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1、子集、全集、補(bǔ)集觀察以下每組中的兩個(gè)集合觀察以下每組中的兩個(gè)集合A、B，看看這兩個(gè)集合中的元素有，看看這兩個(gè)集合中的元素有什么關(guān)系：什么關(guān)系：（1）A=1，2，B=1，2，3（2）A=N，B=R（3）A=x x為北京人為北京人 B=x x為中國人為中國人 以上幾組集合中，集合以上幾組集合中，集合A中的中的元素都在集合元素都在集合B中中。對于集合對于集合A中的中的任何任何一個(gè)元素一個(gè)元素都都是集合是集合B的的元素元素(若若aA，則，則aB)，則稱集合則稱集合A是集合是集合B的的子集（子集（subset)。記作記作A B，或，或B A。讀作。讀作“集合集合A包含于集合包含于集合B”或或“集合集合B
2、包含集合包含集合A”。用數(shù)學(xué)語言來表示就是：若用數(shù)學(xué)語言來表示就是：若xA，則則xB，我們就說，我們就說A是是B的子集。記作的子集。記作A B，或或B A。A B可以用可以用Venn圖來表示：圖來表示：BA當(dāng)集合當(dāng)集合A不包含不包含于集合于集合B，或集，或集合合B不包含集合不包含集合A時(shí)，記作時(shí)，記作AB，或或BA。如。如A=1，2，3，B=2，3，4，則，則AB，當(dāng)然，當(dāng)然，B A。規(guī)定：空集是任何集合的規(guī)定：空集是任何集合的子集，子集，即即 對于任何一個(gè)對于任何一個(gè)集合集合A，都有，都有 A。思考：思考：A B與與B A能否同時(shí)成立？能否同時(shí)成立？一般地，對于兩個(gè)集合一般地，對于兩個(gè)集合A
3、與與B，如果集合，如果集合A的任何一個(gè)的任何一個(gè)元素都是集合元素都是集合B的元素，同時(shí)集合的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都的任何一個(gè)元素都是集合是集合A的元素，我們就說集合的元素，我們就說集合A等于集合等于集合B，記作，記作A=B。用數(shù)學(xué)語言來表述上面的話就是：若用數(shù)學(xué)語言來表述上面的話就是：若A B，且，且B A，則，則A=B。對于兩個(gè)集合對于兩個(gè)集合A與與B，如果，如果A B，且，且AB，我們就說，我們就說A是是B的的真子集（真子集（proper set)，記作，記作AB（或（或BA），讀作），讀作A真包含于真包含于B（或（或B真包含真包含A）。）。我們也可以這樣說：如果集合我們也可以這
4、樣說：如果集合A是集合是集合B的子集，并且的子集，并且集合集合B中至少有一個(gè)元素不是集合中至少有一個(gè)元素不是集合A的元素，那么的元素，那么A是是B的真子集。的真子集。集合集合A=B和和AB可以用下面的圖形來可以用下面的圖形來表示：表示：A BA=B BAAB根據(jù)子集的定義，易知子集具有以下性質(zhì)：根據(jù)子集的定義，易知子集具有以下性質(zhì)：（1）A（空集是任何集合的子集）。（空集是任何集合的子集）。（2）A A（任何一個(gè)集合是它本身的子集。（任何一個(gè)集合是它本身的子集。（3）若）若A B，B C，則，則A C（包含關(guān)系（包含關(guān)系 具有傳遞性）。具有傳遞性）。類似地，真子集具有以下性質(zhì)：類似地，真子集具
5、有以下性質(zhì)：（1）若）若A，則，則A（空集是任何（空集是任何 非空集合的真子集）。非空集合的真子集）。（2）若）若A B，B C，則，則A C（真（真包含關(guān)系也具有傳遞性）。包含關(guān)系也具有傳遞性）。例例1、寫出集合、寫出集合a,b 的所有子集。的所有子集。解：解：集合集合a,b 的所有子集為的所有子集為，a，b，a，b。一般地，若集合一般地，若集合A中有中有n個(gè)元素，則集合個(gè)元素，則集合A有有 個(gè)子集，個(gè)子集，-1個(gè)非空子集，個(gè)非空子集，-1個(gè)個(gè)真子集，真子集，-2個(gè)非空真子集。個(gè)非空真子集。n2n2n2n2寫出集合寫出集合a,b,c,d 的所有真子集。的所有真子集。例例2、已知、已知a，b
6、Aa，b，c，d，求，求所有滿足條件的集合所有滿足條件的集合A。分析：本題考察的是子集與真子集的概分析：本題考察的是子集與真子集的概念。首先要弄清楚念。首先要弄清楚A里面必須含有里面必須含有a和和b，然后考慮然后考慮A里面含有其他哪些元素，按規(guī)里面含有其他哪些元素，按規(guī)律去找。律去找。解：解：a，b A，A中必有元素中必有元素a，b。又又 Aa，b，c，d，A中的元素有中的元素有2個(gè)或個(gè)或3個(gè)。個(gè)。因此滿足條件的集合因此滿足條件的集合A有：有：a，b，a，b，c，a，b，d。全集與補(bǔ)集的概念：全集與補(bǔ)集的概念：設(shè)設(shè)S是一個(gè)集合，是一個(gè)集合，A是是S的一個(gè)子集（的一個(gè)子集（A S），），由由S中
7、不屬于中不屬于A的所有元素組成的集合，叫做的所有元素組成的集合，叫做S的子集的子集A的的補(bǔ)集（補(bǔ)集（complementary set），記作，記作 ，即，即CsCsCsA=X|XS，且XAAS如果集合如果集合S含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，用這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集，用U表示。表示。ACs 如果如果S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5那么那么 ACsCsA=2，4，6A1，3,52，4，6SCsAA例例3、已知、已知A=xx3，B=xxa （1）若）若B A，求，求a的取值范圍。的取值范圍。（2）若）若A B，
8、求求a的取值范圍。的取值范圍。分析：本題是將不等式的知識(shí)與集合的分析：本題是將不等式的知識(shí)與集合的內(nèi)容聯(lián)系起來，通過不等式在數(shù)軸上的內(nèi)容聯(lián)系起來，通過不等式在數(shù)軸上的表示即可獲解。表示即可獲解。解解：（：（1）B A，如右圖，如右圖，a3。（2）A B，如右圖，如右圖，a3。例例4、已知、已知A=1，x，y，B=x，x ，xy，且且A=B，求實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)x，y。2分析：此題從集合分析：此題從集合A中的已知數(shù)中的已知數(shù)1入手，因入手，因 為為A=B，則，則B中必有中必有1，根據(jù)元素的互異性，根據(jù)元素的互異性 知，知，x1，故，故x=1，或，或xy=1，從而分別求，從而分別求 出出x，y的值。的值
9、。注意所求值是否使集合元素注意所求值是否使集合元素 滿足互異性是這類題容易忽略而引起錯(cuò)解滿足互異性是這類題容易忽略而引起錯(cuò)解 的地方。的地方。2解：由解：由A=1，x，y可知，可知，x1，y1。A=B，或或 由由得得 或或 （舍）（舍）由由得得 （舍）。（舍）。故綜上所述，故綜上所述，x=-1，y=0。yxyx12yxxy2101yxRyx111yx再分析：由于本題給出的兩個(gè)相等的集合再分析：由于本題給出的兩個(gè)相等的集合 是有限集，故可根據(jù)相等的有限集的性是有限集，故可根據(jù)相等的有限集的性 質(zhì)質(zhì)：（1）兩個(gè)集合的所有元素之和相等；）兩個(gè)集合的所有元素之和相等；（2）兩個(gè)集合的所有元素之積相等。
10、）兩個(gè)集合的所有元素之積相等。列出關(guān)于列出關(guān)于x，y的方程組，求解即可。的方程組，求解即可。解法二、解法二、A=B，依題義有依題義有 即即 由集合中元素的互異性可知：由集合中元素的互異性可知：x1，x0，解方程組得解方程組得x=-1，y=0。xyxxyxxyxxyx22110)1(0)1)(1(3xxyyxx例例5、設(shè)、設(shè)A=xx 8x+15=0，B=xax 1=0，若，若B A，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù) a 組成的集合。組成的集合。2分析：易知分析：易知A=3，5，而集合，而集合B為一個(gè)一為一個(gè)一 次方程的解集，因此集合次方程的解集，因此集合B中最多有一中最多有一 個(gè)元素，有因?yàn)閭€(gè)元素，有因?yàn)锽 A，所
11、以，所以B=或或3或或 5，由此便可解出，由此便可解出 a 的值。的值。簡答題簡答題1.U=R=實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，Q=有理數(shù)有理數(shù)，求，求 QCuCuCuCuCu2.U=梯行梯行，A=等腰梯形等腰梯形，求，求 A3.U=Z，求，求N+4 .U=N，求，求N+5.U=R，求，求CuCuQ6.U=四邊形四邊形，A=至少有一組對邊平行的四邊形至少有一組對邊平行的四邊形，求求 A7.U=小于小于10的正整數(shù)的正整數(shù)，A=2，3，4，求，求 ACuCu8.=2，4，-a+1,A=a+1,2,A=7求求a=?2a練習(xí)題：練習(xí)題：例例1：如果：如果S=X|X是小于是小于9的正整數(shù)的正整數(shù)，A=1，2，3，B=3，4
12、，5，6那么那么CsCsA=，B=例例2：設(shè)：設(shè)U=Z，A=X|X=2k,kZ,B=X|X=2K+1,kZ,求CuCuAB練習(xí)題：練習(xí)題：1.設(shè)集合A=-1，1，B=x|-2ax+b=0,若B ，且且B A，求，求a,b的值。的值。2x2.設(shè)全集是設(shè)全集是2，3，a2 +2a 3,A=|a+1|,2A的補(bǔ)集為的補(bǔ)集為5，寫出寫出M=X|X=|a|的全部子集。的全部子集。例例6、已知集合、已知集合A=Z，B=試判斷試判斷A，B 的關(guān)系。的關(guān)系。Znnxx,212解：當(dāng)解：當(dāng)n取一些特殊值，如取一些特殊值，如，-2，-1，0，1，2，時(shí)，集合時(shí)，集合B 中的元素為中的元素為 ，通過觀察，通過觀察
13、發(fā)現(xiàn)集合發(fā)現(xiàn)集合B中的元素除了所有的整數(shù)外，中的元素除了所有的整數(shù)外，還含有其他的元素，如還含有其他的元素，如 等，因等，因 此此AB。23,1,21,0,2123,21,21分析：對于集合分析：對于集合B，先考慮，先考慮n取一些特殊取一些特殊 值的情形，再通過觀察弄清楚集合值的情形，再通過觀察弄清楚集合B中中 的元素的構(gòu)成情況，從而得出集合的元素的構(gòu)成情況，從而得出集合A，B的關(guān)系。的關(guān)系。再分析：因?yàn)檎麛?shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，再分析：因?yàn)檎麛?shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，因此我們對因此我們對n分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況 進(jìn)行討論。進(jìn)行討論。解：解：nZ，n=2k或或n=2k+1，kZ。當(dāng)當(dāng)n=2k時(shí)，時(shí)，x=k+，當(dāng)當(dāng)n=2k+1時(shí)，時(shí)，x=k+1，為整數(shù)。，為整數(shù)。AB。21注：此題說成注：此題說成A B也沒錯(cuò)，但沒有也沒錯(cuò)，但沒有AB 準(zhǔn)確。準(zhǔn)確。集合與集合的關(guān)系集合與集合的關(guān)系包含包含相等相等子集子集真子集真子集 若若xA，則，則xB，則稱則稱A是是B的子集。的子集。定義定義 若若A B，且，且AB，則稱則稱A是是B的真子集。的真子集。定義定義若若A B，且且B A定義定義A BA包含于包含于B符號(hào)符號(hào)讀法讀法ABA真包含于真包含于B符號(hào)符號(hào)讀法讀法A=BA等于等于B符號(hào)符號(hào)讀法讀法小結(jié)：小結(jié)：
第一章 第二節(jié) 子集、全集、補(bǔ)集 人教
