數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)題：試題二(龍格庫(kù)塔方法_區(qū)間估計(jì)_約束優(yōu)化)

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1、 計(jì)算方法（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）試題（第2組） 2000.6.22 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) 說(shuō)明：（1）1，2題必做，答案直接填在試題紙上； （2）3，4題任選1題，將簡(jiǎn)要解題過(guò)程和結(jié)果寫(xiě)在試題紙上； （3）解題程序以網(wǎng)絡(luò)作業(yè)形式提交，文件名用英文字母。 1. 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 1.1635 ,你用的方法是 龍格-庫(kù)塔方法 ，調(diào)用的 Matlab命令是： ts=0:0

2、.1:2; y0=[1,0]; [x,y]=ode45(@cwf, ts,y0); ode45(@cwf, ts,y0) 算法精度為 4階 。 %待解常微分方程組函數(shù)M文件源程序： function dy=cwf(x,y) dy=[y(2);y(1)*sin(x)]; %應(yīng)用歐拉方法和龍格-庫(kù)塔方法求解該常微分方程： ts=0:0.1:2; y0=[1,0]; [x,y]=ode45(@cwf, ts,y0); %龍格-庫(kù)塔方法求數(shù)值解 [x, y(:,1)] 輸出結(jié)果： 1.0000000000

3、00000 1.163536347595370 注意：ode45/23的步長(zhǎng)必須從常微分方程的初值初開(kāi)始，該命令默認(rèn)為初值是在步長(zhǎng)的起點(diǎn)賦值。 以下為錯(cuò)誤程序： ts=-1:0.01:2; y0=[1,0]; [x,y]=ode45(@cwf, ts,y0); [x, y(:,1)] 2． 設(shè)總體，未知，現(xiàn)用一容量n=25的樣本x對(duì)μ作區(qū)間估計(jì)。若已算出樣本均值，樣本方差，作估計(jì)時(shí)你用的隨機(jī)變量是 ，這個(gè)隨機(jī)變量服從的分布是 t(n-1) ，在顯著性水平0.05下μ的的置信區(qū)間為 [15.441,17.359]. 若已知樣本，對(duì)μ作

4、區(qū)間估計(jì)，調(diào)用的 Matlab命令是： [mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit(x,alpha) 不可省略其他項(xiàng)！！ 3. 小型火箭初始質(zhì)量為1200千克，其中包括900千克燃料?；鸺Q直向上發(fā)射時(shí)燃料以15千克/秒的速率燃燒掉，由此產(chǎn)生40000牛頓的恒定推力。當(dāng)燃料用盡時(shí)引擎關(guān)閉。設(shè)火箭上升的整個(gè)過(guò)程中，空氣阻力與速度平方成正比，比例系數(shù)記作k。火箭升空過(guò)程的數(shù)學(xué)模型為 其中為火箭在時(shí)刻t的高度，m=1200-15t為火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量，T（=30000牛頓）為推力，g (=9.8米/秒2)為重力加速度, t1 (=900/15=60秒)

5、為引擎關(guān)閉時(shí)刻。 今測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下（t~時(shí)間（秒），x ~高度（米），v~速度（米/秒））： t 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 x 1070 1270 1480 1700 1910 2140 2360 2600 2830 3070 3310 v 190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246 現(xiàn)有兩種估計(jì)比例系數(shù)k的方法： 1．用每一個(gè)數(shù)據(jù)(t,x,v)計(jì)算一個(gè)k的估計(jì)值（共11個(gè)），再用

6、它們來(lái)估計(jì)k。 2．用這組數(shù)據(jù)擬合一個(gè)k。 請(qǐng)你分別用這兩種方法給出k的估計(jì)值，對(duì)方法進(jìn)行評(píng)價(jià)，并且回答，能否認(rèn)為空氣阻力系數(shù)k=0.5（說(shuō)明理由）。 1 x=[190 200 210 216 225 228 231 234 239 240 246]; n=length(x); h=1; r(:,1)=(-3*x(:,1)+4*x(:,2)-x(:,3))/2/h; for i=2:n-1 r(:,i)=(x(:,i+1)-x(:,i-1))/2/h; end r(:,n)=(x(:,n-2)-4*x(:,n-1)+3*x(:,n))/2/h; r;

7、 t=[10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20]; T=40000;g=9.8; for p=1:11 m=1200-15*t(p); k(p)=(T-m*g-m*r(p))/x(p)^2; end k 4. Inter-Trade公司由中國(guó)大陸、菲律賓購(gòu)買(mǎi)無(wú)商標(biāo)的紡織品，運(yùn)到香港或臺(tái)灣地區(qū)進(jìn)行封裝和標(biāo)簽后，再運(yùn)到美國(guó)和法國(guó)銷(xiāo)售。已知兩地間的運(yùn)費(fèi)如下（美元/噸）： 中國(guó)大陸 菲律賓 美國(guó) 法國(guó) 香港地區(qū) 55 72 160 190 臺(tái)灣地區(qū) 67 58 150 210 現(xiàn)Inter-Trade

8、公司從中國(guó)大陸和菲律賓分別購(gòu)得90噸和45噸無(wú)標(biāo)品。假設(shè)封裝與標(biāo)簽不改變紡織品的重量，臺(tái)灣只有封裝和標(biāo)簽65噸的能力， A. 若美國(guó)市場(chǎng)需要有標(biāo)品80噸，法國(guó)市場(chǎng)需要有標(biāo)品55噸，試給該公司制訂一個(gè)運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)輸方案。 B. 若美國(guó)市場(chǎng)的需求量增至100噸，法國(guó)市場(chǎng)的需求量增至60噸，已知美國(guó)市場(chǎng)和法國(guó)市場(chǎng)的基本售價(jià)分別為每噸4000美元和6000美元，而當(dāng)供應(yīng)量不能滿足需求時(shí)，其售價(jià)為基本售價(jià)加上短缺費(fèi)用，設(shè)短缺費(fèi)用為每噸2000美元乘以k，其中k為當(dāng)?shù)囟倘绷?市場(chǎng)需求量減去供應(yīng)量)占市場(chǎng)需求量的比例。試為該公司制訂一個(gè)盈利最大的運(yùn)輸方案，并給出盈利額（假設(shè)從中國(guó)大陸和菲

9、律賓購(gòu)買(mǎi)無(wú)標(biāo)品的價(jià)格均為2000美元/噸，在香港和臺(tái)灣地區(qū)封裝和標(biāo)簽的費(fèi)用均為500美元/噸）。 解： A 決策變量： 大陸-香港-美國(guó)：x111；大陸-香港-法國(guó)：x112 大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：x121；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：x122 菲律賓-香港-美國(guó)：x211；菲律賓-香港-法國(guó)：x212 菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：x221；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：x222 目標(biāo)函數(shù)： Z=(55+160)*x111+(55+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x212+(58+150)*x221+(58+210)*

10、x222 約束條件： x111+x112+x121+x122=90 x211+x212+x221+x222=45 x111+x121+x211+x221=80 x112+x122+x212+x222=55 x121+x122+x221+x222≤65 基本模型： min(z)=(55+160)*x111+(55+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x212+(58+150)*x221+(58+210)*x222 s.t. x111+x112+

11、x121+x122=90 x211+x212+x221+x222=45 x111+x121+x211+x221=80 x112+x122+x212+x222=55 x121+x122+x221+x222≤65 x111,x112,x121,x122 ,x211,x212,x221,x2220 c=[215 245 217 277 232 262 208 268]; A1=[ 0 0 1 1 0 0 1 1]; A2=[ 1 1 1 1 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 ; 1 0 1

12、 0 1 0 1 0 ; 0 1 0 1 0 1 0 1 ]; b1=[65]; b2=[90;45;80;55]; v1=[0 0 0 0 0 0 0 0]; [x,z,ef,out,lag]=linprog(c,A1,b1,A2,b2,v1) 輸出結(jié)果： x = 35.0000 55.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 45.0000 0.0000 z = 3.0360e+004 優(yōu)化方案： 大陸-香港-美國(guó)：35；大陸-

13、香港-法國(guó)：55 大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：0；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：0 菲律賓-香港-美國(guó)：0；菲律賓-香港-法國(guó)：0 菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：45；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：0 最小運(yùn)費(fèi)：30360美元； B：顯然，最大盈利量是在兩地銷(xiāo)售時(shí)均不供過(guò)于求時(shí)取得的 決策變量： 大陸-香港-美國(guó)：x111；大陸-香港-法國(guó)：x112 大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：x121；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：x122 菲律賓-香港-美國(guó)：x211；菲律賓-香港-法國(guó)：x212 菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：x221；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：x222 目標(biāo)函數(shù)： Y= (4000+2000*(100-x111-x121-x211-x22

14、1)/100)* (x111+x121+x211+x221)+ (6000+2000*(60-x112-x122-x212-x222)/60)*( x112+x122+x212+x222)-(2000+500)*( x111+x112+x121+x122+x211+x212+x221+x222)-((55+160)*x111+(55+190)*x112+(67+150)*x121+(67+210)*x122+(72+160)*x211+(72+190)*x212+(58+150)*x221+(58+210)*x222) = (4000+20*(100-x111-x121-x211-x2

15、21))* (x111+x121+x211+x221)+ (6000+200*(60-x112-x122 -x212-x222)/6)*( x112+x122+x212+x222) -(215*x111+245*x112+217*x121+ 277*x122+232*x211+262*x212+208*x221+268*x222) -337500 約束條件： x111+x112+x121+x122=90 x211+x212+x221+x222=45 x111+x121+x211+x221≤100 x112+x122+x212+x222≤60 x121+x122+x221+x

16、222≤65 基本模型： max(y)=(4000+20*(100-x(1)-x(3)-x(5)-x(7)))*( x(1)+x(3)+x(5)+x(7))+(6000+200*(60-x(2)-x(4)-x(6)-x(8))/6)*( x(2)+x(4)+x(6)+x(8)) -(215*x(1)+245*x(2)+217*x(3)+ 277*x(4)+232*x(5)+262*x(6)+208*x(7)+268*x(8)) -337500 s.t. x(1)+x(2)+x(3)+x(4)=90 x(5)+x(6)+x(7)+x(8

17、)=45 x(1)+x(3)+x(5)+x(7)≤100 x(2)+x(4)+x(6)+x(8)≤60 x(3)+x(4)+x(7)+x(8)≤65 x(1),x(2),x(3),x(4), x(5),x(6),x(7),x(8)0 優(yōu)化程序(非線性)： function y=max(x) y=-((4000+20*(100-x(1)-x(3)-x(5)-x(7)))*( x(1)+x(3)+x(5)+x(7))+(6000+200*(60-x(2)-x(4)-x(6)-x(8))/6)*( x(2)+x(4)+x(6)+x(8)) -(215*x(1)+245*x(2)+217

18、*x(3)+ 277*x(4)+232*x(5)+262*x(6)+208*x(7)+268*x(8)) -337500) x0=[10 10 10 10 10 10 10 10]; A1=[ 0 0 1 1 0 0 1 1; 1 0 1 0 1 0 1 0; 0 1 0 1 0 1 0 1]; A2=[ 1 1 1 1 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 1 1 1 1 ]; b1=[65 100 60]; b2=[90 45]; v1=[0 0 0 0 0 0 0

19、 0]; [x,z,ef,out,lag]=fmincon(@max1,x0,A1,b1,A2,b2,v1) 輸出結(jié)果： x = 30.0000 60.0000 0 0.0000 -0.0000 0.0000 45.0000 0.0000 z = -329490 優(yōu)化方案： 大陸-香港-美國(guó)：30；大陸-香港-法國(guó)：60 大陸-臺(tái)灣-美國(guó)：0；大陸-臺(tái)灣-法國(guó)：0 菲律賓-香港-美國(guó)：0；菲律賓-香港-法國(guó)：0 菲律賓-臺(tái)灣-美國(guó)：45；菲律賓-臺(tái)灣-法國(guó)：0 最大盈利：329490美元； 計(jì)算方法（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)）試題（第2組）

20、 2000.6.22 答案 1. 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 1.1635 , 設(shè)用數(shù)值解法算出 y(1)= 0.5721, 你用的方法是Runge-Kutta ，調(diào)用的 Matlab命令是 ode45('filename',[0,1],[1，0])， 算法精度為4階。 2． 設(shè)總體，未知，現(xiàn)用一容量n=25 (20) 的樣本x對(duì)μ作區(qū)間估計(jì)。若已算出樣本均值(14.3) ，樣本方差(4.5)，作估計(jì)時(shí)你用的隨機(jī)變量是 ， 這個(gè)隨機(jī)變量服從的分布是t（n-1），在顯著性水平0.05下μ的的置信區(qū)間為

21、 [15.441，17.359] ( [13.3072 15.2928]) . 若已知樣本，對(duì)μ作區(qū)間估計(jì)，調(diào)用的 Matlab命令是[mu, sigma, muci, sigmaci]=normfit(x, alpha)。 3. 在用數(shù)值積分計(jì)算 () 時(shí)，若要求誤差至少是2階的，你用的計(jì)算公式是 Simpson公式 (梯形公式) ，調(diào)用的Matlab命令是 quad('fun',-1,1), （y=f(x), trapz(x,y)），算出的數(shù)值為2.3978 (2.2750) ；若用蒙特卡羅的均值估計(jì)法，你設(shè)定的近似公式是，()

22、Matlab實(shí)現(xiàn)時(shí)你選定的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)是 ，計(jì)算的結(jié)果為 。 4. 小型火箭初始質(zhì)量為900千克，其中包括600千克燃料. 1) 11個(gè)k= 0.4313 0.4005 0.3815 0.4043 0.4193 0.3984 0.3949 0.3912 0.3961 0.4035 0.4135 平均值0.4032 2）1個(gè)k =0.4022 （無(wú)常數(shù)項(xiàng)） 接受 k=0.4 (p=0.4681, k置信區(qū)間 [0.3938 0.4125] ) 擬

23、合一次式（用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-0.6070 （置信區(qū)間[-3.8653 2.6513]）， 一次項(xiàng)： 0.3944（置信區(qū)間[0.3517 0.4372]） stat = 0.9798 435.5734 0.0000 擬合一次式（不用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-1046.86（置信區(qū)間[-4299 2205]） 一次項(xiàng)： 0.3816（置信區(qū)間[0.3168 0.4464]）

24、 stat= 0.95175 177.53 0.0000 小型火箭初始質(zhì)量為1200千克，其中包括900千克燃料。 1) 11個(gè)k= 0.5321 0.4877 0.4953 0.4847 0.4811 0.5294 0.5193 0.4923 0.4919 0.4832 0.3888 平均值 0.4896 2）1個(gè)k =0.4821（無(wú)常數(shù)項(xiàng)） 接受 k=0.5 (p=0. 3894, k置信區(qū)間 [0.4639 0.5153] ) 擬合一次式（用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-5.637

25、3 （置信區(qū)間[-13.4576 2.1829]）， 一次項(xiàng)： 0.3775（置信區(qū)間[0.2299 0.5252]） stat = 0.7880 33.4574 0.0003 擬合一次式（不用m除）：常數(shù)項(xiàng)：-6365.6（置信區(qū)間[-15866.7 3135.3]） 一次項(xiàng)：0.3603（置信區(qū)間[0.1732 0.5473]） stat= 0.67

26、83 18.98 0.0018 5. A 中國(guó)大陸 菲律賓 美國(guó) 法國(guó) 香港地區(qū) 55 72 160 190 臺(tái)灣地區(qū) 67 58 150 210 B 中國(guó)大陸 菲律賓 美國(guó) 法國(guó) 香港地區(qū) 50 70 150 180 臺(tái)灣地區(qū) 60 50 130 200 xij:從i國(guó)購(gòu)買(mǎi)無(wú)標(biāo)品到j(luò)地區(qū)的量，yij:從i地區(qū)運(yùn)有標(biāo)品到j(luò)國(guó)家的量。 x=[ x11 x12 x21 x22 y11 y12 y21 y22] 1) Min c*x’ s.t. x11+x12=90 x21+x22=45 y11

27、+y21=80 y12+y22=55 x11+x21=y11+y12 x12+x22=y21+y22 x12+x22<=(A 65 B 60) x,y>=0. A c=[ 55 67 72 58 160 190 150 210] 結(jié)果：x=[90 0 0 45 35 55 45 0 ] cost=30360 B c=[ 50 60 70 50 150 180 130 200] 結(jié)果：x=[75 15 0 45 20 55 60 0 ] cost=2760

28、0 2) max (4000+2000(100-y11-y21)/100)(y11+y21) +(6000+2000(60-y12-y22)/60)(y12+y22)- –c*x’- (2000+500)*(90+45) s.t. x11+x12=90 x21+x22=45 x11+x21=y11+y12 x12+x22=y21+y22 y11+y21<=100 y12+y22<=60 x12+x22<=(A 65 B 60) x,y>=0. A結(jié)果： x= [90 0 0 45 30 60 45 0 ] income=329490 B結(jié)果： x= [75 15 0 45 15 60 60 0 ] income=332250