【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第12節(jié) 定積分的概念及簡單應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理

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1、【導(dǎo)與練】（新課標(biāo)）2016屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2篇 第12節(jié) 定積分的概念及簡單應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練 理【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號求定積分1、2、7定積分求面積4、8、13、16定積分的物理應(yīng)用3、5、12由定積分求參數(shù)6、9綜合應(yīng)用10、11、14、15基礎(chǔ)過關(guān)一、選擇題1.設(shè)函數(shù)f(x)=則定積分f(x)dx等于(C)(A)(B)2(C)(D)解析:f(x)dx=x2dx+1dx=x3+x=.故選C.2.(2014廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)f(x)=2x+1,則f(-x)dx的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:f(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,

2、所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x,所以f(-x)dx=(x2-x)dx=(x3-x2)=.故選A.3.如果1 N的力能拉長彈簧1 cm,為了將彈簧拉長6 cm,所耗費(fèi)的功為(A)(A)0.18 J(B)0.26 J(C)0.12 J(D)0.28 J解析:由物理知識F=kx知,1=0.01k,k=100 N/m,則W=100xdx=50x2=0.18(J).故選A.4.(2014合肥模擬) 如圖,由函數(shù)f(x)=ex-e的圖象,直線x=2及x軸所圍成的陰影部分的面積等于(B)(A)e2-2e-1(B)e2-2e(C)(D)e2-2e+1解析:由已知得S=f(x)dx=(ex-e

3、)dx=(ex-ex)=(e2-2e)-(e-e)=e2-2e.故選B.5.一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動時(shí)速度與時(shí)間的關(guān)系式為v(t)=t2-t+2,質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動,則此質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間1,2內(nèi)的位移為(A)(A)(B)(C)(D)解析:v(t)0,質(zhì)點(diǎn)在1,2內(nèi)的位移s即為v(t)在1,2上的定積分,s=v(t)dt=(t2-t+2)dt=.故選A.6.(2014中山模擬)已知t0,若(2x-1)dx=6,則t的值等于(B)(A)2(B)3(C)6(D)8解析:(2x-1)dx=2xdx-1dx=x2-x=t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).故選B.二、填空題7.(2014昆明模擬)(+)2dx=.解析:(+)

4、2dx=(x+2)dx=(x2+ln x+2x)=+ln .答案:+ln 8.(2014南寧模擬)在同一坐標(biāo)系中作出曲線xy=1和直線y=x以及直線y=3的圖象如圖所示,曲線xy=1與直線y=x和y=3所圍成的平面圖形的面積為.解析:所求區(qū)域面積為S=(3-)dx+(3-x)dx=4-ln 3.答案:4-ln 39.已知曲線y=x2與直線y=kx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為,則k=.解析:由得或則曲線y=x2與直線y=kx(k0)所圍成的曲邊圖形的面積為(kx-x2)dx=(x2-x3)=-k3=,即k3=8,k=2.答案:210.(2014成都模擬)函數(shù)y=(sin t+cos tsin

5、 t)dt的最大值是.解析:y=(sin t+cos tsin t)dt=(sin t+sin 2t)dt=(-cos t-cos 2t)=-cos x-cos 2x+=-cos x-(2cos2x-1)+=-cos2x-cos x+=-(cos x+1)2+22,當(dāng)cos x=-1時(shí)取等號.答案:2三、解答題11.已知f(x)為二次函數(shù),且f(-1)=2,f(0)=0,f(x)dx=-2,(1)求f(x)的解析式;(2)求f(x)在-1,1上的最大值與最小值.解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0),則f(x)=2ax+b.由f(-1)=2,f(0)=0,得即f(x)=ax2+2-a.

6、又f(x)dx=(ax2+2-a)dx=ax3+(2-a)x=2-a=-2,a=6,從而f(x)=6x2-4.(2)f(x)=6x2-4,x-1,1.當(dāng)x=0時(shí),f(x)min=-4;當(dāng)x=1時(shí),f(x)max=2.12.做變速直線運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的速度方程是v(t)=(單位:m/s).(1)求該質(zhì)點(diǎn)從t=10 s到t=30 s時(shí)所走過的路程;(2)求該質(zhì)點(diǎn)從開始運(yùn)動到運(yùn)動結(jié)束共走過的路程.解:(1)s1=v(t)dt=tdt+20dt=350(m).(2)該質(zhì)點(diǎn)從開始到結(jié)束需100 s,走過的路程為s2=v(t)dt=tdt+20dt+(100-t)dt=1600(m).能力提升13.(2014珠

7、海模擬)由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2(t為常數(shù)且t(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為(A)(A)(B)(C)(D)解析:由得交點(diǎn)(t,t2).故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx=(t2x-x3)+(x3-t2x)=t3-t2+,令S=4t2-2t=0,因?yàn)?t1,所以t=,易知當(dāng)t=時(shí),Smin=.故選A.14.(2014濟(jì)寧一模)如圖,長方形的四個(gè)頂點(diǎn)為O(0,0),A(2,0),B(2,4),C(0,4),曲線y=ax2經(jīng)過點(diǎn)B,現(xiàn)將一質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入長方形OABC中,則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是.解析:y=ax2過點(diǎn)B(2,4),a=1,所求概率為

8、1-=1-x3=.答案:15.(2014重慶模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,直線l1:x=2,直線l2:y= -t2+8t(其中0t2,t為常數(shù)).若直線l1,l2與函數(shù)f(x)的圖象以及l(fā)2,y軸與函數(shù)f(x)的圖象所圍成的封閉圖形如圖陰影所示.(1)求a,b,c的值;(2)求陰影面積S關(guān)于t的函數(shù)S(t)的解析式.解:(1)由題圖可知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值為16,則解得(2)由(1)得f(x)=-x2+8x,由得x2-8x-t(t-8)=0,所以x1=t,x2=8-t.因?yàn)?t2,所以直線l2與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,-t2+8

9、t).由定積分的幾何意義知S(t)=(-t2+8t)-(-x2+8x)dx+(-x2+8x)-(-t2+8t)dx=(-t2+8t)x-(-+4x2)+(-+4x2)-(-t2+8t)x=-t3+10t2-16t+.所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0t2).探究創(chuàng)新16.(2014武漢模擬)曲線y=x2,直線y=x,y=3x圍成的圖形的面積是.解析:作出曲線y=x2,直線y=x,y=3x的圖象,所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組得交點(diǎn)(1,1),(0,0).解方程組得交點(diǎn)(3,9),(0,0),因此,所求圖形的面積為S=(3x-x)dx+(3x-x2)dx=2xdx+(3x-x2)dx=x2+(x2-x3)=1+(32-33)-(12-13)=.答案:9