第一章 第二節(jié) 子集、全集、補集 人教

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1、子集、全集、補集觀察以下每組中的兩個集合觀察以下每組中的兩個集合A、B，看看這兩個集合中的元素有，看看這兩個集合中的元素有什么關(guān)系：什么關(guān)系：（1）A=1，2，B=1，2，3（2）A=N，B=R（3）A=x x為北京人為北京人 B=x x為中國人為中國人 以上幾組集合中，集合以上幾組集合中，集合A中的中的元素都在集合元素都在集合B中中。對于集合對于集合A中的中的任何任何一個元素一個元素都都是集合是集合B的的元素元素(若若aA，則，則aB)，則稱集合則稱集合A是集合是集合B的的子集（子集（subset)。記作記作A B，或，或B A。讀作。讀作“集合集合A包含于集合包含于集合B”或或“集合集合B

2、包含集合包含集合A”。用數(shù)學(xué)語言來表示就是：若用數(shù)學(xué)語言來表示就是：若xA，則則xB，我們就說，我們就說A是是B的子集。記作的子集。記作A B，或或B A。A B可以用可以用Venn圖來表示：圖來表示：BA當(dāng)集合當(dāng)集合A不包含不包含于集合于集合B，或集，或集合合B不包含集合不包含集合A時，記作時，記作AB，或或BA。如。如A=1，2，3，B=2，3，4，則，則AB，當(dāng)然，當(dāng)然，B A。規(guī)定：空集是任何集合的規(guī)定：空集是任何集合的子集，子集，即即 對于任何一個對于任何一個集合集合A，都有，都有 A。思考：思考：A B與與B A能否同時成立？能否同時成立？一般地，對于兩個集合一般地，對于兩個集合A

3、與與B，如果集合，如果集合A的任何一個的任何一個元素都是集合元素都是集合B的元素，同時集合的元素，同時集合B的任何一個元素都的任何一個元素都是集合是集合A的元素，我們就說集合的元素，我們就說集合A等于集合等于集合B，記作，記作A=B。用數(shù)學(xué)語言來表述上面的話就是：若用數(shù)學(xué)語言來表述上面的話就是：若A B，且，且B A，則，則A=B。對于兩個集合對于兩個集合A與與B，如果，如果A B，且，且AB，我們就說，我們就說A是是B的的真子集（真子集（proper set)，記作，記作AB（或（或BA），讀作），讀作A真包含于真包含于B（或（或B真包含真包含A）。）。我們也可以這樣說：如果集合我們也可以這

4、樣說：如果集合A是集合是集合B的子集，并且的子集，并且集合集合B中至少有一個元素不是集合中至少有一個元素不是集合A的元素，那么的元素，那么A是是B的真子集。的真子集。集合集合A=B和和AB可以用下面的圖形來可以用下面的圖形來表示：表示：A BA=B BAAB根據(jù)子集的定義，易知子集具有以下性質(zhì)：根據(jù)子集的定義，易知子集具有以下性質(zhì)：（1）A（空集是任何集合的子集）。（空集是任何集合的子集）。（2）A A（任何一個集合是它本身的子集。（任何一個集合是它本身的子集。（3）若）若A B，B C，則，則A C（包含關(guān)系（包含關(guān)系 具有傳遞性）。具有傳遞性）。類似地，真子集具有以下性質(zhì)：類似地，真子集具

5、有以下性質(zhì)：（1）若）若A，則，則A（空集是任何（空集是任何 非空集合的真子集）。非空集合的真子集）。（2）若）若A B，B C，則，則A C（真（真包含關(guān)系也具有傳遞性）。包含關(guān)系也具有傳遞性）。例例1、寫出集合、寫出集合a,b 的所有子集。的所有子集。解：解：集合集合a,b 的所有子集為的所有子集為，a，b，a，b。一般地，若集合一般地，若集合A中有中有n個元素，則集合個元素，則集合A有有 個子集，個子集，-1個非空子集，個非空子集，-1個個真子集，真子集，-2個非空真子集。個非空真子集。n2n2n2n2寫出集合寫出集合a,b,c,d 的所有真子集。的所有真子集。例例2、已知、已知a，b

6、Aa，b，c，d，求，求所有滿足條件的集合所有滿足條件的集合A。分析：本題考察的是子集與真子集的概分析：本題考察的是子集與真子集的概念。首先要弄清楚念。首先要弄清楚A里面必須含有里面必須含有a和和b，然后考慮然后考慮A里面含有其他哪些元素，按規(guī)里面含有其他哪些元素，按規(guī)律去找。律去找。解：解：a，b A，A中必有元素中必有元素a，b。又又 Aa，b，c，d，A中的元素有中的元素有2個或個或3個。個。因此滿足條件的集合因此滿足條件的集合A有：有：a，b，a，b，c，a，b，d。全集與補集的概念：全集與補集的概念：設(shè)設(shè)S是一個集合，是一個集合，A是是S的一個子集（的一個子集（A S），），由由S中

7、不屬于中不屬于A的所有元素組成的集合，叫做的所有元素組成的集合，叫做S的子集的子集A的的補集（補集（complementary set），記作，記作 ，即，即CsCsCsA=X|XS，且XAAS如果集合如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集，用這個集合就可以看作一個全集，用U表示。表示。ACs 如果如果S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5那么那么 ACsCsA=2，4，6A1，3,52，4，6SCsAA例例3、已知、已知A=xx3，B=xxa （1）若）若B A，求，求a的取值范圍。的取值范圍。（2）若）若A B，

8、求求a的取值范圍。的取值范圍。分析：本題是將不等式的知識與集合的分析：本題是將不等式的知識與集合的內(nèi)容聯(lián)系起來，通過不等式在數(shù)軸上的內(nèi)容聯(lián)系起來，通過不等式在數(shù)軸上的表示即可獲解。表示即可獲解。解解：（：（1）B A，如右圖，如右圖，a3。（2）A B，如右圖，如右圖，a3。例例4、已知、已知A=1，x，y，B=x，x ，xy，且且A=B，求實數(shù)，求實數(shù)x，y。2分析：此題從集合分析：此題從集合A中的已知數(shù)中的已知數(shù)1入手，因入手，因 為為A=B，則，則B中必有中必有1，根據(jù)元素的互異性，根據(jù)元素的互異性 知，知，x1，故，故x=1，或，或xy=1，從而分別求，從而分別求 出出x，y的值。的值

9、。注意所求值是否使集合元素注意所求值是否使集合元素 滿足互異性是這類題容易忽略而引起錯解滿足互異性是這類題容易忽略而引起錯解 的地方。的地方。2解：由解：由A=1，x，y可知，可知，x1，y1。A=B，或或 由由得得 或或 （舍）（舍）由由得得 （舍）。（舍）。故綜上所述，故綜上所述，x=-1，y=0。yxyx12yxxy2101yxRyx111yx再分析：由于本題給出的兩個相等的集合再分析：由于本題給出的兩個相等的集合 是有限集，故可根據(jù)相等的有限集的性是有限集，故可根據(jù)相等的有限集的性 質(zhì)質(zhì)：（1）兩個集合的所有元素之和相等；）兩個集合的所有元素之和相等；（2）兩個集合的所有元素之積相等。

10、）兩個集合的所有元素之積相等。列出關(guān)于列出關(guān)于x，y的方程組，求解即可。的方程組，求解即可。解法二、解法二、A=B，依題義有依題義有 即即 由集合中元素的互異性可知：由集合中元素的互異性可知：x1，x0，解方程組得解方程組得x=-1，y=0。xyxxyxxyxxyx22110)1(0)1)(1(3xxyyxx例例5、設(shè)、設(shè)A=xx 8x+15=0，B=xax 1=0，若，若B A，求實數(shù)求實數(shù) a 組成的集合。組成的集合。2分析：易知分析：易知A=3，5，而集合，而集合B為一個一為一個一 次方程的解集，因此集合次方程的解集，因此集合B中最多有一中最多有一 個元素，有因為個元素，有因為B A，所

11、以，所以B=或或3或或 5，由此便可解出，由此便可解出 a 的值。的值。簡答題簡答題1.U=R=實數(shù)實數(shù)，Q=有理數(shù)有理數(shù)，求，求 QCuCuCuCuCu2.U=梯行梯行，A=等腰梯形等腰梯形，求，求 A3.U=Z，求，求N+4 .U=N，求，求N+5.U=R，求，求CuCuQ6.U=四邊形四邊形，A=至少有一組對邊平行的四邊形至少有一組對邊平行的四邊形，求求 A7.U=小于小于10的正整數(shù)的正整數(shù)，A=2，3，4，求，求 ACuCu8.=2，4，-a+1,A=a+1,2,A=7求求a=?2a練習(xí)題：練習(xí)題：例例1：如果：如果S=X|X是小于是小于9的正整數(shù)的正整數(shù)，A=1，2，3，B=3，4

12、，5，6那么那么CsCsA=，B=例例2：設(shè)：設(shè)U=Z，A=X|X=2k,kZ,B=X|X=2K+1,kZ,求CuCuAB練習(xí)題：練習(xí)題：1.設(shè)集合A=-1，1，B=x|-2ax+b=0,若B ，且且B A，求，求a,b的值。的值。2x2.設(shè)全集是設(shè)全集是2，3，a2 +2a 3,A=|a+1|,2A的補集為的補集為5，寫出寫出M=X|X=|a|的全部子集。的全部子集。例例6、已知集合、已知集合A=Z，B=試判斷試判斷A，B 的關(guān)系。的關(guān)系。Znnxx,212解：當(dāng)解：當(dāng)n取一些特殊值，如取一些特殊值，如，-2，-1，0，1，2，時，集合時，集合B 中的元素為中的元素為 ，通過觀察，通過觀察

13、發(fā)現(xiàn)集合發(fā)現(xiàn)集合B中的元素除了所有的整數(shù)外，中的元素除了所有的整數(shù)外，還含有其他的元素，如還含有其他的元素，如 等，因等，因 此此AB。23,1,21,0,2123,21,21分析：對于集合分析：對于集合B，先考慮，先考慮n取一些特殊取一些特殊 值的情形，再通過觀察弄清楚集合值的情形，再通過觀察弄清楚集合B中中 的元素的構(gòu)成情況，從而得出集合的元素的構(gòu)成情況，從而得出集合A，B的關(guān)系。的關(guān)系。再分析：因為整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，再分析：因為整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，因此我們對因此我們對n分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況 進行討論。進行討論。解：解：nZ，n=2k或或n=2k+1，kZ。當(dāng)當(dāng)n=2k時，時，x=k+，當(dāng)當(dāng)n=2k+1時，時，x=k+1，為整數(shù)。，為整數(shù)。AB。21注：此題說成注：此題說成A B也沒錯，但沒有也沒錯，但沒有AB 準(zhǔn)確。準(zhǔn)確。集合與集合的關(guān)系集合與集合的關(guān)系包含包含相等相等子集子集真子集真子集 若若xA，則，則xB，則稱則稱A是是B的子集。的子集。定義定義 若若A B，且，且AB，則稱則稱A是是B的真子集。的真子集。定義定義若若A B，且且B A定義定義A BA包含于包含于B符號符號讀法讀法ABA真包含于真包含于B符號符號讀法讀法A=BA等于等于B符號符號讀法讀法小結(jié)：小結(jié)：