連續(xù)介質(zhì)力學基礎第三章.ppt

1,物理量 看成 和 的函數(shù),1. 物質(zhì)坐標和空間坐標的概念,物質(zhì)坐標(Lagrange 坐標): 標記各個質(zhì)點,一般選取各個質(zhì)點的初始空間位置,拉格朗日方法:以質(zhì)點為研究對象,研究在給定質(zhì)點上的物理量隨時間的變化規(guī)律,以及物理量從一個質(zhì)點到另一個質(zhì)點的變化規(guī)律.,第三章 連續(xù)介質(zhì)運動學,3.1、物質(zhì)坐標和空間坐標,(3-1),其位置的歷史為,2,空間坐標(Euler坐標):標記各個質(zhì)點在不同時刻占據(jù)的空間位置,歐拉方法:研究在所給定的空間位置上各物理量隨時間的變化,以及這些物理量從一個空間位置轉(zhuǎn)移到另一個空間位置時的變化規(guī)律.,看成,和,的函數(shù).,(3-2),3,物質(zhì)坐標 和空間坐標 的關系,對于一個質(zhì)點,在空間坐標中,在不同的時刻處于不同的空間位置,可以描述成:,或,加入質(zhì)點因素,則有,質(zhì)點不同,則質(zhì)點的運動軌跡也不同.,(3-3),若 不變,則表示以 為標記的質(zhì)點的軌跡; 不變,表示各個質(zhì)點在該時刻所處的空間位置.,4,若(3-3)存在逆變式,應滿足,每個時刻連續(xù)介質(zhì)所占據(jù)的空間位置上都有一個質(zhì)點存在.質(zhì)點和空間位置一一對應.,則,5,空間導數(shù),物質(zhì)導數(shù),物理量:,空間導數(shù),質(zhì)點的運動速度?,(3-4),物質(zhì)導數(shù),質(zhì)點的運動速度?,6,質(zhì)點位移:,取物質(zhì)坐標為連續(xù)介質(zhì)質(zhì)點在初始時刻的空間位置,在 時刻連續(xù)介質(zhì)的位形:,質(zhì)點在t時刻相對于初始時刻的位移:,速度定義,加速度,2. 質(zhì)點位移,速度和隨體微商,7,一般物質(zhì)導數(shù)用 表示.,物質(zhì)導數(shù):即隨體導數(shù),給定質(zhì)點上函數(shù)對時間的變化率.,則,質(zhì)點速度,(3-5),(3-6),8,或?qū)懗?,物質(zhì)導數(shù)算子:,運用了物質(zhì)導數(shù)算子,為瞬時速度場.,1) 速度(Lagrange形式),2) 速度(Euler形式),(3-7),9,加速度(Lagrange形式):速度的物質(zhì)導數(shù),加速度(Euler形式),10,例1:,求速度場 和加速度場,已知位移場,(Lagrange),(Euler),解:,11,例2. 運動由下式給出,確定作為物質(zhì)形式和歐拉形式的速度分量.,解:(1) 位移場,其中:,作為物質(zhì)坐標函數(shù)的位移分量可表示為:,12,可得速度場分量為:,從運動方程可解得: 則位移分量作為歐拉坐標的形式為:,13,聯(lián)立求解得:,14,質(zhì)點 的運動軌跡,3 跡線和流線,15,跡線:描述一個質(zhì)點運動軌跡. 質(zhì)點不同，運動軌跡不同,則跡線不同.,一個質(zhì)點的運動規(guī)律的數(shù)學描述:,分量形式:,消去時間,跡線,質(zhì)點的軌跡,曲面,t為自變量.,16,歐拉描述的跡線:,軌跡與速度的聯(lián)系:,積分,質(zhì)點軌跡.,(3-8),17,時刻流場中的一條流線,流線:,18,流線(固定時刻流場中的一條曲線):該曲線上的每一點的切線方向是處于該空間位置上的質(zhì)點的速度的方向.,由,推出:,流線,曲面,(3-9),19,跡線與流線區(qū)別:,跡線 拉格朗日觀點, 同一質(zhì)點 不同時刻 的軌跡,流線 歐拉觀點 不同質(zhì)點 同一時刻,一般不定常流動中,流線和跡線不重合.,跡線,流線,20,(1) 現(xiàn)在考察 點處質(zhì)點的軌跡,速度場描述(歐拉空間),速度場描述(拉格朗日空間),位置矢量,速度場,運用,其他時刻,21,(2)在 的流線,定常運動,流線和跡線重合.,22,例: 已知速度場,求 時過 點的跡線和流線.,流線微分方程:,積分后得,代入已知條件得,流線方程為:,跡線方程,跡線微分方程:,23,若質(zhì)點運動為定常運動,流線方程,跡線方程,定常運動,則流線和跡線重合.,積分:,代入初條件:,24,3.2 變形張量,彎曲,扭轉(zhuǎn),幾種變形模式,3.4.1 應變張量概念的引入,25,線應變,26,剪應變,27,或,應變: 小變形 有限變形(變形量較大的情況),材料力學中應變度量:,28,初始時刻:,終了時刻:,位移:,分量形式:,1 應變張量,29,變形后分別為,變形前圖形中兩點,變形前兩點的距離,變形后兩點的距離,(3-11),(3-12),30,變形前后兩點的距離,可知,從關系式,(3-13),(3-14),31,定義應變張量,長度平方之差寫為,張量,變換關系,(3-15),(3-16),32,格林 圣維南引入 格林應變張量,式(15),(16)則可寫為:,柯西 （無限小應變） 艾爾門西 和海麥爾 （有限應變） 艾爾門西應變張量,流體力學中 拉格朗日應變張量,流體力學中 歐拉應變張量,對稱張量,33,若,剛體運動,2 應變張量用位移描述,初始位置,變形后位置,P(a1, a2, a3),P,a1,a2,a3,34,應變張量化為,于是有,或,35,例.考察單位尺寸的方板,其變形如圖示,試求應變分量 .,1,1,O,1,解:方板的變形用方程來描述: 或,36,代入變形方程即可得應變分量為:,37,1) 取變形前為,為第一坐標軸上的線元,則,3 坐標軸上線元的相對伸縮,a1,a2,a3,線元的相對伸縮為,代入,同理 可得:,描述了第一,第二,第三坐標軸上線元的相對伸縮.,38,2)取變形后 為第一坐標軸上線元,同理有:,記此線元的相對伸縮為,可得,有,代入,39,變形后兩線元變?yōu)?最后得,4 坐標軸間角度的變化,1) 取變形前在第一第二坐標軸上成直角的兩線元,長度分別為,夾角為,代入,a1,a2,a3,40,剪切角為,而,因此有,41,2) 取變形后的第一,第二坐標上各取線元,變形前兩線元分別是 ,大小 ,夾角,代入,剪切角,從而有,42,在小變形時，即位移梯度很小，即,稱為小變形張量,由,可得,3.3 小變形張量,1 位移梯度的假定和小變形張量,43,小變形張量的分量為,特點: 二階對稱張量,有主應變,應變主方向.,44,例.再次考察單位尺寸的方板,向右的剪切是一個非常小的量,變形方程可寫為 或 應變分量為: 上述情況下, 度量近似相等.,45,分別了描述了 軸方向上線元的相對收縮.,物理意義:,表示,間直角的剪切角.,46,對于位移場,若記,分量為:,旋轉(zhuǎn)矢量,2 小變形位移的分解,47,即有,旋轉(zhuǎn)矢量與旋轉(zhuǎn)張量的關系,則,48,平動,剛體轉(zhuǎn)動,變形引起的位移,小變形位移的分解:,相容性條件 當方程的個數(shù)比未知數(shù)多時,方程組不 一定有解.如果有解,則應該滿足一定的條件.,方程若有解,則f和g必須滿足相容性條件,引入記號,49,說明: 6個應變分量可以用來描述一點的變形,而一點處的位移又與變形有關.真實的位移解必定是連續(xù)的單值函數(shù).由變形幾何方程表明,3個位移分量可以完全確定物體的變形,所以由3個位移分量導出的6個應變分量不可能任意變化,他們應滿足一定的關系,即變形協(xié)調(diào)條件.否則,對于任意給定的一組應變分量,由幾何方程積分求得的位移函數(shù)不一定單值連續(xù).在這種情況下,所給定的應變分量將使變形不協(xié)調(diào),變形后或著出現(xiàn)裂縫,或者重疊.與真實的變形不符合.,50,求兩次偏微商:,偏微分可以交換順序,則有,相容性條件,六個獨立的方程:,51,上述六個方程又滿足三個恒等式:,若對平面運動情況:,則,六個相容性方程只剩下一個,即,應變分量不能任意給定,必須受到應變協(xié)調(diào)方程的限制.而限制應變分量的6個協(xié)調(diào)方程也不是完全獨立.,52,4. 有小變形張量求位移場,為固定點,在其上位移,求場內(nèi)任一點,處的位移.,53,以：,代入上式，得:,即：,其中,54,上式線積分與路徑無關，有：,由 的表達式，有：,兩式相減：,從而有：,55,此即 所應滿足的相容性條件.,特別地如 是零張量（即沒有變形），則:,平移,剛體運動,旋轉(zhuǎn),如果給出了滿足相容性條件的小變形張量 后,即可確定位移場u .,56,均勻變形:變形體內(nèi)應變張量處處相等,則位移分量是坐標的線性函數(shù),即,均為常數(shù).,特點: 1)平面上各點變形后仍在同一個平面上; 2)平行的平面在變形后仍為平行平面. 3)在任意給定的方向上,所有點的變形都相同,不同位置處,方向相同的幾何相似圖形在變形后仍然保持幾何相似. 4)一個圓球面在變形后為一個橢球面.,剛體運動:應變張量為零.,57,3.4 位形梯度張量及其極分解,1 位形梯度張量,給出t時刻連續(xù)介質(zhì)體的位形。,（t固定）,式中 稱為位形梯度。于是,由于 和 是矢量，故 是二階張量，稱為位形梯度張量.,因位移,58,稱為右哥西格林變形張量,稱為左哥西格林變形張量,其中,或,而,由 的定義，知 C為二階對稱張量。由于,或,對于剛體運動，E=0，C=I,不論變形大小均成立!,59,2 用 表征變形,任取 ， ， ， 為 的方向余弦。 變形后為 ，其長度為ds,故 方向上單位長度的伸縮為,同理， 方向上的相對伸縮為,60,記 和 間夾角為 ，變形后 和 間夾角為 ，則,即,代入得,以 除兩邊 得：,即：,61,A,B,C,D,1,例: ABCD是單位方板,承受的均勻小應變由下式給出,62,把位形梯度張量F作極分解： F=RU（實際變形時detF0） R為正交張量，它代表剛體轉(zhuǎn)動；U為正定對稱張量， 它代表純變形。F=RU可看成是先變形后轉(zhuǎn)動的合成。,3. 位移梯度張量的極分解,即 經(jīng)過變形得到 ，再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，得到,極分解F=VR則可看成是先轉(zhuǎn)動，后變形。兩種極分解中的純 變形張量U和V可不同，而轉(zhuǎn)動部分則相同（都是同一個張量R）,63,4. 小變形時U，V，R的表達式,當 時，,為小變形張量,略去二階小量后，有,由此可知，小變形時有,R=I+U=V=I+E,注意:小變形條件下才成立!,64,例:對以下位形求位形梯度,并說明變形特點.,解:,65,3.5 介質(zhì)中曲面的移動和傳播,1. 曲面的移動速度和傳播速度,設運動曲面的方程為,則,記dr為dx在曲面法線方向（即gradF的方向）上的投影，,則上式給出：,稱N為曲面F=0的移動速度,66,v為介質(zhì)速度，n為曲面F=0的單位法向量， 為速度在曲,面法向的分量,如果曲面F=0在空間中固定不動，（即F中不含t），則N=0，,稱為曲面F=0的傳播速度。,從而,如果曲面F=0始終由同樣一些介質(zhì)質(zhì)點組成（稱這樣的曲面為物 質(zhì)面），則隨體微商 和傳播速度都等于零，此曲面在介質(zhì)中 不傳播.,67,2. 可變區(qū)域上物理量隨時間的變化率,設V（t）是可隨時間變化的空間區(qū)域，其周界面為S（t），,物理量A在區(qū)域V上的總量為,下面求,68,設V（t）周界面S（t）上面元dS的外單位法向量為n，在dS處的移動速度為N，則t時間內(nèi)，在dS處發(fā)生的區(qū)域變化dV=dSNt,從而,因此,特別地，如果V（t）為確定的連續(xù)介質(zhì)物體，此時周界面,S為物質(zhì)面，從而=0，,上式就變?yōu)椋?69,3.6速度分解定理,剛體速度分解定理:(可分解為平動部分和轉(zhuǎn)動部分),現(xiàn)在考慮非剛體的連續(xù)介質(zhì)體的速度分解,點質(zhì)點速度寫成:,(3-46),70,(3.46)在P0點按Taylor級數(shù)展開(只取一階項):,直角坐標系中的分量形式:,速度梯度張量,分解,變形速度張量,旋轉(zhuǎn)張量,(3.46.3),71,應變率張量或變形速度張量, 對稱張量,旋度張量或旋轉(zhuǎn)張量,反對稱張量,72,(3.46.3)改寫為:,由于,旋度矢量和旋轉(zhuǎn)張量間的關系,速度分解,平動,旋轉(zhuǎn),變形,73,3.6 變形速度張量的物理解釋,物質(zhì)線元的隨體導數(shù)等于同一時刻兩個無限鄰近質(zhì)點的速度差.,對上式取隨體導數(shù):,74,取三個質(zhì)點組成的線元,(1),的物理意義,(3.63),(3.61),(3.62),左點乘,點乘,75,由此可推出:,同理,物理意義: 分別是沿 軸向線元,在單位時間內(nèi)的相對收縮.,76,(2) 的物理意義,上式點乘 :,(3.63)點乘 :,77,變形初始時刻有:,同理可得出:,物理解釋: 為,軸,軸,軸,向線元之間剪切速度的一半.,78,練習: 1.某流動的速度場為,式中A,B為常數(shù),請確定該流動的速度梯度 ,并計算在t=0在點(1,0,3)處的變形速度張量 和旋度張量 .,2.對以下速度場,求變形速度張量 ,旋轉(zhuǎn)張量 和流線的形狀,為常數(shù).,