shù))性質(zhì)三、如果將區(qū)間分成兩部分和,那么、性質(zhì)四、如果在上,那么性質(zhì)五、如果在上,那么性質(zhì)六、如果在上,那么性質(zhì)七、設(shè)M及m,分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則m(b-a)M(b-a)(aa,如果極限存在,則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分,記做即無界函數(shù)的廣義積分(見書279頁)定積分的應(yīng)用(見書286頁)元素法在極坐標系中的計算法