【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)（四）理

《【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)（四）理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 大題沖關(guān)集訓(xùn)（四）理（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、大題沖關(guān)集訓(xùn)(四)1.(2014福州模擬)如圖,正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直,ABE是等腰直角三角形,AB=AE,FA=FE,AEF=45.(1)求證:EF平面BCE;(2)設(shè)線段CD的中點為P,在直線AE上是否存在一點M,使得PM平面BCE?若存在,請指出點M的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.解:法一(1)取BE的中點G,連接AG,由題意知EFBE.由EA=AB知AGBE,所以EFAG.平面ABCD平面ABEF,平面ABCD平面ABEF=AB,BCAB,BC平面ABEF,BCAG.又BCBE=B,AG平面BCE,EF平面BCE.(2)當(dāng)M為AE中點時

2、有PM平面BCE.取AB的中點N,連接PN、MN,則MNBE,NPBC,所以MN平面BCE,NP平面BCE.又MNNP=N,所以平面PMN平面BCE,又PM平面PMN且PM平面BCE,PM平面BCE.法二(1)因為ABE為等腰直角三角形,AB=AE,所以AEAB.又平面ABEF平面ABCD,AE平面ABEF,平面ABEF平面ABCD=AB,所以AE平面ABCD.所以AEAD.因此,AD,AB,AE兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點,建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.設(shè)AB=1,則AE=1,B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,0,1),C(1,1,0).因為FA=FE,AEF=45,所以AFE=90,從而,

3、F(0,-,).所以=(0,-,-),=(0,-1,1),=(1,0,0).=0+-=0,=0.所以EFBE,EFBC.又BCBE=B,所以EF平面BCE.(2)存在點M,當(dāng)M為AE中點時,PM平面BCE.M(0,0,),P(1,0).從而=(-1,-,),于是=(-1,-,)(0,-,-)=0,所以PMFE,又EF平面BCE,直線PM不在平面BCE內(nèi),故PM平面BCE.2.(2014臨沂?？?如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,已知BC=1,BB1=2,BCC1=90,AB側(cè)面BB1C1C.(1)求直線C1B與底面ABC所成角的正弦值;(2)在棱CC1(不包含端點C,C1)上確定一點E的位置

4、,使得EAEB1(要求說明理由).解:法一(1)AB側(cè)面BB1C1C,CC1面BB1C1C,ABC1C,又CC1CB且CBAB=B,CC1平面ABC,C1BC為直線C1B與底面ABC所成角.RtCC1B中,BC1=1,CC1=2,則BC1=.sin C1BC=.直線C1B與底面ABC所成角的正弦值為.(2)取CC1的中點F,連接B1F,BF.矩形BCC1B1中,BF=B1F=,BB1=2,BFB1F,又ABB1F,B1F平面ABF,B1FAF.故當(dāng)E與F重合,即E為CC1的中點時有EAEB1.法二如圖,以B為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C1(1,2,0),B1(0,2,0)(1

5、)直三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC的法向量=(0,2,0),又=(1,2,0),設(shè)BC1與平面ABC所成角為,則sin =|cos|=.直線C1B與底面ABC所成角的正弦值為.(2)設(shè)E(1,y,0),A(0,0,z),則=(-1,2-y,0),=(-1,-y,z).EAEB1,=1-y(2-y)=0.y=1,即E(1,1,0).E為CC1的中點.3.如圖,在直角梯形ABCP中,AB=BC=3,AP=7,CDAP于D,現(xiàn)將梯形ABCD沿線段CD折成60的二面角PCDA,設(shè)E,F,G分別是PD,PC,BC的中點.(1)求證:PA平面EFG;(2)若M為線段CD上的一個動點,問點M在什么位

6、置時,直線MF與平面EFG所成的角最大?并求此最大角的余弦值.(1)證明:ADCD,PDCD,CD平面PAD,平面PAD平面ABCD.過P作AD的垂線,垂足為O,則PO平面ABCD.過O作BC的垂線,交BC于H,分別以O(shè)H,OD,OP為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,PDO是二面角PDCA的平面角,PDO=60,又PD=4,OP=2,OD=2,AO=1,得A(0,-1,0),B(3,-1,0),C(3,2,0),P(0,0,2),D(0,2,0),E(0,1,),F(,1,),G(3,0),故=(,0,0),=(3,-,-),設(shè)平面EFG的一個法向量為n=(x,y,z),則即取z=1,得n

7、=(0,-2,1),而=(0,-1,-2),n=0+2-2=0,n,又PA平面EFG,故PA平面EFG.(2)解:設(shè)M(x,2,0),則=(-x,-1,),設(shè)MF與平面EFG所成角為,則sin =|cos|=|=,故當(dāng)x=時,sin 取到最大值,則取到最大值,此時點M為線段CD的中點,MF與平面EFG所成角的余弦值cos =.4.(2014福建師大附中模擬)一個幾何體是由圓柱和三棱錐EABC組合而成,點A,B,C在圓O的圓周上,其正視圖、側(cè)視圖的面積分別為10和12,如圖所示,其中EA平面ABC,ABAC,AB=AC,AE=2.(1)求證:ACBD;(2)求二面角ABDC的大小.解:法一(1)

8、因為EA平面ABC,AC平面ABC,所以EAAC,即EDAC.又因為ACAB,ABED=A,所以AC平面EBD.因為BD平面EBD,所以ACBD.(2)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且ABAC,所以BC為圓O的直徑.設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得解得所以BC=4,AB=AC=2.過點C作CHBD于點H,連接AH,由(1)知,ACBD,ACCH=C,所以BD平面ACH.因為AH平面ACH,所以BDAH.所以AHC為二面角ABDC的平面角.由(1)知,AC平面ABD,AH平面ABD,所以ACAH,即CAH為直角三角形.在RtBAD中,AB=2,AD=2,則BD=2.由

9、ABAD=BDAH,解得AH=.因為tan AHC=.所以AHC=60.所以二面角ABDC的平面角大小為60.法二(1)因為點A,B,C在圓O的圓周上,且ABAC,所以BC為圓O的直徑.設(shè)圓O的半徑為r,圓柱高為h,根據(jù)正視圖、側(cè)視圖的面積可得解得所以BC=4,AB=AC=2.以點D為原點,DD1,DE所在的直線分別為x軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),C(2,-2,2),=(2,-2,0),=(2,2,2).因為=(2,-2,0)(2,2,2)=0,所以.所以ACBD.(2)設(shè)n=(x,y,z)是平面BCD的

10、法向量,=(0,-4,0),即取z=-1,則n=(1,0,-1)是平面BCD的一個法向量.由(1)知,ACBD,又ACAB,ABBD=B,所以AC平面ABD.所以=(2,-2,0)是平面ABD的一個法向量.因為cos=,所以=60.而等于二面角ABDC的平面角,所以二面角ABDC的平面角大小為60.5.(2014高考浙江卷)如圖,在四棱錐ABCDE中,平面ABC平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(1)證明:DE平面ACD;(2)求二面角BADE的大小.(1)證明:在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=,由AC=,AB=2得AB

11、2=AC2+BC2,即ACBC.又平面ABC平面BCDE,從而AC平面BCDE.所以ACDE.又DEDC,從而DE平面ACD.(2)解:法一作BFAD,與AD交于點F,過點F作FGDE,與AE交于點G,連接BG,由(1)知DEAD,則FGAD.所以BFG是二面角BADE的平面角.在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BDBC.又平面ABC平面BCDE,得BD平面ABC,從而BDAB.由于AC平面BCDE,得ACCD.在RtACD中,由DC=2,AC=,得AD=.在RtAED中,由ED=1,AD=,得AE=.在RtABD中,由BD=,AB=2,AD=,得BF=,AF=AD.從而GF=

12、.在ABE,ABG中,利用余弦定理分別可得cos BAE=,BG=.在BFG中,cos BFG=.所以,BFG=,即二面角BADE的大小是.法二以D為原點,分別以射線DE,DC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,如圖所示.由題意知各點坐標(biāo)如下:D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2,),B(1,1,0).設(shè)平面ADE的法向量m=(x1,y1,z1),平面ABD的法向量為n=(x2,y2,z2),可算得=(0,-2,-),=(1,-2,-),=(1,1,0).由得可取m=(0,1,-),由得可取n=(1,-1,).于是|cos|=.由題意可知,所求二面角是銳

13、角,故二面角BADE的大小是.6.如圖1,O的直徑AB=4,點C、D為O上兩點,且CAB=45,DAB=60,F為的中點.沿直徑AB折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖2).(1)求證:OF平面ACD;(2)求二面角CADB的余弦值;(3)在上是否存在點G,使得FG平面ACD?若存在,試指出點G的位置,并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值;若不存在,請說明理由.(1)證明:如圖,以AB所在的直線為y軸,以O(shè)C所在的直線為z軸,以O(shè)為原點,建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(0,-2,0),C(0,0,2).=(0,0,2)-(0,-2,0)=(0,2,2),點F為的中點,點F的坐標(biāo)為(0,)

14、,=(0,).=,即OFAC.OF平面ACD,AC平面ACD,OF平面ACD.(2)解:DAB=60,點D的坐標(biāo)是(,-1,0),=(,1,0).設(shè)二面角CADB的大小為,n1=(x,y,z)為平面ACD的一個法向量.由即取x=1,解得y=-,z=.n1=(1,-,).取平面ADB的一個法向量n2=(0,0,1),cos =.(3)解:設(shè)在上存在點G,使得FG平面ACD,OF平面ACD,平面OFG平面ACD,則有OGAD.設(shè)=(0),=(,1,0),=(,0).又|=2,=2,解得=1(舍去-1).=(,1,0),則G為的中點.因此,在上存在點G,使得FG平面ACD,且點G為的中點.設(shè)直線AG

15、與平面ACD所成角為,=(,1,0)-(0,-2,0)=(,3,0),根據(jù)(2)的計算n1=(1,-,)為平面ACD的一個法向量,sin =cos(90-)=.因此,直線AG與平面ACD所成角的正弦值為.7.(2013高考福建卷)如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)棱AA1底面ABCD,ABDC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k(k0).(1)求證:CD平面ADD1A1;(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為,求k的值;(3)現(xiàn)將與四棱柱ABCDA1B1C1D1形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的四棱柱.規(guī)定:若拼接成的新四棱柱形狀和大小完全

16、相同,則視為同一種拼接方案.問:共有幾種不同的拼接方案?在這些拼接成的新四棱柱中,記其中最小的表面積為f(k),寫出f(k)的解析式.(直接寫出答案,不必說明理由)(1)證明:取CD的中點E,連接BE.ABDE,AB=DE=3k,四邊形ABED為平行四邊形,BEAD且BE=AD=4k.在BCE中,BE=4k,CE=3k,BC=5k,BE2+CE2=BC2,BEC=90,即BECD.又BEAD,CDAD.AA1平面ABCD,CD平面ABCD,AA1CD.又AA1AD=A,CD平面ADD1A1.(2)解:以D為原點,的方向為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1),所以=(-4k,6k,0),=(0,3k,1),=(0,0,1).設(shè)平面AB1C的法向量n=(x,y,z),則由得取y=2,得n=(3,2,-6k).設(shè)AA1與平面AB1C所成角為,則sin =|cos|=|=,解得k=1,故所求k的值為1.(3)解:共有4種不同的方案.f(k)=15