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1、2.3 數(shù)學(xué)歸納法,2.3 數(shù)學(xué)歸納法,課題引入,不完全歸納法,對(duì)于某類事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情況，歸納出一般結(jié)論的推理方法，叫歸納法。,特點(diǎn):,an=a1+(n-1)d,如何證明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*),費(fèi)馬（Fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)nN時(shí)， 一定都是質(zhì)數(shù)，這是他觀察當(dāng)n0，1，2，3，4時(shí)的值都是質(zhì)數(shù)，提出猜想得到的半個(gè)世紀(jì)后，18世紀(jì)偉大的瑞士科學(xué)家歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn) 4 294 967 2976700417641，從而否定了費(fèi)馬的推測(cè)沒想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立,舉例說明： 一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是： an= (n25n+
2、5)2 請(qǐng)算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= 猜測(cè)an?,由于a525 1，所以猜測(cè)是不正確的,所以由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠,1,1,1,1,猜測(cè)是否正確呢？,思考：這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨全部倒下的條件是什么？,多米諾骨牌（domino）是一種用木制、骨制或塑料制成的長方形骨牌。玩時(shí)將骨牌按一定間距排列成行，輕輕碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就會(huì)產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，依次倒下。,多米諾是一項(xiàng)集動(dòng)手、動(dòng)腦于一體的運(yùn)動(dòng)。 一幅圖案由幾百、幾千甚至上萬張骨牌組成。骨牌需要一張張擺下去，它不僅考驗(yàn)參與者的體力、耐力和意志力，而且還培養(yǎng)參與者的智力、想象力和創(chuàng)造力。,多米諾是種文化。它起源于中國，有
3、著上千年的歷史。,只要滿足以下兩個(gè)條件，所有多米諾骨牌就能全部倒下：,（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。 （依據(jù)）,條件（2）事實(shí)上給出了一個(gè)遞推關(guān)系：當(dāng)?shù)趉塊倒下時(shí)，相鄰的第k+1塊也倒下。,思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通項(xiàng)公式 是這個(gè)猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個(gè)問題嗎？,（1）第一塊骨牌倒下；（基礎(chǔ)）,二、數(shù)學(xué)歸納法的概念：,證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)題,可用下列方法來證明它們的正確性: (1)驗(yàn)證當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1)時(shí)命題成立, (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN* ，kn0 )時(shí)命題成立, 證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立,完成這兩步，就可以斷定這個(gè)命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。,求證,請(qǐng)問： 第步中“當(dāng)n=k+1時(shí)”的證明可否改換為： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1) = = (k+1)2 ?為什么？,例:用數(shù)學(xué)歸納法證明,例、求證:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1),作業(yè):P108 A組 1(2) B組 3,
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