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1、1,物理量 看成 和 的函數,1. 物質坐標和空間坐標的概念,物質坐標(Lagrange 坐標): 標記各個質點,一般選取各個質點的初始空間位置,拉格朗日方法:以質點為研究對象,研究在給定質點上的物理量隨時間的變化規(guī)律,以及物理量從一個質點到另一個質點的變化規(guī)律.,第三章 連續(xù)介質運動學,3.1、物質坐標和空間坐標,(3-1),其位置的歷史為,2,空間坐標(Euler坐標):標記各個質點在不同時刻占據的空間位置,歐拉方法:研究在所給定的空間位置上各物理量隨時間的變化,以及這些物理量從一個空間位置轉移到另一個空間位置時的變化規(guī)律.,看成,和,的函數.,(3-2),3,物質坐標 和空間坐標 的關系
2、,對于一個質點,在空間坐標中,在不同的時刻處于不同的空間位置,可以描述成:,或,加入質點因素,則有,質點不同,則質點的運動軌跡也不同.,(3-3),若 不變,則表示以 為標記的質點的軌跡; 不變,表示各個質點在該時刻所處的空間位置.,4,若(3-3)存在逆變式,應滿足,每個時刻連續(xù)介質所占據的空間位置上都有一個質點存在.質點和空間位置一一對應.,則,5,空間導數,物質導數,物理量:,空間導數,質點的運動速度?,(3-4),物質導數,質點的運動速度?,6,質點位移:,取物質坐標為連續(xù)介質質點在初始時刻的空間位置,在 時刻連續(xù)介質的位形:,質點在t時刻相對于初始時刻的位移:,速度定義,加速度,2.
3、 質點位移,速度和隨體微商,7,一般物質導數用 表示.,物質導數:即隨體導數,給定質點上函數對時間的變化率.,則,質點速度,(3-5),(3-6),8,或寫成:,物質導數算子:,運用了物質導數算子,為瞬時速度場.,1) 速度(Lagrange形式),2) 速度(Euler形式),(3-7),9,加速度(Lagrange形式):速度的物質導數,加速度(Euler形式),10,例1:,求速度場 和加速度場,已知位移場,(Lagrange),(Euler),解:,11,例2. 運動由下式給出,確定作為物質形式和歐拉形式的速度分量.,解:(1) 位移場,其中:,作為物質坐標函數的位移分量可表示為:,1
4、2,可得速度場分量為:,從運動方程可解得: 則位移分量作為歐拉坐標的形式為:,13,聯立求解得:,14,質點 的運動軌跡,3 跡線和流線,15,跡線:描述一個質點運動軌跡. 質點不同，運動軌跡不同,則跡線不同.,一個質點的運動規(guī)律的數學描述:,分量形式:,消去時間,跡線,質點的軌跡,曲面,t為自變量.,16,歐拉描述的跡線:,軌跡與速度的聯系:,積分,質點軌跡.,(3-8),17,時刻流場中的一條流線,流線:,18,流線(固定時刻流場中的一條曲線):該曲線上的每一點的切線方向是處于該空間位置上的質點的速度的方向.,由,推出:,流線,曲面,(3-9),19,跡線與流線區(qū)別:,跡線 拉格朗日觀點,
5、 同一質點 不同時刻 的軌跡,流線 歐拉觀點 不同質點 同一時刻,一般不定常流動中,流線和跡線不重合.,跡線,流線,20,(1) 現在考察 點處質點的軌跡,速度場描述(歐拉空間),速度場描述(拉格朗日空間),位置矢量,速度場,運用,其他時刻,21,(2)在 的流線,定常運動,流線和跡線重合.,22,例: 已知速度場,求 時過 點的跡線和流線.,流線微分方程:,積分后得,代入已知條件得,流線方程為:,跡線方程,跡線微分方程:,23,若質點運動為定常運動,流線方程,跡線方程,定常運動,則流線和跡線重合.,積分:,代入初條件:,24,3.2 變形張量,彎曲,扭轉,幾種變形模式,3.4.1 應變張量概
6、念的引入,25,線應變,26,剪應變,27,或,應變: 小變形 有限變形(變形量較大的情況),材料力學中應變度量:,28,初始時刻:,終了時刻:,位移:,分量形式:,1 應變張量,29,變形后分別為,變形前圖形中兩點,變形前兩點的距離,變形后兩點的距離,(3-11),(3-12),30,變形前后兩點的距離,可知,從關系式,(3-13),(3-14),31,定義應變張量,長度平方之差寫為,張量,變換關系,(3-15),(3-16),32,格林 圣維南引入 格林應變張量,式(15),(16)則可寫為:,柯西 （無限小應變） 艾爾門西 和海麥爾 （有限應變） 艾爾門西應變張量,流體力學中 拉格朗日應
7、變張量,流體力學中 歐拉應變張量,對稱張量,33,若,剛體運動,2 應變張量用位移描述,初始位置,變形后位置,P(a1, a2, a3),P,a1,a2,a3,34,應變張量化為,于是有,或,35,例.考察單位尺寸的方板,其變形如圖示,試求應變分量 .,1,1,O,1,解:方板的變形用方程來描述: 或,36,代入變形方程即可得應變分量為:,37,1) 取變形前為,為第一坐標軸上的線元,則,3 坐標軸上線元的相對伸縮,a1,a2,a3,線元的相對伸縮為,代入,同理 可得:,描述了第一,第二,第三坐標軸上線元的相對伸縮.,38,2)取變形后 為第一坐標軸上線元,同理有:,記此線元的相對伸縮為,可得
8、,有,代入,39,變形后兩線元變?yōu)?最后得,4 坐標軸間角度的變化,1) 取變形前在第一第二坐標軸上成直角的兩線元,長度分別為,夾角為,代入,a1,a2,a3,40,剪切角為,而,因此有,41,2) 取變形后的第一,第二坐標上各取線元,變形前兩線元分別是 ,大小 ,夾角,代入,剪切角,從而有,42,在小變形時，即位移梯度很小，即,稱為小變形張量,由,可得,3.3 小變形張量,1 位移梯度的假定和小變形張量,43,小變形張量的分量為,特點: 二階對稱張量,有主應變,應變主方向.,44,例.再次考察單位尺寸的方板,向右的剪切是一個非常小的量,變形方程可寫為 或 應變分量為: 上述情況下, 度量近似
9、相等.,45,分別了描述了 軸方向上線元的相對收縮.,物理意義:,表示,間直角的剪切角.,46,對于位移場,若記,分量為:,旋轉矢量,2 小變形位移的分解,47,即有,旋轉矢量與旋轉張量的關系,則,48,平動,剛體轉動,變形引起的位移,小變形位移的分解:,相容性條件 當方程的個數比未知數多時,方程組不 一定有解.如果有解,則應該滿足一定的條件.,方程若有解,則f和g必須滿足相容性條件,引入記號,49,說明: 6個應變分量可以用來描述一點的變形,而一點處的位移又與變形有關.真實的位移解必定是連續(xù)的單值函數.由變形幾何方程表明,3個位移分量可以完全確定物體的變形,所以由3個位移分量導出的6個應變分
10、量不可能任意變化,他們應滿足一定的關系,即變形協調條件.否則,對于任意給定的一組應變分量,由幾何方程積分求得的位移函數不一定單值連續(xù).在這種情況下,所給定的應變分量將使變形不協調,變形后或著出現裂縫,或者重疊.與真實的變形不符合.,50,求兩次偏微商:,偏微分可以交換順序,則有,相容性條件,六個獨立的方程:,51,上述六個方程又滿足三個恒等式:,若對平面運動情況:,則,六個相容性方程只剩下一個,即,應變分量不能任意給定,必須受到應變協調方程的限制.而限制應變分量的6個協調方程也不是完全獨立.,52,4. 有小變形張量求位移場,為固定點,在其上位移,求場內任一點,處的位移.,53,以：,代入上式
11、，得:,即：,其中,54,上式線積分與路徑無關，有：,由 的表達式，有：,兩式相減：,從而有：,55,此即 所應滿足的相容性條件.,特別地如 是零張量（即沒有變形），則:,平移,剛體運動,旋轉,如果給出了滿足相容性條件的小變形張量 后,即可確定位移場u .,56,均勻變形:變形體內應變張量處處相等,則位移分量是坐標的線性函數,即,均為常數.,特點: 1)平面上各點變形后仍在同一個平面上; 2)平行的平面在變形后仍為平行平面. 3)在任意給定的方向上,所有點的變形都相同,不同位置處,方向相同的幾何相似圖形在變形后仍然保持幾何相似. 4)一個圓球面在變形后為一個橢球面.,剛體運動:應變張量為零.,
12、57,3.4 位形梯度張量及其極分解,1 位形梯度張量,給出t時刻連續(xù)介質體的位形。,（t固定）,式中 稱為位形梯度。于是,由于 和 是矢量，故 是二階張量，稱為位形梯度張量.,因位移,58,稱為右哥西格林變形張量,稱為左哥西格林變形張量,其中,或,而,由 的定義，知 C為二階對稱張量。由于,或,對于剛體運動，E=0，C=I,不論變形大小均成立!,59,2 用 表征變形,任取 ， ， ， 為 的方向余弦。 變形后為 ，其長度為ds,故 方向上單位長度的伸縮為,同理， 方向上的相對伸縮為,60,記 和 間夾角為 ，變形后 和 間夾角為 ，則,即,代入得,以 除兩邊 得：,即：,61,A,B,C,
13、D,1,例: ABCD是單位方板,承受的均勻小應變由下式給出,62,把位形梯度張量F作極分解： F=RU（實際變形時detF0） R為正交張量，它代表剛體轉動；U為正定對稱張量， 它代表純變形。F=RU可看成是先變形后轉動的合成。,3. 位移梯度張量的極分解,即 經過變形得到 ，再經過旋轉，得到,極分解F=VR則可看成是先轉動，后變形。兩種極分解中的純 變形張量U和V可不同，而轉動部分則相同（都是同一個張量R）,63,4. 小變形時U，V，R的表達式,當 時，,為小變形張量,略去二階小量后，有,由此可知，小變形時有,R=I+U=V=I+E,注意:小變形條件下才成立!,64,例:對以下位形求位形
14、梯度,并說明變形特點.,解:,65,3.5 介質中曲面的移動和傳播,1. 曲面的移動速度和傳播速度,設運動曲面的方程為,則,記dr為dx在曲面法線方向（即gradF的方向）上的投影，,則上式給出：,稱N為曲面F=0的移動速度,66,v為介質速度，n為曲面F=0的單位法向量， 為速度在曲,面法向的分量,如果曲面F=0在空間中固定不動，（即F中不含t），則N=0，,稱為曲面F=0的傳播速度。,從而,如果曲面F=0始終由同樣一些介質質點組成（稱這樣的曲面為物 質面），則隨體微商 和傳播速度都等于零，此曲面在介質中 不傳播.,67,2. 可變區(qū)域上物理量隨時間的變化率,設V（t）是可隨時間變化的空間區(qū)
15、域，其周界面為S（t），,物理量A在區(qū)域V上的總量為,下面求,68,設V（t）周界面S（t）上面元dS的外單位法向量為n，在dS處的移動速度為N，則t時間內，在dS處發(fā)生的區(qū)域變化dV=dSNt,從而,因此,特別地，如果V（t）為確定的連續(xù)介質物體，此時周界面,S為物質面，從而=0，,上式就變?yōu)椋?69,3.6速度分解定理,剛體速度分解定理:(可分解為平動部分和轉動部分),現在考慮非剛體的連續(xù)介質體的速度分解,點質點速度寫成:,(3-46),70,(3.46)在P0點按Taylor級數展開(只取一階項):,直角坐標系中的分量形式:,速度梯度張量,分解,變形速度張量,旋轉張量,(3.46.3),
16、71,應變率張量或變形速度張量, 對稱張量,旋度張量或旋轉張量,反對稱張量,72,(3.46.3)改寫為:,由于,旋度矢量和旋轉張量間的關系,速度分解,平動,旋轉,變形,73,3.6 變形速度張量的物理解釋,物質線元的隨體導數等于同一時刻兩個無限鄰近質點的速度差.,對上式取隨體導數:,74,取三個質點組成的線元,(1),的物理意義,(3.63),(3.61),(3.62),左點乘,點乘,75,由此可推出:,同理,物理意義: 分別是沿 軸向線元,在單位時間內的相對收縮.,76,(2) 的物理意義,上式點乘 :,(3.63)點乘 :,77,變形初始時刻有:,同理可得出:,物理解釋: 為,軸,軸,軸,向線元之間剪切速度的一半.,78,練習: 1.某流動的速度場為,式中A,B為常數,請確定該流動的速度梯度 ,并計算在t=0在點(1,0,3)處的變形速度張量 和旋度張量 .,2.對以下速度場,求變形速度張量 ,旋轉張量 和流線的形狀,為常數.,
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