高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(上冊(cè))

高數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（上冊(cè)）函數(shù)：絕對(duì)值得性質(zhì)：(1)|a+b|a|+|b|(2)|a-b|a|-|b|(3)|ab|=|a|b|(4)|=函數(shù)的表示方法：（1）表格法（2）圖示法（3）公式法（解析法）函數(shù)的幾種性質(zhì)：（1）函數(shù)的有界性 （2）函數(shù)的單調(diào)性（3）函數(shù)的奇偶性 （4）函數(shù)的周期性反函數(shù)：定理：如果函數(shù)在區(qū)間a,b上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)存在，且是單值、單調(diào)的?；境醯群瘮?shù)：（1）冪函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)（3）對(duì)數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)（5）反三角函數(shù)復(fù)合函數(shù)的應(yīng)用極限與連續(xù)性：數(shù)列的極限：定義：設(shè)是一個(gè)數(shù)列，a是一個(gè)定數(shù)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)（不管它多么小），總存在正整數(shù)N，使得對(duì)于n>N的一切，不等式都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于a，記做，或（）收斂數(shù)列的有界性：定理：如果數(shù)列收斂，則數(shù)列一定有界推論：（1）無(wú)界一定發(fā)散（2）收斂一定有界 （3）有界命題不一定收斂函數(shù)的極限：定義及幾何定義函數(shù)極限的性質(zhì)：（1）同號(hào)性定理：如果，而且A>0(或A<0),則必存在的某一鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外），有（或）。（2）如果，且在的某一鄰域內(nèi)（），恒有（或），則（）。（3）如果存在，則極限值是唯一的（4）如果存在，則在在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)（）是有界的。無(wú)窮小與無(wú)窮大：注意：無(wú)窮小不是一個(gè)很小的數(shù)，而是一個(gè)以零位極限的變量。但是零是可作為無(wú)窮小的唯一的常數(shù)，因?yàn)槿绻麆t對(duì)任給的，總有，即常數(shù)零滿足無(wú)窮小的定義。除此之外，任何無(wú)論多么小的數(shù)，都不滿足無(wú)窮小的定義，都不是無(wú)窮小。無(wú)窮小與無(wú)窮大之間的關(guān)系：（1）如果函數(shù)為無(wú)窮大，則為無(wú)窮?。?）如果函數(shù)為無(wú)窮小，且，則為無(wú)窮大具有極限的函數(shù)與無(wú)窮小的關(guān)系：（1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個(gè)無(wú)窮小的和（2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無(wú)窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限關(guān)于無(wú)窮小的幾個(gè)性質(zhì)：定理：（1）有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和也是無(wú)窮小（2）有界函數(shù)與無(wú)窮小a的乘積是無(wú)窮小推論：（1）常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮?。?）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小極限的四則運(yùn)算法則：定理：兩個(gè)函數(shù)、的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和 兩個(gè)函數(shù)、乘積的極限等于它們的極限的乘積極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限：準(zhǔn)則一（夾擠定理）設(shè)函數(shù)、在的某個(gè)鄰域內(nèi)（點(diǎn)可除外）滿足條件：（1）（2），則準(zhǔn)則二單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在重要極限：（1）（2）（3）或無(wú)窮小階的定義：設(shè)為同一過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小。（1）如果，則稱是比高階的無(wú)窮小，記做（2）如果，則稱是比低階的無(wú)窮?。?）如果，則稱與是同階無(wú)窮?。?）如果，則稱與是等階無(wú)窮小，記做幾種等價(jià)無(wú)窮?。簩?duì)數(shù)函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮小：時(shí)，三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮?。簳r(shí)， 指數(shù)函數(shù)中常用的等價(jià)無(wú)窮小：時(shí)， 二項(xiàng)式中常用的等價(jià)無(wú)窮?。簳r(shí)， 函數(shù)在某一點(diǎn)處連續(xù)的條件：由連續(xù)定義可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：（1）在點(diǎn)處有定義（2）當(dāng)時(shí)，的極限存在（3）極限值等于函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值極限與連續(xù)的關(guān)系：如果函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當(dāng)時(shí)，的極限一定存在，反之，則不一定成立函數(shù)的間斷點(diǎn)：分類：第一類間斷點(diǎn)(左右極限都存在) 第二類間斷點(diǎn)(有一個(gè)極限不存在)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性：定理：如果函數(shù)、在點(diǎn)處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點(diǎn)也連續(xù)反函數(shù)的連續(xù)性：定理：如果函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)最大值與最小值定理：定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值推論：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界介值定理：定理：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，兩端點(diǎn)處的函數(shù)值分別為，而是介于A與B之間的任一值，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值推論（2）：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且(兩端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào))，則在的內(nèi)部，至少存在一點(diǎn)，使導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)：定義：導(dǎo)數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的表示：如果函數(shù)在x處可導(dǎo)，則在點(diǎn)x處連續(xù)，也即函數(shù)在點(diǎn)x處連續(xù)一個(gè)數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，它卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)：（1）（2）（3）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（1）常數(shù)導(dǎo)數(shù)為零 （2）冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （3）三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 （4）對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（5）指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（6）（7）反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則：法則一（具體內(nèi)容見(jiàn)書106）函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則：法則二（具體內(nèi)容見(jiàn)書108）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：法則三（具體內(nèi)容見(jiàn)書109）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：（定理見(jiàn)書113頁(yè)）反函數(shù)的求導(dǎo)法則：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：（見(jiàn)書121頁(yè)）高階導(dǎo)數(shù)：二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)求n階導(dǎo)數(shù)：（不完全歸納法）隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（見(jiàn)書126頁(yè)）對(duì)隱函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，首先將方程兩端同時(shí)對(duì)自變量求導(dǎo)，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)用記號(hào)（或表示）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：先取對(duì)數(shù)，后求導(dǎo)（冪指函數(shù)）由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：微分概念：函數(shù)可微的條件如果函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)一定可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可微的必要充分條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量的線性主部（當(dāng)），從而，當(dāng)很小時(shí)，有通常把自變量x的增量稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為，從而有基本初等函數(shù)的微分公式： 幾個(gè)常用的近似公式：（x用弧度）（x用弧度）中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用羅爾定理：如果函數(shù)滿足下列條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)（3）在端點(diǎn)處函數(shù)值相等，即，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足下列條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線上的弧除端點(diǎn)處外處處具有不垂直于x軸的切線，那么，在這弧上至少有一點(diǎn)c，使曲線在點(diǎn)c的切線平行于弧推論：如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么在內(nèi)是一個(gè)常數(shù)柯西中值定理：如果函數(shù)與滿足下列條件（1）在閉區(qū)間上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)（3）在內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)使得羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣洛必達(dá)法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）未定式1、情形定理：如果 (1)當(dāng)時(shí)，與都趨于零（2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且（3）存在（或?yàn)椋瑒t極限存在（或?yàn)椋?，?在一定條件下通過(guò)分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則2、情形推論：如果 （1）當(dāng)時(shí)，與都趨于零（2）當(dāng)|x|>N時(shí)，與都存在且（3）存在（或?yàn)椋瑒t極限存在（或?yàn)椋?，?未定式1、情形如果 （1）時(shí)，與都趨于無(wú)窮大 （2）在點(diǎn)a的某領(lǐng)域（點(diǎn)a可除外）內(nèi)，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋?，則則極限存在（或?yàn)椋?2、情形推論：如果 （1）時(shí)，與都趨于無(wú)窮大 （2）當(dāng)|x|>N時(shí)，與都存在且 （3）存在（或?yàn)椋?，則則極限存在（或?yàn)椋?，?注意：1、洛必達(dá)法則僅適用于型及型未定式 2、當(dāng)不存在時(shí)，不能斷定不存在，此時(shí)不能應(yīng)用洛必達(dá)法則泰勒公式（略）邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法：必要條件：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，如果在上單調(diào)增加（減少），則在內(nèi)，（）充分條件：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，（1）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)增加（2）如果在內(nèi)，則在上單調(diào)減少函數(shù)的極值及其求法極值定義（見(jiàn)書176頁(yè)）極值存在的充分必要條件必要條件：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處取得極值，則函數(shù)的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在也可能成為極值點(diǎn)駐點(diǎn)：使的點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn)充分條件（第一）：設(shè)連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域（點(diǎn)可除外）內(nèi)具有導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x由小增大經(jīng)過(guò)時(shí)，如果（1）由正變負(fù)，則是極大點(diǎn)（2）由負(fù)變正，則是極小點(diǎn)（3）不變號(hào)，則不是極值點(diǎn)充分條件（第二）：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，（1）如果，則在點(diǎn)處取得極大值（2）如果，則在點(diǎn)處取得極小值函數(shù)的最大值和最小值（略）曲線的凹凸性與拐點(diǎn)：定義：設(shè)在上連續(xù)，如果對(duì)于上的任意兩點(diǎn)、恒有，則稱在上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。判別法：定理：設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)（1）如果在內(nèi)，那么的圖形在上是凹的（2）如果在內(nèi)，那么的圖形在上是凸的拐點(diǎn)：凸弧與凹弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)。不定積分原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)與滿足關(guān)系式：或，則稱在這個(gè)區(qū)間上，函數(shù)是函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)結(jié)論：如果函數(shù)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上必有原函數(shù)定理：如果函數(shù)是的原函數(shù)，則（C為任意常數(shù)）也是的原函數(shù)，且的任一個(gè)原函數(shù)與相差為一個(gè)常數(shù)不定積分的定義：定義：函數(shù)的全體原函數(shù)稱為的不定積分，記做不定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一：或及或性質(zhì)二：有限個(gè)函數(shù)的和的不定積分等于各個(gè)函數(shù)的不定積分的和。即性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)，即（k為常數(shù)，且k0基本積分表： （1）（k是常數(shù)）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）第一類換元法（湊微分法）第二類換元法：變量代換被積函數(shù)若函數(shù)有無(wú)理式，一般情況下導(dǎo)用第二類換元法。將無(wú)理式化為有理式基本積分表添加公式：結(jié)論：如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式如果被積函數(shù)含有，則進(jìn)行變量代換化去根式分部積分法：對(duì)應(yīng)于兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法-分部積分法分部積分公式1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可以利用分部積分法令u等于冪函數(shù)2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與的積，可使用分部積分法令u=3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分定積分的定義定理：如果函數(shù)在上連續(xù)，則在上可積定理：如果函數(shù)在上只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，則在上可積定積分的幾何意義：1、在上，這時(shí)的值在幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積2、在上，其表示曲邊梯形面積的負(fù)值3、在上，既取得正值又取得負(fù)值幾何上表示由曲線、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即性質(zhì)二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面，即（k是常數(shù)）性質(zhì)三、如果將區(qū)間分成兩部分和，那么、性質(zhì)四、如果在上，那么性質(zhì)五、如果在上，那么性質(zhì)六、如果在上，那么性質(zhì)七、設(shè)M及m，分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值，則m(b-a)M(b-a)(a<b)估值定理性質(zhì)八、積分中值定理如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，那么在積分區(qū)間上至少有一點(diǎn)，使得微積分基本公式積分上限的函數(shù)：（axb）性質(zhì)：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，那么積分上限的函數(shù)在上具有導(dǎo)數(shù)，且定理：在區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在牛頓萊布尼茨公式如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個(gè)原函數(shù)，那么定積分的換元法假設(shè)（1）函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)；（2）函數(shù)在區(qū)間上單值，且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；（3）當(dāng)t在區(qū)間上變化時(shí)，的值在上變化，且， ，則有定積分的換元公式設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，則（1）如果函數(shù)為奇函數(shù)，則（2）如果函數(shù)為偶函數(shù)，則定積分的分部積分法設(shè)、在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、，那么，在等式的兩邊分別求a到b的定積分得定積分的分部積分公式即或無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，取b>a，如果極限存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分，記做即無(wú)界函數(shù)的廣義積分（見(jiàn)書279頁(yè)）定積分的應(yīng)用（見(jiàn)書286頁(yè)）元素法在極坐標(biāo)系中的計(jì)算法